第21章四边形综合测试培优卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

（人教2024版）八年级下册数学 《第21章四边形》 综合测试培优卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．已知平行四边形ABCD周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，已知△BOC的周长比△AOB的周长多3cm，则BC的长度为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【分析】由▱ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可得AB+BC＝13cm，BC﹣AB＝3cm，得出BC的长即可． 【解答】解：∵▱ABCD的周长为26cm， ∴AB+BC＝13cm，OA＝OC， ∵△BOC的周长比△AOB的周长多3cm， ∴（OB+OC+BC）﹣（OA+OB+AB）＝BC﹣AB＝3cm， ∴AB＝5cm，BC＝8cm． 故选：D． 【点评】此题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，对角线互相平分的性质是解答本题的关键，难度不大． 2．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝3cm，四边形AOBC的面积为12cm2，则OC的长为（　　） A．5cm B．8cm C．10cm D．4cm 【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝BC＝AC， ∴四边形OACB是菱形， ∵AB＝3cm，四边形OACB的面积为12cm2， ∴AB•OC3×OC＝12， 解得OC＝8cm． 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形OACB是菱形是解题的关键． 3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB、EC、DB，添加一个条件，不能判定四边形DBCE为矩形的是（　　） A．∠ADB＝90° B．AB＝BE C．BE＝CD D．BE⊥CD 【分析】先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD， ∵DE＝AD， ∴BC＝DE， ∵BC∥AD， ∴BC∥DE， ∴四边形DBCE是平行四边形 A、∵∠ADB＝90°， ∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AB＝BE时，AB＝CD， ∴BE＝CD， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意； C、∵BE＝CD， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意； D、∵BE⊥CD， ∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 4．将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，点C的对应点为C′．若∠1＝20°，∠2＝60°，则∠C的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．45° 【分析】设∠ADE＝α，可得∠EDC'＝α+20°，根据将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，有∠C'＝∠C，∠EDC'＝∠EDC＝α+20°，故∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2α+20°，即可得∠C＝180°﹣∠ADC＝160°﹣2α＝∠C'，再用三角形内角和定理列方程可解得α，从而可得答案． 【解答】解：设∠ADE＝α， ∵∠1＝20°， ∴∠EDC'＝α+20°， ∵将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕， ∴∠C'＝∠C，∠EDC'＝∠EDC＝α+20°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝α+（α+20°）＝2α+20°， ∵AD∥BC， ∴∠C＝180°﹣∠ADC＝180°﹣（2α+20°）＝160°﹣2α， ∴∠C'＝160°﹣2α， ∵∠2＝60°，∠C'+∠2+∠EDC'＝180°， ∴160°﹣2α+60°+α+20°＝180°， 解得α＝60°， ∴∠C＝160°﹣2α＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质和翻折的性质． 5．如图，△ABC中，D为AC边上一点，BD平分∠ABC，过点D作DE∥BC，与AB交于点E，作DF∥AB，与BC交于点F，连接EF．则以下结论中错误的是（　　） A．四边形BFDE是菱形 B．BD与EF互相垂直且平分 C．当AB＝BC时，四边形DEFC是菱形 D．若∠ABC＝90°时，则四边形BFDE是正方形 【分析】根据菱形的判定得出四边形BFDE是菱形，再根据菱形的性质得出BD与EF互相垂直且平分，进而利用菱形的判定和正方形的判定解答即可． 【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AB， ∴四边形BFDE是平行四边形，∠EDB＝∠DBF， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠DBF， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE， ∴▱BFDE是菱形，故A正确； ∴BD与EF互相垂直且平分，故B正确； ∵∠ABC＝90°时，则四边形BFDE是正方形，故D正确； 当AB＝BC，不能得出四边形DEFC是菱形，故C错误； 故选：C． 【点评】此题考查正方形的判定，菱形的判定与性质，关键是根据菱形的判定得出四边形BFDE是菱形解答． 6．已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（　　） A．3 B．5 C．2 D． 【分析】根据平行四边形的性质和△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，可证明OE是线段AC的中垂线，根据勾股定理即可求出EO的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC、BD互相平分， ∴O是AC的中点． ∴OA＝OCAC＝3， ∵△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半， ∴△DCE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD， ∴CE+DE＝AD， ∵AE+DE＝AD， ∴AE＝CE， ∴OE是线段AC的中垂线， ∴OE⊥BD， ∵AE＝EC＝4，OA＝3， ∴EO． 故选：D． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，中垂线的判定及性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 7．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（　　） A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3 【分析】先根据四边形EFGH是正方形，证明AF⊥BG，再根据AG＝AB，证明GF＝BF，然后设GF＝BF＝x，则BG＝GF+BF＝2x，根据全等三角形的性质证明AF＝BG＝2x，在Rt△ABF中，由勾股定理求出AB，最后根据正方形的面积公式求出答案即可． 【解答】解：∵四边形EFGH是正方形， ∴∠GFE＝90°， ∴AF⊥BG， ∵AG＝AB， ∴AF是BG边上的中线， ∴GF＝BF， 设GF＝BF＝x，则BG＝GF+BF＝2x， ∵Rt△DAE≌Rt△ABF≌Rt△BCG≌Rt△CDH， ∴AF＝BG＝2x， 在Rt△ABF中，由勾股定理得： ， ∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为：， 故选：B． 【点评】本题主要考查了正方形和全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握正方形与全等三角形的性质、等腰三角形的性质． 8．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则DE的长度为（　　） A． B． C． D．2 【分析】由四边形ABCD是正方形，得AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，，利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，， ∴由勾股定理得：， ∵△ACE为等边三角形， ∴， ∴，OE⊥AC， ∴∠AOE＝90°， ∴由勾股定理得：， ∴， 故选：C． 【点评】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 9．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，PG⊥OB于点G，则的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】过点G作GM⊥OC于点M，过点P作PN⊥MG于点N，证明四边形OEPG为矩形，得出OE＝PG，证明四边形FMNP为矩形，得出PN＝MF，由等腰直角三角形的性质得出OGOM，PGPN，则可得出答案． 【解答】解：过点G作GM⊥OC于点M，过点P作PN⊥MG于点N， ∵∠AOB＝90°，PE⊥OA，PG⊥OB， ∴四边形OEPG为矩形， ∴OE＝PG， ∵PN⊥MG，PF⊥OC，MG⊥OC， ∴∠PNM＝∠PFM＝∠NMF＝90°， ∴四边形FMNP为矩形， ∴PN＝MF， ∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB， ∴∠MOG＝45°， ∴OGOM， 同理PGPN， ∴OEMF， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 10．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG．则下列结论：①；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由“AAS”可证△ABG≌△DEG，可得AG＝DG，由三角形中位线定理可得OGCDAB，OG∥CD，可得∠FOG＝∠BAC＝30°，故①和②正确；由菱形的判定可证四边形ABDE是菱形，故④正确；由面积和差关系可证③正确，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∠BAC＝∠CAD＝30°， ∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OGCDAB，OG∥CD， ∴OG∥AB， ∴∠FOG＝∠BAC＝30°， ∴①和②正确； ∵AB∥CE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形， ∴④正确； ∵四边形ABDE是菱形， ∴S△ABD＝S△BDES菱形ABDE， ∵OB＝OD， ∴S△BOG＝S△ODG， ∴S四边形ODEG＝S四边形ABOG； ∴③正确； 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11.如图，▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为 　 　． 【分析】首先根据AF⊥DE，∠DAF＝48°得到∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，然后利用四边形ABCD是平行四边形得到∠CED＝∠ADF＝42°，再根据CD＝CE，得到∠CDE＝∠DEC＝42°，从而利用三角形的内角和定理求得∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°即可． 【解答】解：∵AF⊥DE，∠DAF＝48°， ∴∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠CED＝∠ADF＝42°， ∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠DEC＝42°， ∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°， 故答案为：96° 【点评】考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等得到相关结论，难度不大． 12．如图所示，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 　 　 ． 【分析】连接AD，根据四边形的内角和等于360°，可得∠B+∠BAD+∠ADC+∠C＝360°，根据“8字形”的关系可得：∠E+∠F＝∠FAD+∠ADE，然后即可得解． 【解答】解：如图，连接AD， 则∠B+∠BAD+∠ADC+∠C＝360°， 根据“8字形”数量关系，∠E+∠F＝∠FAD+∠ADE， 所以∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°． 故答案为：360°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 13．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）． 【分析】由题意证明四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定可得出结论． 【解答】解：添加一个条件是∠AEC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点， ∴AF∥EC，AO＝CO， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝EC， 又∵AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 故答案为：∠AEC＝90°（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定是解决问的关键． 14．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积是 　 ． 【分析】先证∠BOM＝∠CON，再证△BOM和△CON全等，得出△BOM和△CON的面积相等，再证得四边形OMCN的面积与△BOC的面积相等，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBM＝∠OCN＝45°， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOM+∠COM＝90°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∴∠CON+∠COM＝90°， ∴∠BOM＝∠CON， 在△BOM和△CON中， ， ∴△BOM≌△CON（ASA）， ∴S△BOM＝S△CON， ∴S四边形OMCN＝S△COM+S△CON＝S△COM+S△BOM＝S△BOC1， 故答案为：1． 15．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，，∠B＝45°，点M，N分别以A，C为起点，以1cm/秒的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为t秒（0≤t≤6），连接AN，CM，当t＝　 　时，四边形AMCN为菱形； 【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD＝3cm，再由等腰直角三角形的性质求出AE的长度，然后证四边形AMCN为平行四边形，则当AN＝AM时，四边形AMCN为菱形．进而由AN＝AM列出方程32+（6﹣t）2＝t2，解方程即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝3cm， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AEAB33（cm）， ∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）， ∴AM＝CN＝t cm， ∵AM∥CN， ∴四边形AMCN为平行四边形， ∴当AN＝AM时，四边形AMCN为菱形， ∵BE＝AE＝3cm，EN＝（6﹣t）cm， ∴AN2＝32+（6﹣t）2， ∴32+（6﹣t）2＝t2， 解得：t， ∴当t时，四边形AMCN为菱形， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG，CG，则BG+CG的最小值为　 　 ． 【分析】取AB的中点N，连接EN、EC、GN，连接BD，证明GB＝GE，连接EC构造△CGE，在△CGE，证明BG+CG＝BG+GE≥EC，求出EC的长度即可，过点E作EH⊥CD的延长线于H，在Rt△DEH中，由菱形的性质可知∠DEH＝30°，由此即可求出DH，EH的长度，在Rt△CEH中即可求出EC的长，于是就可以求出BG+CG的最小值． 【解答】解：如图所示，取AB的中点N，连接EN、EC、GN，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°， ∴AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD， ∵点E是AD中点，点N是AB的中点， ∴，， ∴三角形AEN是等边三角形， ∴NE＝AE， ∵∠FEG＝60°，EF＝EG， ∴∠AEF+∠FEN＝∠FEN+∠NEG＝60°， ∴∠AEF＝∠NEG，EF＝EG，AE＝NE， ∴△AEF≌△NEG（SAS）， ∴∠ENG＝∠A＝60°， ∴∠GNB＝180°﹣∠ENG﹣∠ENA＝60°， ∵NG＝NG，NE＝AE＝BN， ∴△ENG≌△BNG（SAS）， ∴GB＝GE，则BG+CG＝CG+GE， 在△ECG中，BG+CG＝CG+GE≥EC， 如图所示，过点E作EH⊥CD的延长线于H， 在Rt△EDH中，∠H＝90°，由菱形ABCD可知∠ADB＝∠BDC＝60°， ∴∠ADH＝60°，则∠DEH＝30°，且， ∴， 则， 在Rt△CEH中，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查菱形的性质与全等三角形，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的综合运用，将线段的长度的最小是转换到三角形中，根据三角形边长的关系求解是解题的关键． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（7分）已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多20°，求这个正多边形的边数和它的内角和． 【分析】一个正多边形的每个内角比它相邻的外角的3倍多20°，又由于内角与外角的和是180度．设内角是x°，外角是180°﹣x°，列方程求解，再根据多边形的外角和与内角和定理求解． 【解答】解：设内角是x°，外角是180°﹣x°， 则得到方程 x＝3（180﹣x）+20， 解得x＝140， 180°﹣x°＝40°． 而任何多边形的外角是360°， 则多边形内角和中的外角的个数是360÷40＝9， 则这个多边形的边数是20边形，内角和为（9﹣2）×180°＝1260°． 故这个多边形的边数为9，内角和为1260°． 【点评】本题考查的是多边形内角与外角，根据多边形的内角与外角的关系转化为方程的问题，并利用了多边形的外角和与内角和定理；已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容． 18．（7分）如图，E，F是▱ABCD的对角线BD上两点，且AE∥CF． （1）求证：BF＝DE； （2）连接AF，CE，请添加一个条件，使四边形AECF为矩形． 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行且相等得到AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，再由平行线的性质和平角的定义证明∠AEB＝∠CFD，最后根据AAS证明△ABE≌△CDF得到BE＝DF，进而可证明BF＝DE； （2）根据全等三角形的性质可得AE＝CF，根据一组对边平行且相等证四边形AECF为平行四边形，再根据矩形的判定定理证明即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F是▱ABCD的对角线BD上两点， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE∥CF， ∴∠AED＝∠CFB， ∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠CFB，即∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∵BE+EF＝BF，DF+EF＝DE， ∴BF＝DE； （2）解：添加的条件为：∠AEC＝90°， 证明如下： 由（1）可知，△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵∠AEC＝90°， ∴四边形AECF为矩形． 【点评】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握相关的知识是解题的关键． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，由AAS定理证明，△DEG≌△FBG，得到DE＝FB，根据平行四边形的判定即可证的结论； （2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质证得∠EFC＝∠C，由三角形外角定理与已知条件证得∠BEF＝∠EBF，得到BF＝EF，即可证的结论． 【解答】证明：（1）∵DE∥BC， ∴∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，DE∥FB， ∵点G为BE的中点， ∴EG＝BG， 在△DEG和△FBG中， ， ∴△DEG≌△FBG（AAS）， ∴DE＝FB， ∴四边形DBFE是平行四边形； （2）由（1）知四边形DBFE是平行四边形， ∴BD∥EF， ∴∠ABC＝∠EFC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠EFC＝∠C， ∵∠C＝2∠BEF， ∴∠EFC＝2∠BEF＝∠BEF+∠EBF， ∴∠BEF＝∠EBF， ∴BF＝EF， ∴平行四边形DBFE是菱形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，三角形外角定理，综合运用相关知识是解决问题的关键． 20．（9分）如图，在▱ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而可得EF＝BC＝AD，再根据平行四边形的判定可得四边形AEFD是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先求出EC＝9，EB＝CF＝3，DC＝6，再在Rt△DFC中，利用勾股定理可得，然后根据矩形的性质可得，在Rt△ACE中，利用勾股定理可得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴AD∥EF， ∵BE＝CF， ∴BE+BF＝CF+BF，即EF＝BC， ∴AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， 又∵DF⊥BC， ∴∠DFE＝90°， ∴四边形AEFD是矩形． （2）解：由（1）可知，∠DFE＝∠DFC＝90°，AD＝EF＝BC， ∵AD＝6，BF＝3， ∴EB＝CF＝3，EC＝9， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°， ∴∠DCF＝60°，∠CDF＝30°， ∴DC＝2CF＝6， 在Rt△DFC中，由勾股定理得：DF2+CF2＝DC2， ∴， ∵四边形AEFD是矩形， ∴，∠AEC＝90°， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2+EC2＝AC2， ∴， ∵M是AC的中点，∠AEC＝90°， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 21．（9分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）先证明△ADE≌△ABF，再利用等腰直角三角形的性质得出结论； （2）连接CG，先证明△ADG≌△CDG，得出∠ADG＝∠CDG＝45°，取CE的中点，连接GM，先证明DM＝GM，从而得出结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠DAB＝90°， ∴∠D＝∠ABF＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAE+∠BAF＝90°， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴△ADE≌△ABF（ASA）， ∴AF＝AE， ∴△AEF是等腰直角三角形 ∴∠AEF＝45°； （2）CFDG．理由如下： 如图2，取CE的中点M，连接GM，GC， ∵△AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF， ∴G是EF的中点， ∴AGEF， 同理，在Rt△EFC中，CGEF， ∴AG＝CG， ∵AD＝CD，DG＝DG， ∴△ADG≌△CDG（SSS）， ∴∠ADG＝∠CDG， ∵∠ADG+∠CDG＝90°， ∴∠ADG＝∠GDC＝45°； ∴GM为△GEC的中位线， ∴GM∥CF，GMCF， ∴∠DMG＝∠DCB＝90°， 在Rt△DGM中，∠GDM＝∠ADG＝45°， ∴△DMG为等腰三角形， ∴DM＝GM， ∴DM2+GM2＝DG2＝2GM2， ∴DGGM， ∵GMCF， ∴DGCF， ∴2DGCF，即CFDG． 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，综合性强，难度适中． 22．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE，AB＝AF，AF＝BE，从而证明四边形ABEF是菱形； （2）由菱形的性质得出AE⊥BF，得到∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°从而得出AB＝AE＝8，AP＝4，过点P作PM⊥AD于M，得到PM＝2，AM＝2，从而得到DM＝10，由勾股定理求出PD、PB的长，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理：AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：∵四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，△ABE为等边三角形， ∴AB＝AE＝8， ∵AB＝8， ∴AP＝4， 过点P作PM⊥AD于M，如图所示： ∴PM＝2，AM＝2， ∵AD＝12， ∴DM＝10， ∴PD4． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形性质、勾股定理，等边三角形的判定与性质、菱形面积的计算等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键． 23．（11分）综合与探究 问题情境 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E为AB边上的一点，连接CE．将矩形ABCD沿直线CE折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在AD边上时． ①求AE的长． ②如图2，连接BF交CE于点G，过点B作BN⊥CF于点N，交CE于点M，试判断EF，MN与AB的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在AD上方时，EF交AD于点P，CF交AD于点Q，连接AF．若△APF为等腰三角形，请直接写出DQ的长． 【分析】（1）①根据矩形的性质得AB＝CD＝8，AD＝BC＝10和∠A＝∠D＝90°，由折叠得EF＝BE，CF＝BC＝10，即可利用勾股定理求得DF和AF＝AD﹣DF，设AE＝x，则EF＝BE＝8﹣x，再次利用勾股定理即可求得AE； ②根据矩形得AD∥BC和∠A＝∠ABC＝90°，由折叠得EF＝BE，CF＝BC，∠EFC＝∠EBC＝90°，∠CEB＝∠CEF，即可判定△ABF≌△NBF，有AB＝BN，结合等腰三角形的性质得EF＝BM，即MN+EF＝MN+BM＝BN＝AB； （2）根据题意可知只有AP＝PF满足题意，证明△EPA≌△QPF，有EP＝QP，EA＝QF，设AE＝x，AP＝y，则AE＝FQ＝x，AP＝PF＝y，EB＝8﹣x，EP＝QP＝8﹣x﹣y，QD＝2+x，QC＝10﹣x，在Rt△QDC中利用勾股定理即可求得DQ． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝10， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°， ∵将矩形ABCD沿直线CE折叠，点B的对应点为F， ∴EF＝BE，CF＝BC＝10， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：， 则AF＝AD﹣DF＝4， 设AE＝x，则EF＝BE＝8﹣x， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF2＝AF2+AE2， ∴（8﹣x）2＝42+x2， 解得x＝3， 则AE＝3； ②EF+MN＝AB；理由如下： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠AFB＝∠FBC， 将矩形ABCD沿直线CE折叠，点B的对应点为F， ∴EF＝BE，CF＝BC，∠EFC＝∠EBC＝90°，∠CEB＝∠CEF， ∴∠CBF＝∠CFB， ∴∠AFB＝∠CFB， 则△ABF≌△NBF（AAS）， ∴AB＝BN， ∵∠EFC＝∠BNC＝90°， ∴EF∥BN， ∴∠CEF＝∠BME， ∴∠BME＝∠BEM， 则BM＝BE， ∴EF＝BM， 则MN+EF＝MN+BM＝BN＝AB； （2）DQ的长为；理由如下： 如图， ∵点F落在AD上方，∠PFQ＝90°， ∴∠APF＞90°， ∵△APF为等腰三角形， ∴AP＝PF， ∵∠EAP＝∠QFP＝90°，∠EPA＝∠QPF， ∴△EPA≌△QPF（ASA）， ∴EP＝QP，EA＝QF， 设AE＝x，AP＝y，则AE＝FQ＝x，AP＝PF＝y，EB＝8﹣x，EP＝QP＝8﹣x﹣y，QD＝2+x，QC＝10﹣x， 在Rt△QDC中，由勾股定理得：QC2＝QD2+DC2，即（10﹣x）2＝（2+x）2+82， 解得， 则DQ＝2， 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉折叠的性质和全等三角形的应用． 24．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝a，点P是BC上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转90°，得到PE． 【初步感知】 （1）在点P的运动过程中，试探究∠PAB与∠CPE的数量关系． 【深入研究】 （2）连接CE，在点P的运动过程中，试探究的值． 【拓展延伸】 （3）AE与CD相交于点F，在点P的运动过程中，试探究△PCF的周长是否为定值．若是，求出△PCF的周长；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝BC，∠B＝90°，由旋转的性质可得AP＝PE，∠APE＝90°＝∠ABC，由外角的性质可证∠BAP＝∠CPE； （2）由等腰直角三角形的性质可得GPBP，由“SAS”可证△GAP≌△CPE，可得CE＝GP，即可求解； （3）由“SAS”可证△ABP≌△ADH，可得AP＝AH，∠BAP＝∠DAH，由“SAS”可证△APF≌△AHF，可得PF＝HF，即可求解． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∵将PA绕点P按顺时针方向旋转90°，得到PE． ∴AP＝PE，∠APE＝90°＝∠ABC， ∵∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠ABC+∠BAP， ∴∠BAP＝∠CPE； （2）如图，在AB上截取BG＝BP，连接PG， ∵∠ABC＝90°，BG＝BP， ∴GPBP， ∵AB＝BC，BP＝BG， ∴AG＝PC， 又∵∠BAP＝∠CPE，AP＝PE， ∴△GAP≌△CPE（SAS）， ∴CE＝GP， ∴； （3）△PCF的周长是定值，理由如下： 如图，延长CD至H，使DH＝BP，连接AH， ∵AB＝AD，∠ABC＝∠ADH＝90°，BP＝DH， ∴△ABP≌△ADH（SAS）， ∴AP＝AH，∠BAP＝∠DAH， ∵AP＝PE，∠APE＝90°， ∴∠PAE＝∠PEA＝45°， ∴∠BAP+∠DAF＝45°， ∴∠DAH+∠DAF＝45°， ∴∠FAH＝∠PAF＝45°， 又∵AF＝AF， ∴△APF≌△AHF（SAS）， ∴PF＝HF， ∴△PFC的周长＝PF+PC+CF＝FH+PC+FC＝BP+PC+FC+DF＝BC+CD＝2a， ∴△PCF的周长是定值． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ （人教2024版）八年级下册数学 《第21章四边形》 综合测试培优卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．已知平行四边形ABCD周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，已知△BOC的周长比△AOB的周长多3cm，则BC的长度为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 2．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝3cm，四边形AOBC的面积为12cm2，则OC的长为（　　） A．5cm B．8cm C．10cm D．4cm 3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB、EC、DB，添加一个条件，不能判定四边形DBCE为矩形的是（　　） A．∠ADB＝90° B．AB＝BE C．BE＝CD D．BE⊥CD 4．将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，点C的对应点为C′．若∠1＝20°，∠2＝60°，则∠C的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．45° 5．如图，△ABC中，D为AC边上一点，BD平分∠ABC，过点D作DE∥BC，与AB交于点E，作DF∥AB，与BC交于点F，连接EF．则以下结论中错误的是（　　） A．四边形BFDE是菱形 B．BD与EF互相垂直且平分 C．当AB＝BC时，四边形DEFC是菱形 D．若∠ABC＝90°时，则四边形BFDE是正方形 6．已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（　　） A．3 B．5 C．2 D． 7．如图，由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接AG．若AG＝AB，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为（　　） A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3 8．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则DE的长度为（　　） A． B． C． D．2 9．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，PG⊥OB于点G，则的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 10．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG．则下列结论：①；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11.如图，▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为 　 　． 12．如图所示，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 　 　 ． 13．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）． 14．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积是 　 ． 15．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，，∠B＝45°，点M，N分别以A，C为起点，以1cm/秒的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为t秒（0≤t≤6），连接AN，CM，当t＝　 　时，四边形AMCN为菱形； 16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG，CG，则BG+CG的最小值为　 　 ． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（7分）已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多20°，求这个正多边形的边数和它的内角和． 18．（7分）如图，E，F是▱ABCD的对角线BD上两点，且AE∥CF． （1）求证：BF＝DE； （2）连接AF，CE，请添加一个条件，使四边形AECF为矩形． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形． 20．（9分）如图，在▱ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长． 21．（9分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 22．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 23．（11分）综合与探究 问题情境 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E为AB边上的一点，连接CE．将矩形ABCD沿直线CE折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在AD边上时． ①求AE的长． ②如图2，连接BF交CE于点G，过点B作BN⊥CF于点N，交CE于点M，试判断EF，MN与AB的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在AD上方时，EF交AD于点P，CF交AD于点Q，连接AF．若△APF为等腰三角形，请直接写出DQ的长． 24．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝a，点P是BC上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转90°，得到PE． 【初步感知】 （1）在点P的运动过程中，试探究∠PAB与∠CPE的数量关系． 【深入研究】 （2）连接CE，在点P的运动过程中，试探究的值． 【拓展延伸】 （3）AE与CD相交于点F，在点P的运动过程中，试探究△PCF的周长是否为定值．若是，求出△PCF的周长；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $