2.1　运算与数据处理能力 课件——2026届高三数学二轮复习

第二节　数学运算能力 能力阐释 数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求解运算结果等. 2.1　运算与数据处理能力 2.1　运算与数据处理能力 通过高中数学课程的学习,学生能进一步发展数学运算能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟严谨求实的科学精神. 2.1　运算与数据处理能力 能力表现 数学运算是解决数学问题的基本手段.数学运算是演绎推理,也是计算机解决问题的基础. 进行数学运算的思维路径如下: 下面通过一个示例阐述数学运算的表现. 示例:已知椭圆=1,动直线l与椭圆交于B,C两点.若点B的坐标为(1,),O为坐标原点,求△OBC面积的最大值. 2.1　运算与数据处理能力 第一步:理解运算对象 理解运算对象就是要明确地知道对谁进行运算、进行什么运算、运算对象的本质是什么.理解运算对象是正确进行数学运算的前提和根本.只有做到心中有数,才能利用运算对象的概念、性质等选择适当的运算方法进行后续的运算,才能更好地解决数学问题.通过审题、数形结合明确本题运算对象为△OBC的面积. 2.1　运算与数据处理能力 第二步:掌握运算法则 掌握运算法则是正确解决数学运算问题的关键.不同的运算对象有不同的运算法则,只有正确理解了运算对象,熟练灵活地选择相应的运算法则,才能正确解答运算题.数学运算法则的使用不是生搬硬套,而是在熟记和理解的基础上灵活运用,做到正用、逆用、变形用,从而达到综合应用. 本例中为了表达△OBC的面积,涉及的运算法则有直线方程的设法、点到直线的距离公式、三角形面积公式、根与系数的关系等. 2.1　运算与数据处理能力 第三步:探究运算思路 运算思路是进行数学运算的路线图,具有很强的逻辑性,蕴含着丰富的演绎推理过程.近年来,高考试题更注重数学思维和思想方法的考查,其目的就是为了“反套路”和杜绝“机械刷题”现象,从而提高学生的数学核心素养.运算思路是体现数学运算素养的精华,是解决数学问题的关键,通过探究运算思路,能够促进数学思维发展.因而,只有实现数学知识与数学思维和思想方法的有机整合,培养学生利用数学思想方法解题的意识和能力,才能促进学生优化运算方法和思路,更好地理解数学,体会数学的美. 2.1　运算与数据处理能力 上例中的运算思路探究: 思路1　当直线BC的斜率不存在时,直接求出△OBC的面积;当直线BC的斜率存在时,设直线BC的方程为y-=k(x-1),与椭圆方程联立,消去y,利用根与系数的关系、点到直线的距离公式,用k表示出△OBC的面积S,S=|BC|·d (d为点O到直线BC的距离),再求解. 思路2　直线OB的方程为y=x,设过点C且平行于OB的直线l'的方程为y=x+b,与椭圆方程联立,消去y,由Δ=0和点到直线的距离公式求出面积S, S=|OB|·h(h为点C到直线OB的距离),再求解. 2.1　运算与数据处理能力 第四步:求得运算结果 求得运算结果需要正确理解运算对象,掌握并灵活运用运算法则和方法,探究合理运算思路.在高中阶段,求得运算结果的能力分为应用运算能力和过程运算能力.应用运算能力主要考查根据已知量算出未知量的运算技能.而高考题重点不在于应用运算,而在于过程运算,过程运算能力基于应用运算能力,是理解运算对象、掌握运算方法、探究运算思路、求得运算结果的综合体现.因此,在数学运算的学习与实践中,不但要知道运算是一种重要的工具和方法,更重要的是一种思维模式,即“理性思维”.数学运算的训练还有助于提高人的推理能力、抽象能力、分析能力和批判性能力等. 上例中学生在正确理解运算对象,掌握并灵活运用运算法则和方法,探究合理运算思路的基础上,便可成功获得如下正确运算结果. 2.1　运算与数据处理能力 解法一:当直线BC的斜率不存在时,△OBC的面积S=1×3= 当直线BC的斜率存在时,设直线BC的方程为y-=k(x-1), 联立得(3+4k2)x2-8kx+4-12=0, 设B(x1,y1),C(x2,y2),故x1+x2=,x1x2= |BC|=|x1-x2|== 2.1　运算与数据处理能力 点O到直线BC的距离d=, 所以△OBC的面积S=|BC|·d=, 令t=4k+6,则S=, 当且仅当t=±4,即k=时,等号成立. 综上,△OBC的面积的最大值为 2.1　运算与数据处理能力 解法二:直线OB的方程为y=x,设过点C且平行于OB的直线l'的方程为y=x+b,则当l'与椭圆只有一个公共点时,△OBC的面积最大. 联立消去y并整理得3x2+3bx+b2-3=0, 此时Δ=9b2-12(b2-3),令Δ=0,解得b=±2 当b=2时,C;当b=-2时,C 设点C到直线OB的距离为h, 则△OBC的面积S=|OB|·h= 2.1　运算与数据处理能力 运算技能是依据运算法则和运算程序,对运算对象实施数学变形的技巧和能力,是求得正确结果的必备技能.培养运算技能,有助于我们理解运算的算理,寻求合理简洁的运算途径解决问题.在解决问题时,要尝试发现数学运算中隐含的规律,这有助于深入理解数学问题,培养逻辑和分析能力;要尝试从各个角度考虑可能的解决方案,这有助于培养创造力,提高解决问题的能力;要进行反复的数学计算和操作,从而使数学运算成为一种自然而然的思考方式;还要学会将复杂的数学问题拆分成更小的部分,并找到更简单的解决方法.通过运算促进数学思维发展,形式规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神. 2.1　运算与数据处理能力 能力评价 水平 质量描述 水平一 能够在熟悉的数学情境中了解运算对象,提出运算问题. 能够了解运算法则及其适用范围,正确进行运算;能够在熟悉的数学情境中,根据问题的特征建立合适的运算思路解决问题. 在运算过程中,能够体会运算法则的意义和作用,能够运用运算验证简单的数学结论. 在交流的过程中,能够用运算的结果说明问题 2.1　运算与数据处理能力 水平 质量描述 水平二 能够在关联的情境中确定运算对象,提出运算问题. 能够针对运算问题,合理选择运算方法设计运算程序来解决问题. 能够理解运算是一种演绎推理;能够在综合利用运算方法解决问题的过程中,体会程序化思想的意义和作用. 在交流的过程中,能够借助运算探讨问题 水平三 在综合情境中,能把问题转化为运算问题,确定运算对象和运算法则,明确运算方向. 能够对运算问题构造运算程序,解决问题. 能够用程序化的思想理解与表达问题,理解程序化与计算机解决问题的联系. 在交流的过程中,能够用程序化思想理解和解释问题 2.1　运算与数据处理能力 高考链接 高考题重视对数学运算能力的考查,小到运用运算公式进行数值计算,大到通过探究运算思路选择运算方法都有涉及.从考查方式来看,主要是和其他知识点结合,运用记忆、理解、推理的方式沟通不同的知识点,建构解决问题的思路.集合、复数、向量、指对幂函数等内容的考查以运算法则和性质定理为主,圆锥曲线、导数等内容的考查以运算思路和演绎推理为主,三角函数、解三角形、数列、概率统计等内容的考查以运算方法为主. 2.1　运算与数据处理能力 近3年高考中考查数学运算能力的试题分布情况如下: 关键能力 2025年 2024年 2023年 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 全国 甲卷 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 全国 甲卷 全国 乙卷 数学运算 运算与数据处理能力 7,13, 16 4,8, 9,12, 13,15 16 7 理13, 理17 10,20 13 文3, 文8, 理4, 理19, 理20 理15, 理17, 文17 2.1　运算与数据处理能力 关键能力 2025年 2024年 2023年 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 全国 甲卷 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 全国 甲卷 全国 乙卷 数学运算 运算路径选择能力 10,18, 19 11,16, 18 16 6,7, 8,13, 15,16, 19 理4, 文4 6,16, 20,21 5,6, 8,14, 17,18 文7,文10, 理11,理16, 理17,理20, 理21 文6, 理9 估值与近似计算能力 15   9 4 理17 9 19 文19,理19   2.1　运算与数据处理能力 2.1　运算与数据处理能力 新高考背景下,对数学的考量标准由单一成绩考量向多维度考量方向发展.高中生的运算与数据处理能力也是考量标准重要的组成部分,其对学生数学素养的提升及学生今后的成长具有不可小觑的作用. 在平时的学习中,首先要加强对数据的直接感官,掌握收集、整理、分析、抽取、运用数据的相应手段;其次,要学会在实际案例中收集、整理数据并得出相应结论,避免出现死记硬背、机械套用公式等现象,学会从实际案例中感知数据的重要性,充分培养数学思维. 2.1　运算与数据处理能力 例1　(2024全国甲卷,理15)已知a>1,=-,则a=　　　　　.  [思维路径] 2.1　运算与数据处理能力 [解题过程] 由题意知log2a=-,整理得(log2a)2-5log2a-6=0, 则log2a=-1或log2a=6,又a>1,所以log2a=6, 故a=26=64. [答案] 64 2.1　运算与数据处理能力 学友聊斋 2.1　运算与数据处理能力 例2　(2024全国甲卷,理17)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下: 单位:件 车间 优级品 合格品 不合格品 合计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 合计 96 52 2 150 2.1　运算与数据处理能力 (1)填写如下列联表: 单位:件 车间 优级品 非优级品 甲车间     乙车间     能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异? 2.1　运算与数据处理能力 (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果>p+1.65,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?(12.247) 附:K2= P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2.1　运算与数据处理能力 [思维路径] 2.1　运算与数据处理能力 [解题过程] (1) 单位:件 车间 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 K2==4.687 5, 因为3.841<K2<6.635,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. 2.1　运算与数据处理能力 (2)由题意,得=0.64,p+1.65=0.5+1.65 0.5+1.650.5+1.650.567. 因为>p+1.65, 所以该工厂产品的优级品率提高了. 2.1　运算与数据处理能力 学友聊斋 2.1　运算与数据处理能力 例3　(2024新高考Ⅰ卷,16)已知A(0,3)和P(3,)为椭圆C:=1(a>b>0)上两点. (1)求椭圆C的离心率; (2)若过点P的直线l交椭圆C于另一点B,且△ABP的面积为9,求直线l的方程. 2.1　运算与数据处理能力 [思维路径] 2.1　运算与数据处理能力 [解题过程] (1)将点A(0,3),P(3,)的坐标分别代入椭圆C:=1(a>b>0)的方程,得得a2=12,b2=9,所以a=2,c2=a2-b2=12-9=3,所以c=,所以离心率e= 2.1　运算与数据处理能力 (2)由(1)知椭圆C的方程为=1. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,B(3,-),|PB|=3,点A到直线PB的距离d=3,此时S△ABP=3×3=9,不满足条件. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-=k(x-3),联立直线l与椭圆C的方程,得消去y可得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0. 2.1　运算与数据处理能力 设点B(x0,y0),则 所以|PB|=|x0-3|= 又点A到直线l的距离d=, 所以△ABP的面积S==9,解得k=或k= 所以直线l的方程为y=x或y=x-3. 2.1　运算与数据处理能力 学友聊斋 2.1　运算与数据处理能力 能 力 训 练 A组　基础性题组 题号 选题理由 1 借助频率分布直方图进行数据处理,考查平均数、百分位数的计算 2 通过观察条件式的结构特点,熟练选择三角恒等变换公式求解问题 3 通过观察条件式的结构特点,准确选择向量公式求模长 4 厘清f(x)的意义,选择合适路径求解a为解题关键 5 把握对等比数列基本量的求解,考查运算求解能力 2.1　运算与数据处理能力 1.☆(2025河北廊坊模拟,多选题)某商场统计了180天的日收入(单位:万元),并分组如下:[0,2),[2,4),[4,6),…,[10,12],得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是(　AD　) A.这180天中日收入不低于8万元的 有54天 B.用比例分配的分层随机抽样法从 日收入低于8万元的天数中抽取14天, 则这14天中有6天的日收入低于4万元 C.这组数据的平均数约是5万元(每组数据以区间中点值为代表) D.这组数据的第75百分位数为8.5万元 2.1　运算与数据处理能力 [解题过程]由频率分布直方图得这180天中日收入不低于8万元的有(0.100+0.050)×2×180=54(天),故A正确; 日收入低于8万元的各组[0,2),[2,4),[4,6),[6,8)的频率比为0.050∶0.075∶0.100∶0.125=2∶3∶4∶5,所以从日收入低于8万元的天数中抽取14天,各组抽取的天数依次为2,3,4,5,则这14天中有2+3=5(天)的日收入低于4万元,故B错误; 这组数据的平均数是(0.050×1+0.075×3+0.100×5+0.125×7+0.100×9+0.050×11)×2 =6.2(万元),故C错误; 2.1　运算与数据处理能力 因为前4组的频率为(0.050+0.075+0.100+0.125)×2=0.7<0.75,前5组的频率为1-0.05×2=0.9>0.75,所以这组数据的第75百分位数在第5组,为8+=8.5(万元),故D正确.故选AD. 2.1　运算与数据处理能力 2.☆(2025新高考Ⅱ卷,8)已知0<α<π,cos,则sin(α-)=(　D　) A B C D [解题过程]由0<α<π可知0<,因为cos,所以sin, 所以sin α=2sincos=2,cos α=2cos2-1=2×()2-1=- 所以sin(α-)=sin αcos-cos αsin-(-)故选D. 2.1　运算与数据处理能力 3.☆(2023新高考Ⅱ卷,13)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .  [解题过程]由|a-b|=,得a2-2a·b+b2=3,即2a·b=a2+b2-3①. 又由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,即3a2-6a·b=0,即2a·b=a2, 代入①,得a2=a2+b2-3,整理,得b2=3,所以|b|= 2.1　运算与数据处理能力 4.☆☆(2025河北NT20名校联合体第二次调研)已知函数f(x)=sin 2x+acos 2x满足f(x)恒成立,则当x∈[-]时,曲线y=f(x)与y=sin x的交点个数为(　B　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.1　运算与数据处理能力 [解题过程]因为f(x)恒成立,所以直线x=为曲线f(x)的一条对称轴,那么f(0)=f(),所以a=a,解得a=,f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+), f(x)=2sin(2x+)与y=sin x的大致图象如图所示: 由图可知,曲线y=f(x)与y=sin x的交点个数为4.故选B. 2.1　运算与数据处理能力 5.☆(2025北京卷,5)已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10=(　C　) A.-20 B.-18 C.16 D.18 [解题过程]设数列{an}的公差为d,则d≠0. ∵a3,a4,a6成等比数列, =a3·a6, ∴(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d), 整理,得d2-2d=0, 解得d=0(舍)或d=2, ∴a10=a1+9d=16.故选C. 2.1　运算与数据处理能力 B组　综合性题组 题号 选题理由 1 抽象出问题情境中的数学问题是解题关键,综合考查等比数列和二项式定理 2 考查圆台的基础知识,突出空间想象和运算求解能力 3 本题综合考查直线与圆、圆与圆的位置关系 4 通过观察条件式的结构特点,合理构造即可求出数列的通项公式 2.1　运算与数据处理能力 1.☆(2025江西师范大学附属中学三模)某银行大额存款的年利率为3%,小张于2024年年初存入大额存款10万元,按照复利计算第8年后他能得到的本利和约为(　B　)(单位:万元,结果保留一位小数) A.12.6 B.12.7 C.12.8 D.12.9 [解题过程]存入大额存款10万元,按照复利计算,每年年末本利和是以10为首项,1+3%为公比的等比数列, 所以本利和S=10(1+3%)8 =10[0.031+0.032+…+0.037+0.038]≈12.7.故选B. 2.1　运算与数据处理能力 2.☆☆(2025山东济南二模)已知圆台的侧面展开图是半个圆环,侧面积为4π,则圆台上、下底面面积之差的绝对值为(　B　) A.π B.2π C.4π D.8π [解题过程]如图, 设展开图小圆半径和大圆半径分别为r,R, 则圆台侧面积S=(R2-r2)=4π, 即R2-r2=8,上底面半径r1=,下底面半径R1=, 圆台上、下底面面积之差的绝对值为-=π()=2π. 故选B. 2.1　运算与数据处理能力 3.☆☆(2025山东青岛模拟,多选题)已知动点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2 =1和圆C2:(x-3)2+(y-4)2=3上,动点P在x轴上,则下列说法正确的有(　BD　) A.圆C2的半径为3 B.圆C1和圆C2相离 C.|PM|+|PN|的最小值为2 D.过点P作圆C1的切线,则切线长最短为 2.1　运算与数据处理能力 [解题过程]圆C1的圆心C1(1,2),半径r1=1,圆C2的圆心C2(3,4),半径r2=,故A错误; |C1C2|=2>1+,圆C1和圆C2相离,B正确; 圆C1关于x轴对称的圆为C0:(x-1)2+(y+2)2=1,C0(1,-2), 连接C0C2交x轴于点P1,连接P1C1, 由圆的性质得, |PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|- =|PC0|+|PC2|-1-|C0C2|-1-=2-1-,当且仅当点P与P1重合,且M,N是线段P1C1,P1C2分别与圆C1和圆C2的交点时等号成立,C错误; 2.1　运算与数据处理能力 设点P(t,0),过点P的圆C1的切线长|PA|=,当且仅当t=1,即P(1,0)时取等号,D正确.故选BD. 2.1　运算与数据处理能力 4.☆☆(2025安徽安庆二模)数列{an}满足a1=1,an+1=+2an,则使得>2 025的正整数n的最小值为　6　.  [解题过程]因为an+1=+2an,所以an+1+1=(an+1)2, 则ln(an+1+1)=2ln(an+1), 又a1+1=2,所以数列{ln(an+1)}为以ln 2为首项,2为公比的等比数列, 所以ln(an+1)=2n-1ln 2,所以an=-1,则使得>2 025, 计算得正整数n的最小值为6. 2.1　运算与数据处理能力 C组　应用性题组 题号 选题理由 1 结合问题情境,考查化学器皿即圆台的体积公式 2 以“进位制”转化为背景,考查二项式定理 3 理解“马赫数”的概念,运用对数式与指数式的互化解决问题 4 综合考查等差数列基本量的运算、裂项相消法求和以及数列中的恒成立和最值问题,对运算求解能力有较高要求 2.1　运算与数据处理能力 1.☆(2025山东烟台二模)一化学器皿为圆台形状,其上、下底面半径分别为1 cm和5 cm,高为10 cm(器皿厚度忽略不计).现将该器皿水平放置后(上底位于上方)注入盐酸溶液,若溶液高度恰为5 cm,则溶液体积为(　B　) A.245π cm3 B cm3 C.490π cm3 D cm3 [解题过程]因为溶液高度恰为5 cm,所以溶液的上底面半径为=3(cm), 下底面半径为5 cm,高为5 cm, 所以溶液的体积V=(32+52+3×5)×π×5=(cm3).故选B. 2.1　运算与数据处理能力 2.☆(2025湖北华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定满十进一就是十进制,满八进一就是八进制,即“满几进一”就是几进制,不同进制的数可以相互转换,如十进制下,159=2×82+3×8+7,用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的719,则这个八进制数的最后一位为(　D　) A.3 B.4 C.5 D.7 [解题过程]719=(8-1)19 =819-818+817-816+815+…+8-1, 而8-1=151=2×82+2×8+7,故最后一位数为7.故选D. 2.1　运算与数据处理能力 3.☆(2025北京东城二模)马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下,某飞行器的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg)、飞行器(除燃料外)的质量m(单位:kg)的函数关系是v= 2 900ln(1+).已知当该飞行器所处高空的音速为290 m/s,最大速度对应的马赫数分别为8和13时,燃料的质量分别为M1和M2,则下列结论一定正确的是(　C　) A B=e C D=e 2.1　运算与数据处理能力 [解题过程]当马赫数为8时,速度v1=8×290=2 900ln(1+),解得1+,即-1. 当马赫数为13时,速度v2=13×290=2 900ln(1+),解得1+, 即-1,所以故选C. 2.1　运算与数据处理能力 4.☆☆☆(2025山东济南三模)记等差数列{an}的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn,已知a1=1,S3=6. (1)求{an}的通项公式; (2)求Tn; (3)若∀n∈N*,an+3成立,求实数k的最小值. [解题过程](1)设数列{an}的公差为d, 所以S3=a1+a2+a3=3a2=3(a1+d)=6,即a1+d=2, 又a1=1,所以d=1, 所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n,即an=n. 2.1　运算与数据处理能力 (2)由(1)有Sn=,所以=2(), 所以Tn=+…+=2(1-+…+)=2(1-)=, 所以Tn= (3)由(1)(2)有an+=n+3,即k,令t=n+1,则t≥2,则n=t-1, 所以k=10-(2t+), 由2t+2=8,当且仅当2t=,即t=2时,等号成立,所以k≥10-8=2,所以实数k的最小值为2. 2.1　运算与数据处理能力 D组　创新性题组 题号 选题理由 1 通过题目设置的新情境,考查椭圆的离心率 2 根据结构式特点,证明等差数列并求解数列的通项公式,并在此基础上结合导数考查错位相减法,题目创新意识强 3 以新定义的比赛为背景,综合考查概率分布列、条件概率、全概率公式及证明不等式 4 以等腰三角形的循环变换为背景,从特殊到一般,层层递进考查解三角形知识 2.1　运算与数据处理能力 1.☆☆(2025安徽黄山模拟)蒙日是法国著名的数学家,他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆,这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆C:=1(m>0)的焦点在x轴上,A,B为椭圆上任意两点,动点P在直线x-y-6=0上.若∠APB恒为锐角,根据蒙日圆的相关知识得椭圆C的离心率的取值范围为(　B　) A.(0,) B.(0,) C.(,1) D.(,1) 2.1　运算与数据处理能力 [解题过程]∵椭圆C的焦点在x轴上,∴m>3. ∵直线x=±,y=±与椭圆C都相切,∴直线x=±,y=±所围成矩形的外接圆x2+y2=3+m即为椭圆C:=1的蒙日圆. ∵A,B为椭圆C:=1上任意两个点,动点P满足∠APB为锐角, ∴点P在圆x2+y2=3+m外,又动点P在直线x-y-6=0上, ∴直线x-y-6=0与圆x2+y2=3+m没有交点,,解得m<9, 又m>3,∴3<m<9. ∵椭圆C离心率e=(,1),∴e∈(0,).故选B. 2.1　运算与数据处理能力 2.☆☆☆(2025新高考Ⅰ卷,16)已知数列{an}中,a1=3, (1)证明:数列{nan}为等差数列; (2)给定正整数m,设f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2). [解题过程](1)证明:, ∴(n+1)an+1=nan+1, ∴(n+1)an+1-nan=1. 又a1=3,1×a1=3, ∴数列{nan}是以3为首项,1为公差的等差数列. 2.1　运算与数据处理能力 (2)解:∵f(x)=a1x+a2x2+…+amxm, 则f'(x)=a1+2a2x+…+mamxm-1. 由(1)知,nan=n+2, ∴f'(-2)=3+4×(-2)+…+(m+2)×(-2)m-1,① -2f'(-2)=3×(-2)+…+(m+1)×(-2)m-1+(m+2)×(-2)m,② ①-②,得3f'(-2)=3+(-2)+…+(-2)m-1-(m+2)×(-2)m =3+-(m+2)×(-2)m=3--(m+)×(-2)m, 故f'(-2)=-()×(-2)m. 2.1　运算与数据处理能力 3.☆☆☆☆(2025山东济南三模)甲、乙两人比赛,比赛规则为:共进行奇数局比赛,全部比完后,所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是p(0<p<1),各局比赛之间的结果互不影响,且没有平局. (1)当p=时,若两人共进行5局比赛,设两人所赢局数之差的绝对值为X,求X的分布列和数学期望; (2)当p=时,若两人共进行2n+1(n∈N*且n≥2)局比赛,记事件Ak表示“在前2n-1局比赛中甲赢了k(k=0,1,2,…,2n-1)局”,事件B表示“甲最终获胜”.请写出P(B|Ak),P(B|An-1),P(B|An),P(B|Ak)的值(直接写出结果即可); 2.1　运算与数据处理能力 (3)若两人共进行了2n-1(n∈N*)局比赛,甲获胜的概率记为Pn. 证明:当<p<1时,Pn+Pn+2<2Pn+1. 2.1　运算与数据处理能力 [解题过程](1)X的可能取值为1,3,5, P(X=1)=()2×()3×2=, P(X=3)=()4×2=, P(X=5)=()5×2= 所以X的分布列为 X 1 3 5 P 数学期望E(X)=1+3+5 2.1　运算与数据处理能力 (2)当p=时,两人共进行2n+1(n∈N*且n≥2)局比赛,前2n-1局, 甲赢的局数不足n-1局,再赢2局,甲不能获胜,因此P(B|Ak)=0; 前2n-1局,甲已赢n-1局,最后2局全赢,甲能获胜,因此P(B|An-1)=()2=; 最后2局甲至少赢1局,甲能获胜,因此P(B|An)=1-()2=; 前2n-1局,甲已赢n+1局,甲必胜,因此P(B|Ak)=1. 2.1　运算与数据处理能力 (3)证明:由全概率公式得, Pn+1=pn-1·(1-p)np2+pn(1-p)n-1·[1-(1-p)2]+[Pn-pn(1-p)n-1] =Pn+pn-1(1-p)n·p2-pn(1-p)n-1·(1-p)2 =Pn+pn+1·(1-p)n-pn(1-p)n+1 =Pn+pn(1-p)n(2p-1), 则Pn+1-Pn=pn(1-p)n(2p-1), 2.1　运算与数据处理能力 当<p<1时,Pn+1-Pn>0, p(1-p)=p(1-p)<4p(1-p)≤4[]2=1, 因此Pn+2-Pn+1<Pn+1-Pn,所以Pn+Pn+2<2Pn+1. 2.1　运算与数据处理能力 4.☆☆☆☆(2025山东济南二模)如图,已知给定线段B1C1长为2,以B1C1为底边作顶角为θ(0°<θ≤90°)的等腰三角形A1B1C1,取△A1B1C1的腰A1B1的三等分点B2,C2(B2靠近A1),以B2C2为底边向△A1B1C1外部作顶角为θ的等腰三角形A2B2C2……依次类推,取△An-1Bn-1Cn-1的腰An-1Bn-1的三等分点Bn,Cn(Bn靠近An-1),以BnCn为底边向△An-1Bn-1Cn-1外部作顶角为θ的等腰三角形AnBnCn(n≥2),得到三角形列{△AnBnCn}. (1)用θ表示出△A2B2C2的外接圆半径; (2)当θ=60°时,证明:{△AnBnCn}各顶点均在△A1B1C1 的外接圆上或其内部; (3)若{△AnBnCn}各顶点均在△A1B1C1外接圆上或其 内部,求cos θ的取值范围. 2.1　运算与数据处理能力 [解题过程](1)设△A2B2C2的外接圆半径为r2, 由题意知,A1B1=,B2C2=A1B1=, 又A2=θ,故2r2= 故△A2B2C2的外接圆半径为r2= 2.1　运算与数据处理能力 (2)证明:设△AnBnCn的外心为On,外接圆半径为rn,BnCn的中点为Mn,BnCn=ln, 则rn=,AnBn=,ln+1=AnBn= 注意到An-1Bn-1的中点也为Mn,故An-1Bn-1的垂直平分线与BnCn的垂直平分线重合. 由题意知An,On,On-1均在BnCn的垂直平分线上. 而On-1Mn=An-1Mn·tantan, OnMn=, 故OnOn-1=On-1Mn+OnMn= 2.1　运算与数据处理能力 另一方面,rn-1-rn=(1-)==OnOn-1, 故△AnBnCn的外接圆内切于△An-1Bn-1Cn-1的外接圆. 从而△AnBnCn的外接圆各点位于△An-1Bn-1Cn-1的外接圆上或其内部.① 反复使用结论①可得,△AnBnCn的外接圆位于△A1B1C1的外接圆上或其内部. 故△AnBnCn各顶点均在△A1B1C1的外接圆上或其内部. 2.1　运算与数据处理能力 (3)若满足题意,则点A2位于△A1B1C1外接圆上或其内部,故A2O1≤r1. 由(2)知O1M2=A1M2·tantan, A2M2=,A2O1=A2M2+O1M2=]. 由题意,A2O1≤r1,即], 解得sin1.故60°≤θ≤90°. 当60°≤θ≤90°时,同上可得AnOn-1≤rn-1. 2.1　运算与数据处理能力 由(2)知An,On,On-1共线, 故AnOn+OnOn-1≤rn-1, 即rn+OnOn-1≤rn-1. 故OnOn-1≤rn-1-rn, 故△AnBnCn的外接圆与△An-1Bn-1Cn-1外接圆内切或位于其内部. 故△AnBnCn各顶点均在△A1B1C1外接圆上或其内部, 故cos θ的取值范围是[0,]. 2.1　运算与数据处理能力 $