1.2 数学联想 课件-2026届高三数学二轮解题方法信息提取专题复习

1.2　数学联想 阅读理解中的数学联想,实际是各种数学概念、观念上的纵横联系和发散联系.学生根据数学知识点的联系性和动态性特征,运用具体思维技巧进行科学性思考,将已有知识经验和思考结果进行联结,获得数学联想,内化数学知识,构建起自己的数学观.高中数学课程标准要求学生能用数学的思维思考世界,数学联想能力正是数学思维的一个重要构成且有助于培养学生的逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养. 1.2　数学联想 例1　(2025北京卷,7)已知函数f(x)的定义域为D,则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1.2　数学联想 [思维路径] 1.2　数学联想 [解题过程] 因为函数f(x)的定义域为D, 若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定存在x1∈D,使得f(x1)=|M|+1,取x0=x1,则|f(x0)|=|M|+1>M,充分性成立; 反之,取f(x)=2x,D=R,则对任意M∈R,一定存在x1∈D,使得f(x1)=|M|+1, 取x0=x1,则|f(x0)|=|M|+1>M,但此时函数f(x)的值域为(0,+∞),必要性不成立, 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件.故选A. [答案] A 1.2　数学联想 学友聊斋 1.2　数学联想 例2　(2024全国甲卷,理11)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=,b2=ac,则sin A+sin C=(　　) A. B. C. D. 1.2　数学联想 [思维路径] 1.2　数学联想 [解题过程] 因为B=,b2=ac, 所以由正弦定理得sin Asin C=sin2B=. 由余弦定理可得b2=a2+c2-ac=ac,即a2+c2=ac, 由正弦定理得sin2A+sin2C=sin Asin C=, 所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=. 因为A,C为三角形内角,所以sin A+sin C>0,则sin A+sin C=.故选C. [答案] C 1.2　数学联想 例3　(2023新高考Ⅱ卷,12,多选题)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1). 1.2　数学联想 下列说法正确的是(　　) A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2 B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2 C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3 D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 1.2　数学联想 [思维路径] 1.2　数学联想 [解题过程] 发送1时,收到1的概率为1-β;发送0时,收到0的概率为1-α.再结合独立性可知,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2,故A正确. 采用三次传输方案,若发送1,实际发送了1,1,1, 因此依次收到1,0,1的概率为(1-β)β(1-β)=β(1-β)2,故B正确. 采用三次传输方案,若发送1,译码为1的充要条件是至少接收到两个1, 因此译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3=3β(1-β)2+(1-β)3,故C不正确. 1.2　数学联想 当0<α<0.5时,若发送0,采用三次传输方案译码为0的概率为3α(1-α)2+(1-α)3 =(1-α)[1+α(1-2α)],采用单次传输方案译码为0的概率为1-α. 当0<α<0.5时,由1+α(1-2α)>1得3α(1-α)2+(1-α)3>1-α,故D正确.故选ABD. [答案] ABD 1.2　数学联想 学友聊斋 1.2　数学联想 能 力 训 练 A组　基础性题组 题号 选题理由 1 联想基本不等式的内容及常用变形,结合特例即可判断 2 考查基本初等函数的单调性及复合函数的单调性,实现不同知识点之间的联想和整合 3 根据对数式的特点,结合对数运算,联想换底公式,实现a,b,c之间的关联,进而判断即可 4 结合图象和解析式的特点,联想函数及其导函数的单调性,得原函数的最值,根据最值的取值范围,可得答案 5 (1)考查正弦定理,联想两角和的正弦公式以及辅助角公式,进而得解; (2)根据中线条件,联想中线的向量表达式,求向量的模长即可;根据重心的性质或向量的夹角公式,借助余弦定理可得结果 1.2　数学联想 1.☆(2025北京卷,6)已知a>0,b>0,则(　C　) A.a2+b2>2ab B. C.a+b> D. [解题过程] 对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误; 对于B,D,取a=,b=,此时=2+4=6,=8>6,=4<6,故B,D错误; 对于C,由基本不等式可得a+b≥2,故C正确.故选C. 1.2　数学联想 2.☆(2025陕西咸阳二模)已知x∈,则函数y=的最大值是 (　C　) A. B.1 C. D.2 1.2　数学联想 [解题过程] 令u=sin x,y=,易知y=是减函数. 因为x∈,又u=sin x在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以y=在区间上单调递减,在区间上单调递增, 又当x=-时,y=,当x=π时,y==1, 则函数y=的最大值是.故选C. 1.2　数学联想 3.☆(2025辽宁辽阳一模)若a=-log0.220,b=log624,c=log312,则(　A　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a [解题过程] a=-log0.220=log520=1+log54, b=log624=1+log64, c=log312=1+log34, 因为0=log41<log43<log45<log46, 所以log34>log54>log64,则c>a>b. 故选A. 1.2　数学联想 4.☆☆(2025湖北武汉二模,多选题)已知a>0且a≠e,则函数f(x)=ex-aln x的图象可能是(　BCD　) 1.2　数学联想 [解题过程] 由f(x)=ex-aln x,求导可得f'(x)=,易知函数f'(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 令g(x)=xex,求导可得g'(x)=ex(1+x)>0在区间(0,+∞)上恒成立, 则g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0,而a>0且a≠e, 易知∃x0∈(0,+∞),使得g(x0)=a,则x0=a,即f'(x0)=0, 当0<x<x0时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(0,x0)上单调递减; 当x>x0时,f'(x)>0,则函数f(x)在区间(x0,+∞)上单调递增, 所以f(x)≥f(x0)=-aln x0. 由x0=a,则f(x0)=(1-x0ln x0), 当0<a<e,即0<x0<1时,f(x)≥f(x0)=(1-x0ln x0)>0,故A错误,B可能正确; 1.2　数学联想 当a>e,即x0>1时,令h(x)=1-xln x(x>1),求导可得h'(x)=-ln x-1<0, 则函数h(x)在区间(1,+∞)上单调递减. 由h(1)=1-0>0,h(2)=1-2ln 2<0,则存在x1∈(1,2),使得h(x1)=0, 所以当x0>1时,此时f(x0)符号不定,故C,D可能正确.故选BCD. 1.2　数学联想 5.☆☆(2025河南郑州二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b(cos A+sin A)=a+c. (1)求B; (2)若a=2,c=5,AC,AB边上的中线BE,CF相交于点M. (ⅰ)求BE; (ⅱ)求cos∠EMF. 1.2　数学联想 [解题过程] (1)由正弦定理得sin B(cos A+sin A)=sin A+sin C, ∴sin Bcos A+sin Bsin A=sin A+sin(A+B), ∴sin Bsin A=sin A+sin Acos B. ∵sin A≠0,∴sin B=1+cos B, ∴sin. ∵0<B<π,∴-<B-, ∴B-,即B=. 1.2　数学联想 (2)(ⅰ)∵), ∴||= =. (ⅱ)在△BCF中,由余弦定理得CF2=BC2+BF2-2BC·BF·cos∠CBF=, 即CF=. 1.2　数学联想 [方法1]由题知点M是△ABC的重心, ∴CM=CF=,∴BM=BE=. 在△BMC中,由余弦定理得cos∠BMC=, ∴cos∠EMF=cos∠BMC=. [方法2]又, ∴|2-|2=3, ∴cos∠EMF=cos<>=. 1.2　数学联想 B组　综合性题组 题号 选题理由 1 通过分析点、线、面之间的位置关系,结合定理、定义以及基本事实,利用数形结合的方法得出答案 2 根据给定条件,结合基本初等函数的性质,确定符合题目要求的函数模型 3 根据角的三角函数之间的关系,联想两角之间的等量关系,从而可得满足条件的一组解 4 仔细阅读题目,深入理解新定义,结合等比数列的定义以及累乘法等相关知识解答 5 运用解三角形的原理,联想到平面几何关系的证明与转化,寻找解决问题的关键 1.2　数学联想 1.☆(2025天津高三检测)若m,n为空间两条不同的直线,α,β为空间两个不同的平面,则下列结论中不正确的是(　D　) A.若m∥α,m∥n,n⊄α,则n∥α B.若m⊥α,m∥β,则α⊥β C.若α∥β,m⊥α,n⊂β,则m⊥n D.若m∥α,n∥α,则m∥n [解题过程] 对于A,若m∥α,m∥n,则n∥α或n⊂α,而n⊄α,故n∥α,故A正确; 对于B,若m⊥α,将m视作α的法向量所在直线,又m∥β,易知α⊥β,故B正确; 对于C,若α∥β,m⊥α,则m⊥β,而n⊂β,故m⊥n,故C正确; 对于D,若m∥α,n∥α,则m,n平行、异面、相交都有可能,故D错误.故选D. 1.2　数学联想 2.☆(2025山东潍坊一模)写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)= 　log2x(答案不唯一,形如f(x)=logax(a>1)都可以)　.  ①f(x1x2)=f(x1)+f(x2); ②f(x)在区间(0,+∞)上是增函数. [解题过程] 对于函数f(x)=log2x,该函数的定义域为(0,+∞), 且该函数在区间(0,+∞)上为增函数,满足②;对任意的x1,x2∈(0,+∞),f(x1x2)=log2(x1x2)=log2x1+log2x2=f(x1)+f(x2),满足①. 1.2　数学联想 3.☆☆(2025北京卷,13)已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β), cos(α+β)≠cos(α-β),写出满足条件的一组(α,β)= ()　.  [解题过程] 因为sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β), 所以α+β,α-β的终边关于y轴对称,且不与y轴重合, 故α+β+α-β=π+2kπ,k∈Z且α+β≠+lπ,l∈Z,即α=+kπ,k∈Z, 故取α=,β=可满足题设要求. 1.2　数学联想 4.☆☆☆(2025黑龙江齐齐哈尔二模)一个数列{an}本身不是等差数列,但从数列{an}中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列{bn},则称数列{an}为一阶等差数列.类比一阶等差数列的定义,我们亦可定义一阶等比数列.设数列{an}:1,1,2,8,64,…是一阶等比数列,则b6=　32　, = 　.  1.2　数学联想 [解题过程] 由题意,设数列{an}:1,1,2,8,64,…是一阶等比数列,bn=, 则{bn}为等比数列,其中b1==1,b2==2,公比为q==2, 所以bn=2n-1,则b6=26-1=32. 因为an=·…··a1=bn-1·bn-2·…·b1·a1=21+2+…+(n-2)=,n≥2, 所以=2(),n≥3, 所以+…+ =2[+…+]=2. 1.2　数学联想 5.☆☆(2025湖北武汉二模)如图,△AOD与△BOC存在对顶角∠AOD=∠BOC=,AC=2,BD=2,且BC=AD. (1)证明:O为BD的中点; (2)若sin 2A+cos B=,求OC的长. 1.2　数学联想 [解题过程] (1)证明:设OC=x,OB=y, 则OA=2-x,OD=2-y. 在△AOD中,由余弦定理得AD2=(2-x)2+(2-y)2-2×(2-x)×(2-y)×. 在△BOC中,由余弦定理得BC2=x2+y2-2xy×. 因为BC=AD,所以(2-x)2+(2-y)2-2×(2-x)×(2-y)×=x2+y2-2xy×. 化简得y=,所以OB=OD=, 故O为BD的中点. 1.2　数学联想 (2)如图,过D点作DE∥BC,交AC于点E, 则∠EDO=∠CBO. 因为∠EDO=∠CBO,∠EOD=∠COB,OD=OB, 所以△OED≌△OCB(AAS), 所以BC=DE. 又BC=AD,所以DE=DA, 所以∠A=∠DEA,所以∠OED=π-A. 又∠OED=∠C,B+C=π-,所以A=B+. 1.2　数学联想 由sin 2A+cos B=, 可得sin+cos B=, 即cos 2B+cos B=, 所以(2cos2B-1)+cos B=,即2cos2B+cos B-2=0. 又-1<cos B<1,所以cos B=,所以sin B=. 所以sin C=sin=sincos B-cossin B=. 在△OBC中,由正弦定理,可得,即,解得OC=. 1.2　数学联想 C组　应用性题组 题号 选题理由 1 本题综合考查了平面几何、立体几何以及导数等知识点,实现了知识间的联系和转化 2 仔细阅读题意,联想极值的判断和求解,逐项解答即可 3 通过分析函数解析式的结构特性,进行适当的变形,联想到对称性的含义,并利用特殊值来确定参数a,进而确定解析式,求解函数的值域 4 利用复数的乘方运算及概念简化条件,根据复数的几何意义,联系圆的有关知识,数形结合计算即可 5 深入理解题目要求,通过联想和归纳,确定满足Z=X+Y条件的不同情况数量,然后利用古典概率模型的公式进行求解 1.2　数学联想 1.☆☆(2025安徽合肥一模)已知P为圆O:x2+y2=1上的动点(不在坐标轴上),过点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,将△OPQ绕y轴旋转一周,所得几何体的体积最大时,线段OQ的长度为(　C　) A. B. C. D. 1.2　数学联想 [解题过程] 设P(x,y),不妨设y>0,则0<y≤1,-1≤x≤1,则过P作PQ⊥x轴,垂足为Q,将△OPQ绕y轴旋转一周,所得几何体为同底等高的一个圆柱体与圆锥的组合体,底面半径为|x|,高为|y|, 则所得几何体的体积V=πx2|y|-πx2|y|=π(1-y2)y. 令f(y)=(1-y2)y(0<y≤1),则f'(y)=1-3y2. 由f'(y)>0,可得0<y<,由f'(y)<0,可得<y≤1,所以f(y)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以f(y)在y=时取得最大值,即当y=时,V取得最大值,此时|x|=,所以线段OQ的长度为.故选C. 1.2　数学联想 2.☆☆(2025江西南昌一模)我们约定:若两个函数的极值点个数相同,并且图象从左到右看,极大值点和极小值点分布的顺序相同,则称这两个函数的图象“相似”.已知f(x)=ex-ex2+(x-1)2,则下列给出的函数其图象与y=f(x)的图象“相似”的是(　C　) A.y=x2 B.y=-x2 C.y=x3-3x D.y=-x3+3x 1.2　数学联想 [解题过程] f'(x)=ex-ex+2x-2,则f'(1)=0.令f'(x)=0,则ex=(e-2)x+2. 如图,作出函数y=ex,y=(e-2)x+2的图象, 由图可知函数y=ex,y=(e-2)x+2的图象有两个交点, 即函数y=f'(x)有两个零点1,x0,且x0<0. 令f'(x)>0,则x>1或x<x0,令f'(x)<0,则x0<x<1, 所以f(x)在区间(-∞,x0),(1,+∞)上单调递增, 在区间(x0,1)上单调递减, 所以f(x)的极大值点为x0,极小值点为1. 1.2　数学联想 对于A,函数y=x2在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,所以函数有极小值点,无极大值点,故A选项不符合题意; 对于B,函数y=-x2在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(0,+∞)上单调递减,所以函数有极大值点,无极小值点,故B选项不符合题意; 对于C,y'=3x2-3, 当x<-1或x>1时,y'=3x2-3>0,当-1<x<1时,y'=3x2-3<0, 所以函数y=x3-3x的极大值点为-1,极小值点为1,故C选项符合题意; 对于D,y=-x3+3x=-(x3-3x), 则函数y=-x3+3x的极小值点为-1,极大值点为1,故D选项不符合题意. 故选C. 1.2　数学联想 3.☆☆(2025福建厦门一模)若函数f(x)=ln(eax-6+1)-x的图象关于直线x=3对称,则f(x)的值域为(　B　) A.[ln 2-3,0) B.[ln 2-3,+∞) C.[ln 3-2,0) D.[ln 3-2,+∞) [解题过程] 依题意,f(x)=ln(eax-6+1)-x=ln[e(a-1)x-6+e-x], 其图象关于直线x=3对称,则f(0)=f(6), 所以ln(e-6+e0)=ln(e6a-12+e-6), 所以e-6+e0=e6a-12+e-6,解得a=2, 所以f(x)=ln(ex-6+e-x),此时f(6-x)=ln(ex+ex-6)=f(x),满足题意. 因为ex-6>0,e-x>0,ex-6+e-x≥2, 当且仅当ex-6=e-x,即x=3时,等号成立,所以f(x)≥ln 2-3.故选B. 1.2　数学联想 4.☆☆(2025上海卷,10)若i为虚数单位,复数z满足z2=,|z|≤1,则|z-2-3i|的最小值是　2　.  1.2　数学联想 [解题过程] 设z=a+bi(a,b∈R),∴=a-bi, 由题意可知z2=a2+2abi-b2==a2-2abi-b2,则ab=0. 又|z|=≤1, 由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z(a,b) 在单位圆内部(含边界)的坐标轴上,即线段AB,CD上运动, 如图所示. 设E(2,3),则|z-2-3i|=|ZE|, 由图象可知|BE|=>|CE|=2, 所以|ZE|min=2,即|z-2-3i|的最小值为2. 1.2　数学联想 5.☆☆☆(2025广东大湾区一模)有三个袋子,每个袋子中都装有n个球,球上分别标有数字1,2,3,…,n.现从每个袋子中任意摸出一个球,用X,Y,Z分别表示从第一、第二、第三个袋子中摸出的球上所标记的数,则事件“X+Y=Z”的概率为 　.  1.2　数学联想 [解题过程] 由题意,从三个袋子中摸出的球上所标记的数的总的情况有n3种, 满足Z=X+Y,则2≤Z≤n, 当Z=2时,X,Y对应的情况有(1,1),1种; 当Z=3时,X,Y对应的情况有(1,2),(2,1),2种; 当Z=4时,X,Y对应的情况有(1,3),(2,2),(3,1),3种;…… 当Z=n时,X,Y对应的情况有(1,n-1),(2,n-2),…,(n-1,1),n-1种, 所以满足Z=X+Y的情况共有1+2+3+…+(n-1)=种, 故所求事件的概率为P=. 1.2　数学联想 D组　创新性题组 题号 选题理由 1 通过阅读,充分理解题意,联想不同的函数模型,逐项操作验证 2 联想对数运算要求,对等式两边同时取对数后构造关于loga3的方程,求解即可 3 根据题意,联想向量的几何意义,写出位移向量的坐标,根据模长公式验证即可 4 本题具有很高的综合性,需要在深入理解题意的前提下,通过对新定义的联想,对条件方程组进行转化,得到所要研究的几何体,再结合立体几何、数列等相关知识来求解 1.2　数学联想 1.☆☆☆(2025江苏宿迁调研,多选题)已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R, f(x)≥g(x)(当且仅当x=0时,等号成立),则下列结论可能正确的是(　ABD　) A.∀x∈R,f(x)≥f(0),且g(x)≤g(0) B.∀x∈R,f(x)≥f(0),且g(x)≥g(0) C.∀x1∈R,f(x1)≤f(0),且∃x2∈R,g(x2)>g(0) D.∃x1∈R,f(x1)<f(0),且∃x2∈R,g(x2)>g(0) 1.2　数学联想 [解题过程] 对于A,取f(x)=1+x2,g(x)=1-x2,满足函数f(x)与g(x)的定义域均为R,f(x)≥g(x)(当且仅当x=0时,等号成立),可得∀x∈R,f(x)≥f(0),且g(x)≤g(0),故A可能正确; 对于B,取f(x)=e|x|,g(x)=|x|+1,函数f(x),g(x)均为偶函数, 当x≥0时,f(x)=ex,g(x)=x+1, 令h(x)=ex-x-1(x≥0),则h'(x)=ex-1, 当x≥0时,h'(x)≥0,函数h(x)=ex-x-1在区间[0,+∞)上单调递增, 所以h(x)≥h(0),所以ex-x-1≥0,所以ex≥x+1, 即满足函数f(x)与g(x)的定义域均为R,f(x)≥g(x)(当且仅当x=0时,等号成立), 又f(x)=ex在区间[0,+∞)上单调递增,g(x)=x+1在区间[0,+∞)上单调递增, 可得∀x∈R,f(x)≥f(0),且g(x)≥g(0),故B可能正确; 1.2　数学联想 对于C,若∀x1∈R,f(x1)≤f(0),且∃x2∈R,g(x2)>g(0), 当x1=x2时,f(x2)≤f(0),可得f(x2)<g(x2), 此时不满足f(x2)≥g(x2)成立,故C不可能正确; 对于D,取f(x)=ex(x∈R),g(x)=x+1(x∈R), 令φ(x)=ex-x-1,则φ'(x)=ex-1, 当x<0时,φ'(x)<0,函数φ(x)=ex-x-1在区间(-∞,0)上单调递减, 当x>0时,φ'(x)>0,函数φ(x)=ex-x-1在区间(0,+∞)上单调递增, 所以φ(x)≥φ(0),所以ex-x-1≥0,所以ex≥x+1,当且仅当x=0时,等号成立, 故满足函数f(x)与g(x)的定义域均为R,f(x)≥g(x)(当且仅当x=0时,等号成立), ∃x1=-1,使得f(x1)=<1=f(0),且∃x2=1,使得g(x2)=2>1=g(0),故D可能正确. 故选ABD. 1.2　数学联想 2.☆☆(2025重庆名校联盟)已知正实数a满足aa=(9a)8a,则loga(3a)= 　.  [解题过程] 因为aa=(9a)8a,易知a>0且a≠1,所以logaaa=loga(9a)8a, 得a=8a×(2loga3+1),即loga3=-, 故loga(3a)=1+loga3=. 1.2　数学联想 3.☆☆(2025上海嘉定二模)在平面直角坐标系中,一质点P从原点O出发,第一次从点O移动到点P1,第二次从点P1移动到点P2,…,第k次从点Pk-1(规定P0=O)移动到点Pk.记向量vk=,其模长为k,方向与x轴正方向成(90k)°角,设sn为经过n次移动的位移向量,即sn=,则当|sn|=时,n的值为　13　.  1.2　数学联想 [解题过程] 根据题意可知vk=的模长为k,方向与x轴正方向成(90k)°角, ∴vk==(kcos(90k)°,ksin(90k)°), ∴sn==(1×cos 90°+2cos 180°+3cos 270°+…+ncos(90n)°, 1×sin 90°+2sin 180°+3sin 270°+…+nsin(90n)°), ∴s4==(-2+4,1-3)=(2,-2),|s4|=2; s8==(-2+4-6+8,1-3+5-7)=(4,-4),|s8|=4; s12==(-2+4-6+8-10+12,1-3+5-7+9-11)=(6,-6),|s12|=6; s13==(-2+4-6+8-10+12,1-3+5-7+9-11+13)=(6,7),|s13|=.故n=13. 1.2　数学联想 4.☆☆☆☆(2025广西南宁二模)在空间直角坐标系Oxyz中,任意平面的方程都可以表示成Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A2+B2+C2≠0),m=(A,B,C)为该平面的法向量.设M是多面体的一个顶点,定义多面体在M处的离散曲率为ΩM=1-(∠N1MN2+∠N2MN3+…+∠Nn-1MNn+∠NnMN1),其中Ni(i=1,2,3,…,n,n≥3)为多面体的所有与点M相邻的顶点,且平面N1MN2,N2MN3,…,Nn-1MNn,NnMN1遍历多面体的所有以M为公共顶点的面.多面体的离散总曲率为该多面体各顶点的离散曲率之和.已知在空间直角坐标系Oxyz中,几何体W的底面在平面xOy内,且侧面上任意一点(x,y,z)满足 1.2　数学联想 (1)判断几何体W的形状,并求几何体W的两个相邻侧面所在平面夹角的余弦值; (2)求几何体W的离散总曲率; (3)定义:若无穷等比数列{an}的公比q满足0<|q|<1,则{an}的所有项之和S=an=.若球O1与几何体W的各面均相切,然后依次在W内放入球O2,球O3,…,球On+1,…,使得球On+1(n≥1,n∈N*)与W的四个侧面相切,且与球On外切,求放入的所有球的表面积之和. 1.2　数学联想 [解题过程] (1)几何体W为正四棱锥, 依题意, 即 当z=0时,|x|+|y|=表示平面xOy内的两组平行直线x+y=±及x-y=±所围成的正方形,其顶点为A(,0,0),B(0,,0),C(-,0,0),D(0,-,0). 当x=y=0时,点P(0,0,3),因此几何体W为正四棱锥P-ABCD,如图, 1.2　数学联想 正四棱锥任意两侧面所在平面的夹角相等,不妨求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值. 平面PAB的方程为3x+3y+z=3,则平面PAB的法向量为m=(3,3,), 平面PBC的方程为-3x+3y+z=3,则平面PBC的法向量为n=(-3,3,), 因此cos<m,n>=, 所以几何体W两个相邻侧面所在平面夹角的余弦值为. 1.2　数学联想 (2)依题意,ΩP=1-(∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA), ΩA=1-(∠DAB+∠BAP+∠DAP), ΩB=1-(∠ABC+∠ABP+∠CBP), ΩC=1-(∠BCD+∠BCP+∠DCP), ΩD=1-(∠CDA+∠CDP+∠ADP), 所以几何体W的离散总曲率为ΩP+ΩA+ΩB+ΩC+ΩD =5-(∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA+∠DAB+∠BAP+∠DAP+∠ABC+ ∠ABP+∠CBP+∠BCD+∠BCP+∠DCP+∠CDA+∠CDP+∠ADP) =5-(4×π+2π)=2. 1.2　数学联想 (3)设球O1与侧面PAB相切于点E,连接PE,与AB交于点M,则O1E⊥PM, 连接OM,则OM=AD=,PM==2,∠OPM=30°. 设球O1的半径为r1,则PO1=2r1,PO=r1+2r1=3r1=3,解得r1=1. 设球On的半径为rn,则3rn=3-2r1-2r2-…-2rn-1(n≥2), 则3rn+1=3-2r1-2r2-…-2rn-1-2rn,两式相减得3(rn+1-rn)=-2rn,即3rn+1=rn, 因此数列{rn}是以1为首项,为公比的等比数列, 则数列{}是以1为首项,为公比的等比数列, 1.2　数学联想 而0<<1,则放入的所有球的表面积之和为 4π(+…++…)=4π×. 所以放入的所有球的表面积之和为. 1.2　数学联想 $