专题：特殊平行四边形的性质和判定2025-2026学年人教版数学八年级下册

专题：特殊平行四边形的性质与判定 姓名： 班级： 知识点1：矩形的性质与判定 1.如图，已知口ABCD,过点D作DE⊥BC交CB的延 长线于点E,过点C作CF∥DE交AD的延长线于点 F,求证：四边形DECF是矩形 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判 定和性质。 四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC,由CF∥DE, 得到四边形DECF是平行四边形，由DE⊥BC得到 ∠DEC=90°，即可得到结论. 【详解】证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ,CF∥DE, ∴.四边形DCF是平行四边形， ,DE⊥BC, ∠DEC=90°， ∴.四边形DCF是矩形 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,E,F在AC上，且AE=CF,EF=BD,求证： 四边形EBFD是矩形. 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判 定，先由平行四边形对角线互相平分得到 OA=OC,OB=OD,再证明OE=OF,即可由对角线 试卷第1页 互相平分且相等的四边形是平行四边形证明结论. 【详解】证明：，四边形ABCD是平行四边形， .'.OA=OC,OB=OD .AE=CF, ∴.OA-AE=OC-CF,即OE=OF, 又，EF=BD, ∴.四边形EBFD是矩形. 3.如图，在口ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延 长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF, 求证：四边形ABFC是矩形. B E 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质和E为BC的中点，易 得△ABE≌△FCE(AAS),得到BC=CF,AE=FE, 结合AB∥CD得到四边形ABFC是平行四边形，再利用 AD=AF,AD=BC得到AF=BC,最后利用矩形的判 定定理判定即可 【详解】证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AD=BC,∠D=∠ABC, ∴∠ABE=∠FCE,∠BAE=∠CFE. ,E为BC的中点， .BE=CE. 在△ABE和△FCE中 ∠BAE=∠CFE ∠ABE=∠FCE, BE=CE ∴.△ABE≌△FCE(AAS), .'AB=CF,AE=FE. ,AB∥CD,延长交DC的延长线于点F, 共9页 .AB∥CF, 四边形ABFC是平行四边形. AD=AF,AD=BC, .AF=BC. ∴.四边形ABFC是矩形 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全 等三角形的判定和性质，矩形的判定，得到 △ABE≌△FCE(AAS)是解答关键. 4.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平 分线交BC于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,F 为AC上一点，且CF=AB,连接EF. B D 求证：四边形CDEF为矩形： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的 性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的 关键.利用角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD,利用平 行线的性质得到∠CAD=∠ADE,进而推出AE=DE, 再利用矩形的判定即可证明： 【详解】(1)证明：，∠BAC的平分线交BC于点D, ∴.∠CAD=∠BAD DE∥AC, .∠CAD=∠ADE, .∠BAD=∠ADE .AE=DE. ..CF=AE, .'DE=CF. 又，DE∥CF, ∴.四边形CDEF为平行四边形. 试卷第2 .∠ACB=90°， ∴.平行四边形CDBF为矩形 知识点2：菱形的性质与判定 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=AD, 对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C 作CE L AB,交AB的延长线于点E,连接OE, D B (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若AB=5,BD=6,求OE的长 【答案】（①）见解析 (2)0E=4, 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 (1)根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再 由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形： (2)根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB=90°， 利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边中 线定理得出OE=二AC=4, 2 详解】(1)证明：，AB∥DC, ∴∠CAB=∠DCA, ,AC平分∠BAD, ∴∠CAB=∠DAC, .∠DCA=∠DAC, .CD=AD, AB=AD, .AB=CD, 又AB∥DC, 四边形ABCD是平行四边形， AB=AD, 页，共9页 .四边形ABCD是菱形： (2)解：，四边形ABCD是菱形， AC BD.OA-OC-AC OB-OD-BD-3. ∠AOB=90°， 在Rt△A0B中，OA=√AB2-OB2=V52-32=4, AC=8, .CE⊥AB, ∴.∠AEC=90°， .OA=OC, 0B=14C=04=4, 2 6.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是边CD, AB的中点，对角线BD⊥AD,连接BE,DF. (1)求证：四边形BEDF是菱形： (2)若△ABD的周长为24，AB=10,求四边形BEDF的 面积. 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查菱形的证明与性质，平行四边形的性 质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理， 熟练菱形的判定定理是解题的关键。 (1)利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半结合 平行四边形的性质即可证明： (2)设AD=a,BD=b,利用勾股定理求出 a2+b2=102=100,由题意得(a+b)=142=196,推出 b=48,利用三角形的面积公式即可求解， 【详解】(1)证明：四边形ABCD为平行四边形， .AB∥CD,AB=CD, ,E,F分别是边CD,AB的中点， 试卷第3 ∴.DE= CD.BF=24B, ∴.DE∥BF,DE=BF, .四边形BEDF为平行四边形， ,对角线BD LAD, ∴.∠ADB=90°， ,F是AB的中点， .BF=DF, ∴.四边形BEDF为菱形； (2)解：设AD=a,BD=b, .△ABD的周长为24，AB=10, .'AD+BD+AB=24, ∴.AD+BD=14,即a+b=14, ,∠ADB=90°， ∴.在Rt△ABD中，根据勾股定理得AD+BD2=AB2, 即a2+b2=102=100 ,(a+b)=142=196,即a2+b2+2ab=196, ∴.ab=(196-100)÷2=48, 2 .S形Dr=S.ABD= 4DBD04g24 ∴.四边形BEDF的面积为24. 知识点3：特殊平行四边形综合运用 7.已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交 于点E,作CF∥BD,DF∥AC,CF与DF相交于点 F.求证：四边形DECF为菱形. E B 【答案】见解析 【分析】先证明四边形DECF是平行四边形，由矩形的 性质得出CE=DE,即可证明四边形DECF是菱形. 【详解】证明：：CF∥BD,DF∥AC, ,共9页 四边形DECF为平行四边形， :四边形ABCD为矩形，对角线AC与BD相交于点E, .CE=DE, ∴四边形DECF为菱形. 8.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, CD的中点为E,连接OE并延长至点F,使得EF=OE, 连接CF,DF. B (1)求证：四边形OCFD是矩形： (2)连接AF,若菱形ABCD的面积为2，求△ACF的面 积. 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、 中线与面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关 键 (1)由DE=CE,EF=OE,证明四边形OCFD是平 行四边形，根据菱形的性质证明∠COD=90°，则四边 形OCFD是矩形： (2)由菱形的性质得AC L BD,AC=2OC,BD=2OD, 则△4CF的面积=2Soc=S矩形ocFD=OD×OC,因为菱 形ABCD的面积为2，所以AC×BD=4,再进行整理化 简，即可作答 【详解】(1)证明：，CD的中点为E, .DE=CE, .EF=OE, ∴.四边形OCFD是平行四边形， ,四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O, .AC L BD, 试卷第4 .∠COD=90°， ∴.四边形OCFD是矩形 (2)解：连接AF,如图所示： ,四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O, ..OA=OC,AC L BD,AC=20C,BD=20D, .OF是△ACF的中线，∠COD=90°， .△ACF的面积=2Socn=S矩形ocm=ODXOC, ,菱形ABCD的面积为2， AC×BDX-=2, 2 ..AC×BD=4, 即20C×20D=4, ..OC×OD=1, ∴.△ACF的面积=1. 9.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O,E 为AB的中点，连接OE并延长至点F,使EF=EO, 连接AF,BF B (1)求证：四边形AFBO是菱形. (2)若AB=9,FO=12,求菱形AFBO的面积. 【答案】(1)证明见详解 (2)54 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判 定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关 键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用， (1)利用平行四边形的判定定理证明四边形AFBO是 平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得 ,共9页 结果； (2)直接利用菱形的面积公式进行求解即可. 【详解】(1)证明：点E为AB的中点，且EF=EO, ∴.四边形AFBO是平行四边形， ,四边形ABCD是矩形， ..OA=OB, ∴.四边形AFBO是菱形； (2)解：∴.菱形AFBO的面积为 0opaB号129=54. 10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于 点O,AB∥DC,AB=BC,BD平分∠ABC,过点C 作CE LAB交AB的延长线于点E,连接OE, ◇ B (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若BC=4N5,OE=8,求BD的长. 【答案】()见解析 (2)8 【分析】本题主要考查菱形的判定定理以及菱形的性质， 勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边 对等角，熟练掌握菱形的判定定理和性质是解题的关键， (1)根据BD平分∠ABC得到∠CBD=∠DBA,证明 ∠CBD=∠CDB,得到AB=CD,证明四边形ABCD是平 行四边形，再根据AB=BC即可得到结论： (2)根据菱形的性质得到BD⊥AC,OA=OC,BO=DO, 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到 OE=OA=OC=8,根据勾股定理，在RtABOC中，求 得OB=4,即可得到答案， 【详解】(I)证明：BD平分∠ABC, .∠CBD=∠DBA, .'AB∥CD 试卷第5页 .∴.∠CDB=∠DBA ∴.∠CBD=∠CDB .CD=BC .AB=BC .AB=CD .四边形ABCD是平行四边形， .AB=BC, 四边形ABCD是菱形： (2)解：四边形ABCD是菱形， .BD⊥AC,OA=OC,BO=DO, ,CE⊥AB, ∠CEA=90°， 在Rt△ACE中，O是AC的中点， ..OE=OA=OC=8, ∴.AC=20E=16, .BC=45, 在RtABOC中，OB=VBC2-OC2=√(4V5)2-82=4, .OB =OD, .BD=2OB=8. 11.如图，矩形ABCO中，延长AO到D,使DO=AO, 延长CO到E,使EO=CO,连接AE,ED,DC,AC B (I)试判断四边形AEDC的形状，并说明理由： (2)若AE=43cm,∠EAC=120°，求四边形AEDC的 面积。 【答案】(I)四边形AEDC是菱形，理由见解析 (2)24√3cm2 【分析】(1)由平行四边形的判定得到四边形AEDC是 平行四边形，再由矩形的性质得到ADLC,从而由菱 ,共9页 形的判定得证： (2)由菱形性质、含30°的直角三角形性质即勾股定理 得到相关线段长度，最后由菱形面积公式代值求解即可 得到答案. 【详解】(1)解：四边形AEDC是菱形. 理由如下： .DO=A0,EO=CO, 四边形AEDC是平行四边形， :四边形ABCO是矩形， .∠AOC=90°，即AD⊥EC, .平行四边形AEDC是菱形： (2)解：四边形AEDC是菱形，∠EAC=120°， ∠CDE=120°， .∠AED=180°-∠EAC=60°， ∠AB0=2∠ABD=30°. '∠AOE=90°，AE=4V3cm 40-4=2vam 0E=VAE2-04产=V4W5-25=6cm. .AD=240=4v3cm,EC=20E =12cm. 菱形AEDC的面积为： 5AD-ECx43x2=245cm的 【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定、 矩形的性质、菱形的判定与性质、含30°的直角三角形 性质、勾股定理及菱形面积公式等知识，熟记平行四边 形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键. 12.如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于 点O,点E为CD的中点，连接OE并延长至点F,使得 EF=OE,连接CF,DF. 试卷第6 (I)求证：四边形OCFD是菱形： (2)若菱形OCFD的周长为36，平行线OD与CF之间的 距离为8，求矩形ABCD的周长， 【答案】(1)见解析 (2)12√17 【分析】(1)通过CE=DR,OE=FE,证明四边形 OCFD是平行四边形，再利用四边形ABCD是矩形，得 出OC=OD,即可求证； (2)证明△OED是直角三角形，得出 OE2+BD2=OD2=81.再利用S菱形OcD=OD·h=72, 得出 (OE+ED)}=OE2+ED2+20E·ED=OD2+S蓝形ocD=153 ,求出OB+ED=√153=3√17，再利用中位线的性质得 可求出AD+DC=2OB+L 可求解。 【详解】(1)证明：点E是CD的中点， .CE=DE. 又OE=FE, ∴.四边形OCFD是平行四边形. ,四边形ABCD是矩形， BD.OA=OC=4C,OB=OD .OC=OD, ∴.平行四边形OCFD是菱形： (2)解：，四边形OCFD是菱形，且周长为36， ∴.OC=CF=FD=DO=9,OF⊥CD, S德形oCD=CDOF, ∴.∠OED=90°， 页，共9页 ∴.△OED是直角三角形， ∴.OE2+ED2=OD2=81. 设平行线OD与CF之间的距离为h,则h=8, .S数形ocD=OD.h=9×8=72, 又BD=CD=CD,OB=BR=On, 2 2 .S荧形0crD= cD0P=20BDB=72, 2 (OE+ED)=0B2+ED2+20E.ED=OD2+S克形0cD=153 OE+ED>0, ∴.OE+ED=V153=3W17, .OC=OA,CE=DE, .08AD 又：scn, .AD+DC=2(OE+ED)=67, 四边形ABCD是矩形， ∴.矩形ABCD的周长为2(AD+DC)=12M7. 13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O, 过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相 交于点E, B D (1)求证：四边形OCED是矩形： (2)若CE=1,DB=2,求菱形ABCD面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】(1)由菱形的性质可得∠COD=90°，结合 CE⊥AC,DE⊥BD,命题得证； 试卷第7 (2)根据矩形和菱形的性质可得AC=4,BD=2,从 而计算出菱形的面积。 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.AC I BD, ∴.∠C0D=90°， CE⊥AC,DE⊥BD, ∴.∠ODE=∠OCE=90°， ∴.四边形OCED是矩形： (2)解：，四边形OCED是矩形， ∴.OD=CE=1,OC=DE=2, ,四边形ABCD是菱形， .'AC=20C=4,BD=20D=2, ∴.S装形ABcD= exD 4×24 14.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，连接CE, 点F在线段CE上，过点F作MN⊥CE,分别交边AB、 CD于点M、N,连接CM、EN,CN=EM, (1)四边形CWEM是菱形吗？请说明理由； (2)若AB=8,AD=4,AE=2,求EM的长 【答案】（①）四边形CNEM是菱形，理由见解析 a明 【分析】(1)根据矩形的性质得出平行线，证明四边形 CNEM是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四 边形为菱形证明： (2)根据矩形的性质和菱形的性质得出相等的线段和 直角，假设CM=EM=x,表示出相关线段的长度，然 后利用勾股定理列出方程求解即可. 【详解】(1)解：四边形CNEM是菱形，理由如下： ,四边形ABCD为矩形， ∴.CN∥EM, 页，共9页 又，CN=EM, ∴.四边形CEM是平行四边形， MN⊥CE, ∴.四边形CNEM是菱形： (2)解：，四边形ABCD为矩形， .BC=AD=4,∠B=90°， ,四边形CNEM是菱形， ∴.CM=EM, 假设CM=EM=x,则 BM=AB-AE-EM=8-2-x=6-x, 由勾股定理得BM+BC2=CM2, 即(6-x)2+16=x, 解得x=3' 13 号 15.如图，矩形ABCD中，AB=16,BC=8,点E、F 分别在AB、CD上，且BE=DF=6. D E B (1)求证：四边形AECF是菱形： (2)求线段EF的长. 【答案】(1)见解析： (2)45 【分析】（1)根据矩形的性质得到cD=AB=16, AD=BC=8,CD∥AB,∠D=∠B=90°，求得 CF=AE=10,根据勾股定理得到 AF=CE=V⑧2+62=10，于是得到结论； (2)过F作FH⊥AB于点H,得到四边形AHFD是矩 形，根据矩形的性质得到AH=DF=6,H=AD=8, 根据勾股定理即可得到结论， 【详解】(1)，在矩形ABCD中，AB=16,BC=8, 试卷第8 .CD=AB=16,AD=BC=8,CD//AB ∠D=∠B=90°， BE=DF=6, ∴.CF=AE=16-6=10, ∴.AF=CE=V82+62=10, .'AF=CF=CE=AE=10, 四边形AECF是菱形： (2)过F作FH⊥AB于点H, D F H E B 则四边形AHFD是矩形， ∴.AH=DF=6,FH=AD=8, ∴.EH=AE-AH=10-6=4, ∴.在Rt△EFH中，EF=√FH2+HE2=V82+42=4W5 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质， 勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键， I6.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 1 过点D作DE∥AC,且DE=二AC,连接CE,AE. D (1)求证：四边形ECOD是矩形： (2)若BD=4,AE=2W10,求平行线AD与BC间的距 离 【答案】(1)见解析 (2123 13 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性 质、勾股定理等知识点，掌握特殊平行四边形的性质和 判定定理是解题的关键. 页，共9页 (1)首先根据麦形的性质得oC-0A-4C、 AC L BD,再结合己知条件可得四边形OCED是平行 四边形，最后根据一个角是直角的平行四边形是矩形即 可证明结论： (2)由(1)可知四边形ECOD是矩形可得 OD=OB=BD=2,进而得到CE=OD=2,再根据勾 股定理可求得AC=6,最后菱形面积公式即可解答. 【详解】(1)证明：，菱形ABCD的对角线AC,BD相 交于点O, :.OC=OA=LAC,AC LBD, 2 ∴.∠COD=90°， D驱∥AC,DB=2AC ∴.DE∥OC,DE=OC, ∴.四边形OCED是平行四边形， ∠C0D=90°， ∴.四边形ECOD是矩形. (2)解：，四边形ECOD是矩形， :OD=OB=-BD=2, 21 .CE =OD=2, ∠ACE=90°， ∴.AC=√AE2-CE2=V(210>2-22=6, AC.BD-x6x4-12. 1 ∴.S荧形ABCD= 如图，过点D作DH⊥BC于H, ∴.S装形ABCD=BC.DH, .∠DOC=90°， .CD=VOC2+0D2=V32+22=√13 ∴.BC=CD=V13, S菱形4BcD=BC·DH=V3DH=12, 试卷第9页 DH=123 13 平行线AD与BC间的距离为12区 13 D E 共9页专题：特殊平行四边形的性质与判定 3.如图，在口ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延 长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF, 姓名： 班级： 求证：四边形ABFC是矩形. 知识点1：矩形的性质与判定 1.如图，已知ABCD,过点D作DE⊥BC交CB的延 D 长线于点E,过点C作CF∥DE交AD的延长线于点 F.求证：四边形DECF是矩形， E 4.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于 分线交BC于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,F 点O,E,F在AC上，且AE=CF,EF=BD,求证： 为AC上一点，且CF=AE,连接EF. 四边形EBFD是矩形. B 求证：四边形CDEF为矩形： D 试卷第1页，共4页 知识点2：菱形的性质与判定 知识点3：特殊平行四边形综合运用 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=AD, 7.已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交 对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C 于点E,作CF∥BD,DF∥AC,CF与DF相交于点 作CE LAB,交AB的延长线于点E,连接OE. F.求证：四边形DECF为菱形. (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)若AB=5,BD=6,求OE的长 D E B 6.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是边CD, 8.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, AB的中点，对角线BD⊥AD,连接BE,DF. CD的中点为E,连接OE并延长至点F,使得EF=OE, (I)求证：四边形BEDF是菱形： 连接CF,DF. (2)若△ABD的周长为24，AB=10,求四边形BEDF的 (1)求证：四边形OCFD是矩形： 面积. (2)连接AF,若菱形ABCD的面积为2，求△ACF的面 积. 试卷第2页，共4页 9.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O,E 11.如图，矩形ABCO中，延长AO到D,使DO=AO, 为AB的中点，连接OE并延长至点F,使EF=EO, 延长CO到E,使EO=CO,连接AE,ED,DC,AC. 连接AF,BF. (I)试判断四边形AEDC的形状，并说明理由； (1)求证：四边形AFBO是菱形. (2)若AE=4W3cm,∠EAC=120°，求四边形AEDC的 (2)若AB=9,FO=12,求菱形AFBO的面积. 面积. 12.如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于 10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于 点O,点E为CD的中点，连接OE并延长至点F,使得 点O,AB∥DC,AB=BC,BD平分∠ABC,过点C EF=OE,连接CF,DF. 作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE. (1)求证：四边形OCFD是菱形： (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若菱形OCFD的周长为36，平行线OD与CF之间的 (2)若BC=45,OE=8,求BD的长. 距离为8，求矩形ABCD的周长. D B 试卷第3页，共4页 13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O, 15.如图，矩形ABCD中，AB=16,BC=8,点E、F 过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相 分别在AB、CD上，且BE=DF=6. 交于点E. (1)求证：四边形AECF是菱形： (1)求证：四边形OCED是矩形： (2)求线段EF的长. (2)若CE=1,DE=2,求菱形ABCD面积. O 4 14.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，连接CE, 16.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 点F在线段CE上，过点F作MN⊥CE,分别交边AB、 过点D作DB∥AC,且DE=AC,连接CB,AB. 2 CD于点M、N,连接CM、EN,CN=EM, (1)求证：四边形ECOD是矩形： (1)四边形CNEM是菱形吗？请说明理由； (2)若BD=4,AE=2W10,求平行线AD与BC间的距 (2)若AB=8,AD=4,AE=2,求EM的长. 离. D 试卷第4页，共4页 专题：特殊平行四边形的性质与判定 姓名：___________班级：__________ 知识点1：矩形的性质与判定 1．如图，已知，过点D作交的延长线于点E，过点C作交的延长线于点F．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质． 四边形是平行四边形，则，由，得到四边形是平行四边形，由得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 2．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，在上，且，，求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，先由平行四边形对角线互相平分得到，再证明，即可由对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是矩形． 3．如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质和E为的中点，易得，得到，，结合得到四边形ABFC是平行四边形，再利用，得到 ，最后利用矩形的判定定理判定即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，， ∴，． ∵E为的中点， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，． ∵，延长交的延长线于点F， ∴， ∴四边形ABFC是平行四边形． ∵，， ∴． ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，得到是解答关键． 4．如图所示，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． 求证：四边形为矩形； 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，进而推出，再利用矩形的判定即可证明； 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点D， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为矩形． 知识点2：菱形的性质与判定 5．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出， 详解】（1）证明：∵， ， ∵平分， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ，， 在中，， ∴， ， ， ， ， 6．如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，对角线，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为24，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查菱形的证明与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练菱形的判定定理是解题的关键． （1）利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半结合平行四边形的性质即可证明； （2）设，，利用勾股定理求出，由题意得，推出，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，分别是边，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵对角线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：设，， ∵的周长为24，， ∴， ∴，即， ∵， ∴在中，根据勾股定理得，即． ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为24． 知识点3：特殊平行四边形综合运用 7．已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形，对角线与相交于点E， ， 四边形为菱形． 8．如图，菱形的对角线与相交于点，的中点为，连接并延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若菱形的面积为2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、中线与面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，，则的面积，因为菱形的面积为2，所以，再进行整理化简，即可作答． 【详解】（1）证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴，，， ∴是的中线，， ∴的面积， ∵菱形的面积为2， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的面积． 9．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2)54 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∴菱形的面积为． 10．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的判定定理以及菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，熟练掌握菱形的判定定理和性质是解题的关键． （1）根据平分得到，证明，得到，证明四边形是平行四边形，再根据即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，根据勾股定理，在中，求得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， 在中，是的中点， ， ， ， 在中，， ， ． 11．如图，矩形中，延长到，使，延长到，使，连接，，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，再由矩形的性质得到，从而由菱形的判定得证； （2）由菱形性质、含的直角三角形性质即勾股定理得到相关线段长度，最后由菱形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，即， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，，， ， ． ， ． ． ，． 菱形的面积为：． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理及菱形面积公式等知识，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 12．如图所示，矩形的对角线与相交于点O，点E为的中点，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，平行线与之间的距离为8，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过，，证明四边形是平行四边形，再利用四边形是矩形，得出，即可求证； （2）证明是直角三角形，得出．再利用，得出，求出，再利用中位线的性质得即可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，且周长为， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 设平行线与之间的距离为h，则， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的周长为． 13．如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合，，命题得证； （2）根据矩形和菱形的性质可得，，从而计算出菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 14．如图，在矩形中，点在边上，连接，点在线段上，过点作，分别交边、于点、，连接、，， (1)四边形是菱形吗？请说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得出平行线，证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形证明； （2）根据矩形的性质和菱形的性质得出相等的线段和直角，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴． 15．如图，矩形中，，，点E、F分别在、上，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）过F作于点H，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）∵在矩形中，，, ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）过F作于点H，    则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 16．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求平行线与间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握特殊平行四边形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先根据菱形的性质得、，再结合已知条件可得四边形OCED是平行四边形，最后根据一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论； （2）由（1）可知四边形ECOD是矩形可得，进而得到，再根据勾股定理可求得，最后菱形面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：∵菱形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵， ∴四边形ECOD是矩形． （2）解：∵四边形ECOD是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点D作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行线AD与BC间的距离为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：特殊平行四边形的性质与判定 姓名：___________班级：__________ 知识点1：矩形的性质与判定 1．如图，已知，过点D作交的延长线于点E，过点C作交的延长线于点F．求证：四边形是矩形． 2．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，在上，且，，求证：四边形是矩形． 3．如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若，求证：四边形是矩形． 4．如图所示，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． 求证：四边形为矩形； 知识点2：菱形的性质与判定 5．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长 6．如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，对角线，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为24，，求四边形的面积． 知识点3：特殊平行四边形综合运用 7．已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 8．如图，菱形的对角线与相交于点，的中点为，连接并延长至点，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若菱形的面积为2，求的面积． 9．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 10．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 11．如图，矩形中，延长到，使，延长到，使，连接，，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 12．如图所示，矩形的对角线与相交于点O，点E为的中点，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，平行线与之间的距离为8，求矩形的周长． 13．如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 14．如图，在矩形中，点在边上，连接，点在线段上，过点作，分别交边、于点、，连接、，， (1)四边形是菱形吗？请说明理由； (2)若，求的长． 15．如图，矩形中，，，点E、F分别在、上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求线段的长． 16．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求平行线与间的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $