专题05一元一次不等式（组）与一次函数期(14大题型+题型突破+期中复习)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题05一元一次不等式（组）与一次函数 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握一元一次不等式定义、解法（核心：乘除负数变号），会数轴表示解集、求整数解 / 最值及基础绝对值不等式； 2.理解不等式与一次函数的联系，会数形结合解不等式、比较两个一次函数大小； 3.能从实际 / 几何问题中提取不等关系，建立不等式或 “函数 + 不等式” 模型求解。 1.规避解不等式的高频易错点，提升代数运算准确性； 2.深化数形结合思想，实现图像与不等式解集的双向转化； 3.融合函数、方程、不等式知识，提升综合建模与应用能力。 1.基础题（求解、数轴表示、图像判解集等）零失误； 2.中档题（含参问题、绝对值不等式等）准确分析得分； 3.压轴题（实际应用、方案选择 / 最值）掌握 “建模→求解→检验” 流程，规范答题。 题型01.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型02.两直线交点求不等式解集 题型03.求不等式组的解集 题型04.解特殊不等式组 题型05.求不等组整数解 题型06.不等式组解集求参数 题型07.不等式组解集的情况求参数 题型08.不等式组与方程组结合 题型09.列一元一次不等式 题型10.不等式组经济问题 题型11.不等式组行程问题 题型12.不等式组方案选择问题 题型13.不等式组分配与阶梯收费问题 题型14.不等式组的其他应用 解答题5题 知识点01:基本概念 1.一元一次不等式组 由同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起组成。 2.不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的公共部分。 若无公共部分，则称无解。 知识点02:解一元一次不等式组的步骤（必考） 1.分别求出每个不等式的解集。 2.在同一数轴上表示出所有解集。 3.找出公共部分，就是不等式组的解集。 4.写出解集（若无公共部分则写无解）。 知识点03:四种解集规律（a < b） . 知识点04.一元一次不等式组的实际应用 核心思路：审→设→列→解→验→答（六步走，缺一不可） ✅关键：找到题目中的不等关系词，列出多个不等式组成不等式组。 步骤详解: 1.审：审清题意，找出已知量、未知量，圈出不等关系关键词（核心）；📌 常见不等词：至少、至多、不少于、不超过、大于、小于、多于、少于等。 2.设：设出一个未知数（直接设所求量，预习阶段多为单未知数）； 3.列：根据不等关系，列出两个及以上一元一次不等式，组成不等式组； 4.解：按照不等式组解法，求出解集； 5.验：双重验证 验证解集是否符合不等式组的解； 验证解集是否符合实际问题意义 6.答：根据验证结果，写出符合题意的答案（注意单位）。 知识点05:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 题型01.直线与坐标轴交点求不等式解集 【典例】直线与两坐标轴的交点如图所示，当时，的取值范围是______． 【跟踪专练1】如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为_____．    【跟踪专练3】如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 题型02.两直线交点求不等式解集 【典例】已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】直线与直线在同一平面直角坐标系中的位置关系如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 【跟踪专练2】如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 【跟踪专练3】如图是函数与的图象，下列结论正确的是（   ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程组的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．当时， 题型03.求不等式组的解集. 【典例】关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D．无解 【跟踪专练1】不等式组的解集为_____． 【跟踪专练2】若不等式组的解集中的任意都能使不等式成立，则的取值范围是__________． 【跟踪专练3】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型04.解特殊不等式组 【典例】下列说法中，①若m＞n，则ma2＞na2；②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集；③不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；④是方程x﹣2y＝3的唯一解；⑤不等式组无解．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练1】若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是_____． 【跟踪专练2】已知，则的取值范围是_______． 【跟踪专练3】一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞，则k取值范围（　　） A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 题型05.求不等组整数解 【典例】满足不等式组的最大整数解是______． 【跟踪专练1】不等式组的最小整数解是（   ） A． B． C．3 D．4 【跟踪专练2】关于的不等式组有且只有个整数解，则满足条件的整数的和为________． 【跟踪专练3】若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型06.不等式组解集求参数 【典例】已知关于的不等式的解集为，则的值为__________． 【跟踪专练1】一元一次不等式组的解集为，且，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是______． 【跟踪专练3】若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07.不等式组解集的情况求参数 【典例】若关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 【跟踪专练1】若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于的不等式组有且只有四个整数解，则实数的取值范围是______． 【跟踪专练3】关于，的方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有一个偶数解，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 题型08.不等式组与方程组结合 【典例】若关于，的方程组的解满足，则整数的值是______． 【跟踪专练1】已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 【跟踪专练3】若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 题型09.列一元一次不等式 【典例】在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________． 【跟踪专练2】对于实数，用表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值范围________． 【跟踪专练3】八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 题型10.不等式组经济问题 【典例】某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【跟踪专练1】某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某校在世界环境日举行“美丽中国，我是行动者”全民抗疫主题教育活动．为表彰在本次活动中表现优秀的学生，学校决定购买两种奖品．若购买种奖品3件和种奖品2件，共需元；若购买种奖品2件和种奖品3件，共需元． (1)求、两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买、两种奖品共件，购买总费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，设购买种奖品件，购买总费用为元，写出（元）与（件）之间的函数关系式，并确定最少费用的值． 【跟踪专练3】某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果．已知购进杨梅斤，龙眼斤共需元；购进杨梅斤，龙眼斤共需元． (1)杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ (2)该水果店计划用不超过元购进杨梅、龙眼共斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的倍．若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 题型11.不等式组行程问题 【典例】方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【跟踪专练1】为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【跟踪专练2】某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 题型12.不等式组方案选择问题. 【典例】学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练1】怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【跟踪专练2】我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 题型13.不等式组分配与阶梯收费问题 【典例】春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【跟踪专练1】大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【跟踪专练2】某工厂现有甲种原料、乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A种产品用甲种原料、乙种原料，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料、乙种原料，可获利1200元． (1)按要求安排A，B两种产品的生产数量，有哪几种方案？ (2)设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A种产品生产数量为x件．试写出y与x之间的关系式，并利用这个关系式说明哪种方案获利最大，最大利润是多少元？ 【跟踪专练3】为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 题型14.不等式组的其他应用 【典例】在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余 12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小组的人数？ 设勤奋小组有x人，则可列不等式组为________． 【跟踪专练1】按照如下程序，输入的值并计算规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A．33 B．32 C．31 D．30 【跟踪专练2】一家服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元． (1)A、B两种型号的服装每件分别为多少元？ (2)若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装的数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于732元，问有几种进货方案？如何进货？ 【跟踪专练3】年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 【解答题】 1．解不等式组，并把解集表示在数轴上 (1)； (2)； 2．解不等式组，并写出它的整数解． 3．若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 4．已知关于x，y的方程组的解都小于1，求m的取值范围． 5．某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过立方米，则每立方米按元收费；若每户每月用水超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．某用户月份用水立方米，缴纳水费元． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)此用户要想每月水费不超过元，那么每月的用水量不超过多少立方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一元一次不等式（组）与一次函数 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握一元一次不等式定义、解法（核心：乘除负数变号），会数轴表示解集、求整数解 / 最值及基础绝对值不等式； 2.理解不等式与一次函数的联系，会数形结合解不等式、比较两个一次函数大小； 3.能从实际 / 几何问题中提取不等关系，建立不等式或 “函数 + 不等式” 模型求解。 1.规避解不等式的高频易错点，提升代数运算准确性； 2.深化数形结合思想，实现图像与不等式解集的双向转化； 3.融合函数、方程、不等式知识，提升综合建模与应用能力。 1.基础题（求解、数轴表示、图像判解集等）零失误； 2.中档题（含参问题、绝对值不等式等）准确分析得分； 3.压轴题（实际应用、方案选择 / 最值）掌握 “建模→求解→检验” 流程，规范答题。 题型01.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型02.两直线交点求不等式解集 题型03.求不等式组的解集 题型04.解特殊不等式组 题型05.求不等组整数解 题型06.不等式组解集求参数 题型07.不等式组解集的情况求参数 题型08.不等式组与方程组结合 题型09.列一元一次不等式 题型10.不等式组经济问题 题型11.不等式组行程问题 题型12.不等式组方案选择问题 题型13.不等式组分配与阶梯收费问题 题型14.不等式组的其他应用 解答题5题 知识点01:基本概念 1.一元一次不等式组 由同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起组成。 2.不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的公共部分。 若无公共部分，则称无解。 知识点02:解一元一次不等式组的步骤（必考） 1.分别求出每个不等式的解集。 2.在同一数轴上表示出所有解集。 3.找出公共部分，就是不等式组的解集。 4.写出解集（若无公共部分则写无解）。 知识点03:四种解集规律（a < b） . 知识点04.一元一次不等式组的实际应用 核心思路：审→设→列→解→验→答（六步走，缺一不可） ✅关键：找到题目中的不等关系词，列出多个不等式组成不等式组。 步骤详解: 1.审：审清题意，找出已知量、未知量，圈出不等关系关键词（核心）；📌 常见不等词：至少、至多、不少于、不超过、大于、小于、多于、少于等。 2.设：设出一个未知数（直接设所求量，预习阶段多为单未知数）； 3.列：根据不等关系，列出两个及以上一元一次不等式，组成不等式组； 4.解：按照不等式组解法，求出解集； 5.验：双重验证 验证解集是否符合不等式组的解； 验证解集是否符合实际问题意义 6.答：根据验证结果，写出符合题意的答案（注意单位）。 知识点05:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 题型01.直线与坐标轴交点求不等式解集 【典例】直线与两坐标轴的交点如图所示，当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线的图象可直接得到直线在轴下方时对应的取值范围来求解． 【详解】解：从图象可知直线与轴交点的横坐标为2，当时，即直线图象在轴下方的部分，对应的自变量取值范围是． 【跟踪专练1】如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为_____．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在的左侧所对应的自变量的值即可． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象，找出两条直线都在x轴上方时对应的x的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于，直线与x轴交于， ∴不等式组，即的解集是． 题型02.两直线交点求不等式解集 【典例】已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故选：A． 【跟踪专练1】直线与直线在同一平面直角坐标系中的位置关系如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】不等式的解集为直线在直线上方时，交点的横坐标的取值范围，据此结合函数图象求解即可． 【详解】解：由函数图象可得直线与直线交于点， ∴当时，． 【跟踪专练2】如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】先将不等式整理为，再根据直线在直线上方部分确定自变量取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴． 观察图像可知当时，， ∴当时， ， 所以不等式的解集是， 即不等式的解集是． 【跟踪专练3】如图是函数与的图象，下列结论正确的是（   ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程组的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，两直线的交点坐标为，故关于x的方程的解为，故该选项不符合题意； B、关于x的方程组的解为，故该选项符合题意； C、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的下方，即， ∴关于的不等式的解集为，故该选项不符合题意； D、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的上方，即， ∴当时，，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型03.求不等式组的解集. 【典例】关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，利用“大小小大中间找”的规律求解即可． 【详解】解：关于的不等式组的解集为． 故选：C． 【跟踪专练1】不等式组的解集为_____． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组．分别解两个不等式，再确定不等式组的解集． 【详解】解： 解第一个不等式：，移项得，即 解第二个不等式：，移项得，即 不等式组的解集为： 故答案为：． 【跟踪专练2】若不等式组的解集中的任意都能使不等式成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集能使不等式成立，得到关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中的任意都能使不等式成立， ∴， 解得：． 【跟踪专练3】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为． 题型04.解特殊不等式组 【典例】下列说法中，①若m＞n，则ma2＞na2；②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集；③不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；④是方程x﹣2y＝3的唯一解；⑤不等式组无解．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质，解集与解的定义判断即可． 【详解】解：①若m＞n且a≠0，则ma2＞na2，不正确，不符合题意； ②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集，符合题意； ③不等式两边乘（或除以）同一个数（不为0），不等号的方向不变，故不符合题意； ④ 是方程x﹣2y＝3的一组解，不是唯一解，故不符合题意； ⑤不等式组 的解集为x＝1，故不符合题意． 所以正确的个数是：1个 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式组．熟悉二元一次方程的解，以及一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【跟踪专练1】若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再由不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组，解之即可． 【详解】解：解不等式2x+1＜3，得：x＜1， 解不等式6（x-m）≥3+4x，得：x≥， ∵不等式组只有3个整数解， ∴-3＜≤-2， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【跟踪专练2】已知，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将变形为．再将代入不等式，，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，且，， ∵， ∴，即， 解得：， 将代入，得，即， 解得， 的取值范围为：． 故答案为：． 【跟踪专练3】一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞，则k取值范围（　　） A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 【答案】B 【分析】解不等式kx+3＞x﹣3，根据题意得出k﹣1＜0且2且k≠0，解此不等式组即可． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，k≠0）和．当x＜2时，＞， ∴kx+3＞x﹣3， ∴kx﹣x＞﹣6， ∴（k－1）x＞﹣6， ∴k﹣1＜0且2且k≠0， 当k﹣1＜0即k＜1时，2则k≥﹣2， 所以不等式组的解集为﹣2≤k＜1且k≠0； 当k＝1时，，，很明显＞也成立， 故k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，一次函数的性质，关键是根据题意得出k﹣1＜0时，2且k≠0解答． 题型05.求不等组整数解 【典例】满足不等式组的最大整数解是______． 【答案】 【分析】先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出最大整数解． 【详解】解不等式，得； 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∴最大整数解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤． 【跟踪专练1】不等式组的最小整数解是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】先分别解两个一元一次不等式，求出不等式组的解集，再确定解集中的最小整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为 因此原不等式组的最小整数解为3． 【跟踪专练2】关于的不等式组有且只有个整数解，则满足条件的整数的和为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有三个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， ∴ 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有三个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为 故答案为：． 【跟踪专练3】若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 【详解】解：∵不等式组为 ， ∴解集为， ∵整数解共有4个， ∴整数解为3，4，5，6， ∴m的取值范围是， 故选：D． 题型06.不等式组解集求参数 【典例】已知关于的不等式的解集为，则的值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，方程思想的应用，掌握解不等式得到解集表达式，通过解集相等建立方程求参数是解题的关键． 通过解不等式得到关于的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解． 【详解】解：解不等式， 化简得，即， 移项得， 由于解集为， 因此， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】一元一次不等式组的解集为，且，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．根据在确定一元一次不等式组的解集时，“同大取大”解答即可得． 【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为，且， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 【详解】解∵ 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴， 解得． 【跟踪专练3】若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于的不等式求解即可． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 又∵不等式组无解， ∴， 解得． 故选：A． 题型07.不等式组解集的情况求参数 【典例】若关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式组有解的条件计算即可得出结果． 【详解】解：∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 【跟踪专练1】若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据不等式组的情况求参数，先求出不等式组的解集，再根据恰有3个整数解确定具体整数解，最后结合解集边界确定的取值范围，需注意边界值的取舍． 【详解】解：∵不等式组， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴这3个整数解为1、0、， ∴． 故选B． 【跟踪专练2】若关于的不等式组有且只有四个整数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解每个不等式，根据不等式组有且只有个整数解得出，然后解这个不等式组求即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式组有且只有四个整数解， ∴，解得， ∴实数的取值范围是． 【跟踪专练3】关于，的方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有一个偶数解，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程组的解为整数，可得是偶数，由不等式组有且仅有一个偶数解，知这个偶数解为，从而，可得，即可得到答案． 【详解】解：∵方程组 ∴，这两个方程相加，得 ∴，这两个方程相减，得 即， 方程组的解为整数， 是偶数， 由不等式组可得， 不等式组有且仅有一个偶数解， 这个偶数解为， ， ， 可取，， 所有满足条件的整数的和为． 题型08.不等式组与方程组结合 【典例】若关于，的方程组的解满足，则整数的值是______． 【答案】3 【分析】求出y-x=k-2，根据0＜y-x＜2得到k的范围，即可得到答案． 【详解】解：， ①-②得：y-x=k-2， ∵0＜y-x＜2， ∴0＜k-2＜2， ∴2＜k＜4， ∵k是整数， ∴k=3； 故答案为：3． 【点睛】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式组，解题的关键是求出y-x=k-2，由已知得出关于k的不等式． 【跟踪专练1】已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接用方程组中的减去得到，再结合，得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的中x，y满足， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了方程组和不等式结合的问题，正确利用方程组得到是解题的关键． 【跟踪专练2】若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练3】若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 题型09.列一元一次不等式 【典例】在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 【跟踪专练1】把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________． 【答案】 【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为： 最后一个同学最多分得3个， 则，即． 故答案为． 【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键． 【跟踪专练2】对于实数，用表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值范围________． 【答案】 【分析】根据表示不大于的最大整数可列不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义最大整数问题，掌握表示不大于的最大整数的定义，抓住是解题关键． 【跟踪专练3】八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 题型10.不等式组经济问题 【典例】某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可． 【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ， 解得： 又∵为整数， ∴，，， 故购买方案有种． 故选：A． 【跟踪专练1】某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 【跟踪专练2】某校在世界环境日举行“美丽中国，我是行动者”全民抗疫主题教育活动．为表彰在本次活动中表现优秀的学生，学校决定购买两种奖品．若购买种奖品3件和种奖品2件，共需元；若购买种奖品2件和种奖品3件，共需元． (1)求、两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买、两种奖品共件，购买总费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，设购买种奖品件，购买总费用为元，写出（元）与（件）之间的函数关系式，并确定最少费用的值． 【答案】(1)奖品的单价是元， 奖品的单价是元； (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、不等式组的经济问题，正确理解题意是解题关键． （1）设、两种奖品的单价各是，由题意得：，据此即可求解； （2）由题意得：购买种奖品件，推出；根据即可确定确定最少费用的值； 【详解】（1）解：设、两种奖品的单价各是， 由题意得：， 解得：， ∴奖品的单价是元， 奖品的单价是元； （2）解：由题意得：购买种奖品件， 则； ∵，可得：， ∴当时， 【跟踪专练3】某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果．已知购进杨梅斤，龙眼斤共需元；购进杨梅斤，龙眼斤共需元． (1)杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ (2)该水果店计划用不超过元购进杨梅、龙眼共斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的倍．若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 【答案】(1)杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元； (2)共有种进货方案． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组或一元一次不等式组是解题的关键． （）设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设杨梅购进斤，则龙眼购进斤，由题意可得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元， 根据题意，得，解得， 答：杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元； （2）解：设杨梅购进斤，则龙眼购进斤， 由题意，可得， 解得， ∵为整数， ∴共有种进货方案． 题型11.不等式组行程问题 【典例】方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 【跟踪专练2】某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【答案】(1)点表示第14秒时乙组追上甲组； (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数和一元一次不等式组的应用； （1）根据题意结合函数图象，即可求解； （2）根据点，点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得的函数表达式为，根据两组之间的距离不超过时，分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前；②当甲到终点，乙还没有到终点前；建立不等式，并根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组； 或“乙组到第14秒时已经走了24米”， 或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”． （2）解：设的函数表达式为 点，点 ，解得， 的函数表达式为． （3）解：设的函数表达式为 ∵， ，解得， 的函数表达式为， 分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前 ， 可解得 ②当甲到终点，乙还没有到终点前 将代入， 解得：， ， 综合①②得的取值范围为：或 题型12.不等式组方案选择问题. 【典例】学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 【跟踪专练1】怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 【跟踪专练2】我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元； (2)共有3种租车方案，方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车；方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车；方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车； (3)采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 【分析】设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元，根据“租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车，根据“租用A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元， 根据题意得：， 解得： 答：租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 共有3种租车方案， 方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车； 方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车； 方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车； （3）选择方案1所需总费用为元 选择方案2所需总费用为元 选择方案3所需总费用为元， ， 采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 题型13.不等式组分配与阶梯收费问题 【典例】春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】某工厂现有甲种原料、乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A种产品用甲种原料、乙种原料，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料、乙种原料，可获利1200元． (1)按要求安排A，B两种产品的生产数量，有哪几种方案？ (2)设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A种产品生产数量为x件．试写出y与x之间的关系式，并利用这个关系式说明哪种方案获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)有3种方案：A，B两种产品的件数分别为30，20或31，19或32，18 (2)，生产A种产品30件，B种产品20件时，总利润最大，最大利润是45000元． 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用及最大利润问题；得到两种原料的关系式及总利润的等量关系是解决本题的关键． （1）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为件，根据题意列出不等式组，解出不等式组的解，即可得到结论； （2）根据已知生产一件A产品，可获利润700元；生产一件B种产品，可获利润1200元，可建立函数关系式，利用函数的增减性及（1）的结论，即可求得结论． 【详解】（1）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为件， 根据题意得， 解得 ∵x为整数， ∴整数，31或32； ∴当时，；当时，；当时，； ∴共有3种方案：A，B两种产品的件数分别为30，20或31，19或32，18； （2）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为件， 由题意得： ∵ ∴y随x的增大而减小， ∵，31或32， ∴当时，y有最大值为． ∴生产A种产品30件，B种产品20件时，总利润最大，最大利润是45000元． 【跟踪专练3】为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 题型14.不等式组的其他应用 【典例】在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余 12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小组的人数？ 设勤奋小组有x人，则可列不等式组为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设勤奋小组有x人，根据“如果每人分5本，那么剩余 12本”可得图书总数为：，根据“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”，即可列出不等式组，从而得解． 【详解】解：设勤奋小组有x人， ∵如果每人分5本，那么剩余12本， ∴图书总数为：， ∵如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本， ∴可列不等式组为：，即． 故答案为：． 【跟踪专练1】按照如下程序，输入的值并计算规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A．33 B．32 C．31 D．30 【答案】A 【分析】根据流程图结合程序操作进行了两次后停止列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵所有符合条件的的最大值为，最小值为， ∴，， ∴． 【跟踪专练2】一家服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元． (1)A、B两种型号的服装每件分别为多少元？ (2)若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装的数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于732元，问有几种进货方案？如何进货？ 【答案】(1)两种型号服装每件分别为90元，100元 (2)有三种方案：方案（一）购进A型号服装的数量为24件，则B型号服装的数量为10件；方案（二）购进A型号服装的数量为26件，则B型号服装的数量为11件；方案（三）购进A型号服装的数量为28件，则B型号服装的数量为12件 【分析】（1）设种型号服装每件为元，种型号服装每件为元，根据“购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元”建立二元一次方程组求解； （2）设购进B型号服装的数量为m件，则A型号服装的数量为件，根据“购进A型服装的数量要比购进B型服装的数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于732元”建立不等式组求出的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号服装每件为元，种型号服装每件为元． 根据题意得 解得 答：两种型号服装每件分别为90元，100元； （2）解：设购进B型号服装的数量为m件，则A型号服装的数量为件．根据题意得 解得 因为为正整数 所以 所以，有三种方案： 方案（一）购进A型号服装的数量为24件，则B型号服装的数量为10件； 方案（二）购进A型号服装的数量为26件，则B型号服装的数量为11件； 方案（三）购进A型号服装的数量为28件，则B型号服装的数量为12件． 【跟踪专练3】年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 【答案】(1)元，元 (2)购进“神舟”模型个、“天宫”模型个，利润最大，最大利润元； (3) 【分析】（1）设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个，列不等式组求出的取值范围，再根据利润单个利润模型数量，可得关于的一次函数，利用一次函数的性质求出最大利润； （3）根据利润单个利润模型数量，可得，根据一次函数的性质求出． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元． （2）解：设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个， 根据题意得：， 解得：， ， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，， （个）， 答：购进“神舟”模型个、“天宫”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元； （3）解：， ， 若，则，即， 随的增大而增大， 当时值最大，得， 解得：， 为让航模店最终获得的最大利润是元，的值为． 【解答题】 1．解不等式组，并把解集表示在数轴上 (1)； (2)； 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得 将解集表示在数轴上如下： （2）解： 解不等式①得 解不等式②得 ∴不等式组的解集为 将解集表示在数轴上如下： 2．解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集为，整数解为 【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可． 【详解】解： ， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为：， 所以不等式组的所有整数解为：． 3．若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 4．已知关于x，y的方程组的解都小于1，求m的取值范围． 【答案】 【分析】先解方程求出x，y的值，再根据题意列不等式组求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：，即， ∴， 解得，，解得，， ∴． 5．某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过立方米，则每立方米按元收费；若每户每月用水超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．某用户月份用水立方米，缴纳水费元． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)此用户要想每月水费不超过元，那么每月的用水量不超过多少立方米？ 【答案】(1) (2)每月的用水量不超过立方米 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）分情况讨论：当时，当时，分别根据题意列出等量关系即可； （2）根据用户每月水费不超过元，且要求每月的用水量不超过多少立方米，可得，求出的范围即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 关于的函数解析式为； （2）由题意得：， 解得：， 每月的用水量不超过立方米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $