精品解析：江苏无锡金桥双语实验学校2025-2026学年下学期九年级数学限时训练3

江苏无锡金桥双语实验学校2025-2026学年下学期九年级数学限时训练3 一、选择题（共10小题） 1. 惠山古镇映月里街区于今年4月30日正式开街，当天就吸引了近名游客前来游玩，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，平方差公式，掌握运算法则是解题的关键． 分别根据幂的、积的乘方运算，同底数幂的除法运算，合并同类项运算法则以及平方差公式进行判定即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 3. 某学生六次数学成绩（单位：分）为：、、、、、，则这组数据的众数与极差分别是（　　） A. 80.5，17 B. 80.5，9 C. 81，9 D. 81，17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和极差，根据众数和极差的定义计算即可得解，熟练掌握众数和极差的定义是解此题的关键． 【详解】解：在这组数据中出现次数最多的为，故众数为， 将这组数据按从小到达排列为：、、、、、，故极差为， 故选：D． 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 平行四边形的对角线相等 C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 菱形对角线互相垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的判定判断A；根据平行四边形的性质判断B；根据菱形的判定判断C；根据菱形的性质判断D． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是真命题，故此选项不符合题意； B、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，所以平行四边形的对角线相等是假命题，故此选项符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形是真命题，故此选项不符合题意； D、菱形对角线互相垂直平分是真命题，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程和实际应用，设甲经过x天后与乙相遇，根据题意列出方程即可，解题关键是读懂题意，根据数量关系列出方程． 【详解】解：设甲经过x天后与乙相遇， 根据题意得：， 故选D． 6. 已知二次函数与一次函数的图象交于两点，这两点的横坐标分别为和，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方，二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数与一次函数， 可得图象如图， 根据图象可知：当时，，即， 故选：． 7. 如图，中，，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质与判定，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作于，延长至点，使得，连接，利用等腰三角形的性质得到，结合推出，则有，得到，设，，在利用勾股定理建立方程，求出之间的关系，再利用正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，作于，延长至点，使得，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 设，，则， ， 在中，， ， 解得：， ． 故选：D． 8. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 9. 如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折可得，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折可得，，， ∴， ∴． 故选：C． 10. 定义：（1）是的函数：（2）对于在自变量取值范围之内的任意对应的函数值，始终有（为实数），则是的“顶峰”函数．其中所有满足条件的最小值称为这个函数的“巅峰”值．下列说法正确的有（ ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③函数的“巅峰”值为3，则的值为－2或： ④若函数的最小值不超过，“巅峰”值是，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据新定义可知，“巅峰值”就是函数在自变量范围内的最大值，“顶峰函数”就是函数在自变量范围内存在最大值，结合一次函数的性质，逐个判断即可得到结果 【详解】解： ①对于， ∵随增大而减小， ∴当时，取得最大值，即恒成立， ∴函数是“顶峰”函数，①正确； ②对于， ∵，随增大而增大， ∴当时，取得最大值，即恒成立， ∴函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为，②正确； ③对于，巅峰值为，即最大值为，分情况讨论： 当时，随增大而增大，最大值在处， ∴，解得，与矛盾，舍去； 当时，随增大而减小，最大值在处， ∴，解得，与矛盾，舍去； 当时，，最大值为，不符合题意， ∴不存在满足条件的，③错误； ④对于， ∵，随增大而减小， ∴函数最大值为，最小值为， ∵巅峰值是，∴， ∵最小值不超过，∴， 将代入不等式得， 化简得，解得， 又，即，解得， ∴， ④错误； 综上，①②正确，共个正确说法，故选B 二、填空题（共8小题） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式解题即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式进行因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 12. 已知，，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．利用进行计算即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 13. 命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：根据题意可知，命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，该命题是真命题， 故答案为：真． 14. 若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为的正方形，则该直三棱柱的表面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得出正三角形的边长为，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵侧面展开图是边长为的正方形， ∴底面周长为， ∵底面为正三角形， ∴正三角形的边长为 作， 是等边三角形，， ， 在直角中， ， ； ∴该直三棱柱的表面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，是的直径，弦，G是上一点，的延长线交于点F．若，，则_____，四边形的面积为_______． 【答案】 ①. ## ②. 242 【解析】 【分析】利用垂径定理和圆周角定理求得，再根据圆内接四边形的性质证明，，推出，利用垂径定理和勾股定理求得，利用正切函数的定义可求得的值；利用等腰三角形的性质以及的值可求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，，作于点H， ∵是的直径，弦， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴，，而，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵是的直径，弦， ∴， ∴，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：，242． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，正切函数的定义，等腰三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键． 16. 如图1．中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意， ，，菱形 ，， 设，， ，，， 由，得即，根据勾股定理，故，过点D作于点Q，根据题意，得，设，则，，故，解答即可． 【详解】解：根据题意， ，，菱形 ，， 设，， ，，， 由，得即， 根据勾股定理，得， 故， 解得（舍去）， 故， 过点D作于点Q， 根据题意，得， 设， 则，， 故， 解得， 故（舍去）， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解方程，三角函数的应用，拼图的几何意义，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 17. 如图，已知是边长为4的等边三角形，将它绕着边的中点旋转一周，得到，连接、，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，由等边绕着边的中点旋转一周，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的另一个交点为，当最小时，上的高最大，此时，记垂足为，即上的高为，再进一步解答即可． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， 记与的另一个交点为， 如图， ∴重叠部分的面积为上的高， 当最小时，上的高最大， 此时，记垂足为，即上的高为， ∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，已知，，，．分别连接，，，把沿翻折得到．当与重合时，______；当以、、、为顶点的四边形是矩形时，______． 【答案】 ①. 6 ②. 或或 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，第一空：根据轴的性质得，由勾股定理得，求得，再根据两点间距离公式求出；第二空：分点在轴上和不在轴上两种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据题意得，当与重合时，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴； 当以、、、为顶点的四边形是矩形时，有两种情况： ①当点在轴上，如图， 此时， ∴； ②当点不在轴上，如图， 过点作于点，于点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得，或， 综上，的值为：1或5或6； 故答案为：6；1或5或6． 三、解答题（共10小题） 19. （1）因式分解：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式2，再运用平方差公式分解即可； （2）以为最简公分母，通分化简即可． 本题考查了因式分解，通分，熟练掌握通分和因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，熟知解一元二次方程的方法和解不等式组的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， ， ∴， ∴，， （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 21. 如图，点E是的边的中点，连结并延长，交的延长线于点F． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点E是的边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，再由，可得，从而可得结论； （2）先求解，，再利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，熟练的利用平行四边形的性质解题是关键． 22. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． （1）从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______； （2）从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）从这4张书签中随机抽取1张共有4种等可能的结果，再利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，则可得从这4张书签中随机抽取2张的所有等可能的结果，再找出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：∵从这4张书签中随机抽取1张共有4种等可能的结果， ∴从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从这4张书签中随机抽取2张共有12种等可能的结果，其中，随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果有2种， 则随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为， 答：随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为． 23. 在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技社团小组随机调查了若干株番茄的挂果数量（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表：请根据以上信息回答下列问题： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量（个） 频数（株） 频率 6 12 9 （1）本次抽样调查的样本容量为___________．统计表中， _____， ______， _____； （2）将频数分布直方图中第三组和第四组补充完整； （3）若绘制“挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在所对应扇形的圆心角度数为___________； （4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，请估计挂果数量在“”范围的番茄有多少株？ 【答案】（1）60；15；18； （2） 解：补全图如下： （3） （4）450株 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布表和补全频数分布直方图，用样本的频率估计总体等，从统计表中获得正确的信息是解决问题的关键． （1）根据的频率为，频数为6，求总数即可；根据的频率为求出频数即可；根据总数和其他各项的频数和频率，求出b、c即可； （2）由（1）得，补全图，即可求解； （3）用乘以的频率，即可得出答案； （4）由表格可求出挂果数量在55个以上（包含55个）的频率为，从而可求解． 【小问1详解】 解：由题意得样本容量为： ， ， ， ； 故答案为：60；15；18；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：挂果数量在所对应扇形的圆心角度数为： ； 【小问4详解】 解：由题意得： （株）， 答：挂果数量在“”范围的番茄有450株． 24. 如图，在中，； （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1） ①如图，中线即为所求； ②如图，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）①尺规作边的垂直平分线，得出中点，连接即可； ②尺规作边的垂直平分线，得出中点点，以点为圆心，为直径作圆，圆交边于点，连接，则． （2）根据，得出，设，则，根据和勾股定理求出，得，过作，根据等面积法得出，勾股定理求出，即可得，根据圆周角定理得出，即可得，根据平行线分线段成比例得出．再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①略 ②理由，∵，为圆的直径， ∴点在圆上， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作， 则， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】该题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确作出图形． 25. 如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． （1）求证：直线是的切线； （2）过点作于点，交于点，若的半径为3，点为的中点，求图中阴影部分（弓形）的面积． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ，， ， ，即， ， 是的半径， 直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，求弓形面积，等边三角形的性质与判断，圆周角定理等等： （1）连接，根据圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和已知条件可求得，再根据切线的判定定理可得结论； （2）过点作于，连接，根据已知和第（1）小题可得，由题意求得，可得，进而判定是等边三角形，求出的度数，利用可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于，连接， ， ， 由（1）得， ， ， ， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 26. 根据收集的素材，探索完成任务． 如何设计摇椅椅背有坐垫长度？ 素材一 某公司设计制作一款摇椅，图为效果图，图为其侧面设计图．其中为椅背，为坐垫，，为焊接点，且与平行，支架、所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心．设计方案中，要求，两点离地面高度均为厘米，，两点之间距离为厘米． 素材二 经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点时（如图），点比点在竖直方向上至少高出厘米． （1）任务：探究摇摆规律，计算图中点距离地面的高度． （2）任务：设计椅背、坐垫长度，求椅背的长度范围． 【答案】（1）厘米； （2）． 【解析】 【分析】任务一：根据素材一，过点作垂直地面于，过点作垂直地面于，过点作于，的延长线于地面交于点，则四边形为矩形，四边形为矩形，厘米，根据垂径定理厘米，设底座半径厘米，则厘米，然后在中由勾股定理求出的长，再根据素材二，过点作垂直地面于，于，连接，设厘米，则四边形为矩形，进而得厘米，厘米，然后在和中由勾股定理列出关于的方程，解方程求出即可得出答案； 任务二：过作于，过点作于，过点作垂直地面于，于，连接，先求出，设椅背厘米，则坐垫厘米，根据椅背长度小于坐垫长度得，在中求出厘米，在中求出（厘米），然后点比点在竖直方向上至少高出厘米得，由此解得，据此可得椅背的长度范围； 【小问1详解】 解：如图，根据素材一，过点作垂直地面于，过点作垂直地面于，过点作于，的延长线于地面交于点， ∵支架、所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心，， ∴厘米，， ∵平行于地面，，，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴厘米， 设底座半径厘米， ∴厘米， 在中，厘米，厘米，厘米， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴厘米； 如图，根据素材二，过点作垂直地面于，于，连接， 设厘米， ∵底座与地面相切于点， ∴垂直地面于点， ∴四边形为矩形， ∴厘米， ∴厘米， 在中，厘米，厘米， 由勾股定理得：， 在中，厘米，厘米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点距离地面的高度为厘米； 【小问2详解】 如图，过点作于点，过点作于点，过点作垂直地面于点，于点，连接， ∵，垂直地面于点，垂直地面于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由任务一可知：厘米，且厘米， 在中，， ∴， ∵椅背和坐垫的材料总长度为厘米， ∴设椅背厘米，则坐垫厘米， ∵椅背长度小于坐垫长度， ∴， 解得：， 在中，， ∴厘米， 在中，， ∴（厘米）， ∵点比点在竖直方向上至少高出厘米， ∴，即 即：， ∴， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 即：， ∴椅背的长度范围是：． 27. 在平面直角坐标系中，二次函数（a、b、c为常数，且，）的图像顶点C的坐标是． （1）若，求二次函数表达式； （2）点，是该函数图像上的两个不同的点，若，请判断，的大小关系，并说明理由； （3）等腰直角的直角顶点B在该二次函数的图像上，点D在该二次函数图像的对称轴上，若，直接写出a的值． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3）或或 【解析】 【分析】（1）当时，，设二次函数表达式为，利用待定系数法可得，进而可求解； （2）由（1）可知，，可得，，则，由，得，分两种情况：当时，当时，判断的正负即可求解； （3）根据等腰直角三角形的性质可知，，当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则，先证明，得，，则，即：，可得点在直线上，结合，求得点的坐标为或，即可求得或，进而求得的值；当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，同理即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∵图象顶点C的坐标是，则设二次函数表达式为， 把代入可得：， ∴， ∵，则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， 则 ∵， ∴， 当时，， ∵，，， ∴，即：； 当时，， ∵，，， ∴，即：； 综上：当时，；当时，； 【小问3详解】 解：∵为等腰直角三角形，，且 ∴，， ∴，， 当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， 则，即： ∴点在直线上， 则， 解得：或，即：点的坐标为或， ∵， ∴或， 解得：（负值舍去）或（负值舍去）， 当时，；当时，； 当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则， 同理， ∴，， 则，即： ∴点在直线上， 则，解得：或 即：点的坐标为或， ∵， ∴或， 解得：（负值舍去）或（负值舍去）， 当时，；当时，； 综上，或或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论，添加辅助线全等三角形，得到点在直线上，是解决问题的关键． 28. 某校数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点E、F分别是、边上的动点． （1）若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点，的对应点分别、．点恰好是的中点．若，那么_____；若交于点，连接，求的长； （2）若，如图②，且，将四边形沿翻折，点，的对应点分别为、．当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为_____． （3）若四边形是正方形，，如图③，连接交于点，以为直径作圆，该圆与交于点和点，将沿翻折，若点的对应点刚好落在边上，求此时的长度． 【答案】（1）3； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，在中根据勾股定理列出方程，进而求得结果； 证明，得出，求出，根据勾股定理求出； （2）连接，交于，连接，，作点关于的对称点，可证得，从而，进而证得是等边三角形，从而，从而得出点在以为圆心，4为半径的上运动，根据弧长公式求得结果； （3）连接，作于，作，交的延长线于，设，，可证得，从而，，进而表示出，可证得，从而得出，，进而表示出，，，，，，在中，由勾股定理列出方程求得的值，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ，， ∵是的中点， ， 设，则， ， ， ； ∵四边形是正方形， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 根据勾股定理得：， ， ∴； 【小问2详解】 解：连接，交于，连接，，作点关于的对称点，如图2， ， ∵四边形是矩形， ，，，， ， ∵，， ∴， ， ∵为直角三角形， ∴， ∵，， ， ， 是等边三角形， ，， 点在以为圆心，4为半径的上运动， ∵， ， ； 【小问3详解】 解：连接，作于，作，交的延长线于，如图3， 设，， ∵四边形是的内接四边形，是的直径， ，，，， ，， ， ， ，， ， 由折叠得： ，，， ， ， ∵， ， ， ， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，（舍去）， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏无锡金桥双语实验学校2025-2026学年下学期九年级数学限时训练3 一、选择题（共10小题） 1. 惠山古镇映月里街区于今年4月30日正式开街，当天就吸引了近名游客前来游玩，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某学生六次数学成绩（单位：分）为：、、、、、，则这组数据的众数与极差分别是（　　） A. 80.5，17 B. 80.5，9 C. 81，9 D. 81，17 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 平行四边形的对角线相等 C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 菱形对角线互相垂直平分 5. 《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数与一次函数的图象交于两点，这两点的横坐标分别为和，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，中，，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：（1）是的函数：（2）对于在自变量取值范围之内的任意对应的函数值，始终有（为实数），则是的“顶峰”函数．其中所有满足条件的最小值称为这个函数的“巅峰”值．下列说法正确的有（ ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③函数的“巅峰”值为3，则的值为－2或： ④若函数的最小值不超过，“巅峰”值是，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共8小题） 11. 因式分解：______． 12. 已知，，那么______． 13. 命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 14. 若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为的正方形，则该直三棱柱的表面积为__________． 15. 如图，是的直径，弦，G是上一点，的延长线交于点F．若，，则_____，四边形的面积为_______． 16. 如图1．中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为______． 17. 如图，已知是边长为4的等边三角形，将它绕着边的中点旋转一周，得到，连接、，则面积的最大值为______． 18. 在平面直角坐标系中，已知，，，．分别连接，，，把沿翻折得到．当与重合时，______；当以、、、为顶点的四边形是矩形时，______． 三、解答题（共10小题） 19. （1）因式分解：； （2）化简：． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 如图，点E是的边的中点，连结并延长，交的延长线于点F． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 22. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． （1）从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______； （2）从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 23. 在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技社团小组随机调查了若干株番茄的挂果数量（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表：请根据以上信息回答下列问题： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量（个） 频数（株） 频率 6 12 9 （1）本次抽样调查的样本容量为___________．统计表中， _____， ______， _____； （2）将频数分布直方图中第三组和第四组补充完整； （3）若绘制“挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在所对应扇形的圆心角度数为___________； （4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，请估计挂果数量在“”范围的番茄有多少株？ 24. 如图，在中，； （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 25. 如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． （1）求证：直线是的切线； （2）过点作于点，交于点，若的半径为3，点为的中点，求图中阴影部分（弓形）的面积． 26. 根据收集的素材，探索完成任务． 如何设计摇椅椅背有坐垫长度？ 素材一 某公司设计制作一款摇椅，图为效果图，图为其侧面设计图．其中为椅背，为坐垫，，为焊接点，且与平行，支架、所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心．设计方案中，要求，两点离地面高度均为厘米，，两点之间距离为厘米． 素材二 经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点时（如图），点比点在竖直方向上至少高出厘米． （1）任务：探究摇摆规律，计算图中点距离地面的高度． （2）任务：设计椅背、坐垫长度，求椅背的长度范围． 27. 在平面直角坐标系中，二次函数（a、b、c为常数，且，）的图像顶点C的坐标是． （1）若，求二次函数表达式； （2）点，是该函数图像上的两个不同的点，若，请判断，的大小关系，并说明理由； （3）等腰直角的直角顶点B在该二次函数的图像上，点D在该二次函数图像的对称轴上，若，直接写出a的值． 28. 某校数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点E、F分别是、边上的动点． （1）若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点，的对应点分别、．点恰好是的中点．若，那么_____；若交于点，连接，求的长； （2）若，如图②，且，将四边形沿翻折，点，的对应点分别为、．当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为_____． （3）若四边形是正方形，，如图③，连接交于点，以为直径作圆，该圆与交于点和点，将沿翻折，若点的对应点刚好落在边上，求此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $