精品解析：宁夏青铜峡市第五中学2025-2026学年下学期阶段性素养测评一九年级数学试卷

2025～2026学年度第二学期 青铜峡市第五中学阶段性素养测评一 九年级数学试卷 （总分120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个点，在反比例函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 5. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，平分，则的度数是( ) A. 45º B. 60º C. 70º D. 75º 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则k的取值范围是________． 10. 如图，是的中位线，已知，则四边形的面积为________． 11. 在中，，，，则的长为________． 12. 如图，已知，若，，，则的长为______． 13. 如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，则矩形的面积为________． 14. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验如图①，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像试验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 15. 已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是____．（结果保留π） 16. 哈尔滨龙塔坐落于经济技术开发区，在钢结构塔中位居亚洲第一，世界第二，在塔上有一个室外观光平台A可以欣赏的哈尔滨市的全景，室外观光平台中央位置A距离塔顶 P约146米，一名同学站在C处观察 A点的仰角为，观察P点的仰角为，则龙塔 的高度为_________．（已知：）（精确到1米） 三、计算题（共8分） 17. 计算 （1） （2）． 四、解答题（共64分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）画出绕点A顺时针旋转的； （2）以点O为位似中心，画出，使与位似，且位似比为，并写出、的坐标． 19. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． （1）该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； （2）当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； （3）若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 21. 如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长． 22. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接、． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积． 23. 四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边缘，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边交于点H．图2中，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5，求井深． 24. 解决问题 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使（，并将原来的滑梯改为．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上） 测量数据 步骤一：利用皮尺测得滑梯的高度（）； 步骤二：在点F处用测角仪测得 步骤三：在点G处用测角仪测得 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：，，，，，） 25. 如图，在中，，以斜边上一点O为圆心，长为半径，作圆O与边相切于点E，交边于点F，交边于点D，连接、． （1）求证：E是的中点． （2）若圆O的半径为5，，求的面积． 26. 已知在中，，过点引一条射线，是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得．通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程． 【类比探究】 （2）如图2，已知． ①当射线在内，求的度数； ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期 青铜峡市第五中学阶段性素养测评一 九年级数学试卷 （总分120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是解题的关键．根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可． 【详解】解：这个几何体的主视图如下： 故选：A． 2. 下列四个点，在反比例函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：当时，，即点在反比例函数图象上； 当时，，即点在反比例函数图象上； 当时，，即点在反比例函数图象上； ∴四个选项中只有选项D符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足反比例函数解析式是解题的关键． 3. 如图，在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，可得再建立方程即可． 【详解】解： ，， ， 解得：经检验符合题意 故选C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“”是解本题的关键． 4. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，格点正方形的边长为1，根据题意，得，，且故，根据正切函数的定义，解答即可．本题考查了正切函数的计算． 【详解】解：连接，格点正方形的边长为1，根据题意，得，，且故， 故， 故选：D． 5. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 6. 如图，在中，，，平分，则的度数是( ) A. 45º B. 60º C. 70º D. 75º 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊的三角函数值求出∠A=30°,∠B=60°,再利用角平分线性质得∠ACD=∠BCD=45°,最后利用三角形内角和即可解题. 【详解】解：在直角三角形ABC中, ∵，， ∴∠A=30°,∠B=60°, 又∵平分， ∴∠ACD=∠BCD=45°, ∠BDC=180°-60°-45°=75°, 故选D. 【点睛】本题考查了特殊的三角函数值,角平分线的性质,三角形的内角和,属于简单题,熟悉特殊三角函数值是解题关键. 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断两个点是否在同一象限内，然后根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】∵点，都在反比例函数的图象上，∴ ，图象位于第二、四象限内，且 随 增大而增大， ∵， ∴点在第四象限，点在第二象限， ∴ ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质，并会用数形结合的思想解决问题． 8. 如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，得到，推出为直角三角形，利用的面积等于，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积等于； 故选B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，得到三角形全等是解题的关键．本题蕴含手拉手全等模型，平时要多归纳，多总结，便于快速解题． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像与性质，反比例函数图像分布在第二、四象限时，比例系数小于0，据此列出一元一次不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限， ， 移项得， 系数化为得．． 10. 如图，是的中位线，已知，则四边形的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得，，进而证明，得出，即可得解． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ， 四边形的面积． 11. 在中，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切的定义求出的长，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：在中，， 根据正切的定义得， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 则的长为． 12. 如图，已知，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 13. 如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，则矩形的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由于点A是反比例函数上一点，矩形的面积． 【详解】解：由题意得：． 14. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验如图①，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像试验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质进行求解． 【详解】解：根据题意得，利用相似三角形的性质可得，设蜡烛火焰的高度为， ∴， 解得， ∴蜡烛火焰的高度是． 15. 已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是____．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥，根据圆锥是侧面积公式计算即可． 【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥， 侧面展开图的面积， 故答案为． 【点睛】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式． 16. 哈尔滨龙塔坐落于经济技术开发区，在钢结构塔中位居亚洲第一，世界第二，在塔上有一个室外观光平台A可以欣赏的哈尔滨市的全景，室外观光平台中央位置A距离塔顶 P约146米，一名同学站在C处观察 A点的仰角为，观察P点的仰角为，则龙塔 的高度为_________．（已知：）（精确到1米） 【答案】336米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数，是解题的关键，设，分别解，求出的长，根据线段的和差关系，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，设， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 故答案为：336 三、计算题（共8分） 17. 计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，，，然后代入原式，再根据二次根式的运算法则进行运算，最后进行加减运算； （2）根据有理数的乘方，绝对值的意义，负整数指数幂，二次根式的性质及将原式化简，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 四、解答题（共64分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）画出绕点A顺时针旋转的； （2）以点O为位似中心，画出，使与位似，且位似比为，并写出、的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质进行画图即可； （2）根据位似比画出图形，根据坐标系确定点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ，即， 在和中，， ； （2）9． 【解析】 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】证明：（1）略 （2）由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 20. 已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． （1）该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； （2）当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； （3）若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 【答案】（1）反比例函数 （2） （3）串入的滑动电阻需增加欧姆 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据反比例函数的定义判断即可； （2）利用待定系数法即可求出函数表达式； （3）利用（2）中求得的函数表达式，求出电流比（2）中测得的值减少A时的电阻，再减去即可． 【小问1详解】 解：，且该电路的电源电压为恒值， ， 即该电路中，电流与电阻成反比例函数关系， 故答案为：反比例函数； 【小问2详解】 ， ， ； 【小问3详解】 A， ， 解得， ， 答：滑动电阻需增加10． 21. 如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质．由已知条件可知：，，在中，，由此可以求出，然后根据勾股定理求出，最后在中，利用余弦函数的定义即可求出． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， ， ， 在中，，即， ， 根据勾股定理得：， 在中，，即， ． 22. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接、． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）8 【解析】 【分析】本题是主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． （1）把A代入反比例函数可求得m，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数得，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图像上， ∴，解得：， ∴， ∵一次函数的图像经过A和B， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数的解析式为， ∴令，解得：，即一次函数图像与x轴交点为， ∵，， ∴． 23. 四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边缘，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边交于点H．图2中，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5，求井深． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为， ∴， 解得：， ∴． 24. 解决问题 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使（，并将原来的滑梯改为．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上） 测量数据 步骤一：利用皮尺测得滑梯的高度（）； 步骤二：在点F处用测角仪测得 步骤三：在点G处用测角仪测得 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，利用锐角三角函数进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 25. 如图，在中，，以斜边上一点O为圆心，长为半径，作圆O与边相切于点E，交边于点F，交边于点D，连接、． （1）求证：E是的中点． （2）若圆O的半径为5，，求的面积． 【答案】（1） 证明：是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的相关性质和相似三角形的判定是解题关键． （1）根据圆的切线的性质，推出，得到，再结合等边对等角的性质，得到，进而得出，即可证明结论； （2）过点作于点，连接交于点，证明四边形和四边形是矩形，得到，，，，再证明，得出，，设，则,，求出，由勾股定理得出，，，证明，求得，从而得出，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，连接交于点， 是的直径， ， ，， 四边形和四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ，， 设，则， ，， ,， ， ， ， ， ，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积=． 26. 已知在中，，过点引一条射线，是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得．通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程． 【类比探究】 （2）如图2，已知． ①当射线在内，求的度数； ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数． 【答案】（1） 证明：如图1，在上取一点E，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； （2）①；②会变化， 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，据此可得到答案； （2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案；②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：①在上取一点E，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； ②的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得，如图所示： 同理①的方法可证：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $