1.1 数学观察 课件-2026届高三数学二轮解题方法信息提取专题复习

1.1　数学观察　 信息提取 整体感知 信息提取是学生从复杂材料中辨识、筛选、整合关键信息,并将其与已有知识体系建立关联的关键能力.作为思维过程的首要环节,它不仅是解决数学问题的基础,更是应对多元化学习场景及未来挑战的关键能力. 1.1　数学观察 信息提取能力主要包括阅读理解能力、数学抽象能力、直观想象能力.阅读理解能力涵盖了对数学叙述的透彻理解以及对数学问题的全面分析.主要包括:从数学的角度审视题目信息,利用题目中的条件联想到相关的数学知识,以及将待解决或难以解决的问题转化为更易处理或已有解决方案的问题.数学抽象能力是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.数学抽象能力是数学发展的灵魂,它贯穿于数学的创造、发展和应用的整个过程,是形成理性思维的关键. 1.1　数学观察 数学抽象能力展现了数学的核心特质,使数学成为一个高度概括、表述精确、结论普遍适用、层次分明的系统.直观想象能力涉及运用几何直观和空间想象来感知对象的形状及其演变,以及利用空间结构(特别是图形)来解答数学难题的技能.主要包括:借助空间视角理解事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路. 1.1　数学观察 高考通过文字、图形、表格等多种方式呈现试题,加大了试题信息的广度和容量,皆在考查学生从不同的材料中筛选、分类、概括、连接和转述关键信息的能力.高考命题越来越注重对学生信息获取与处理能力的评估,学生只有具备出色的信息提取能力,才能自信地面对未来的高考挑战. 1.1　数学观察 第一节　阅读理解能力 能力阐释 阅读理解能力是在阅读的实践中逐渐形成和发展的,它通过阅读的成果和速度得以展现,是一种能够独立地获取数学知识、信息和解决问题的能力.它包括对由符号、字母、数字或文字所表达的数学关系式、命题、问题以及图表、图象、几何图形的结构特征的观察;对相关定义、公理、定理、公式、性质、法则等数学事实的联想;以及将实际问题转化为数学语言,简化复杂问题,寻找解题策略. 1.1　数学观察 1.1　数学观察 在高中数学教学领域,学生学习的核心已从知识应用、数学运算、题型解析转变为阅读理解、信息处理、语言表达和批判性思维这四项关键技能.这表明,提升学生的阅读能力已成为数学教学的关键.教师在教学过程中应当恰当引导学生运用观察、联想、转化等策略,以增强他们的语言转换技能、数学概括技能和数学阅读推理技能,进而帮助学生提升综合素养. 1.1　数学观察 能力表现 数学是一门科学,更是一种语言,数学教学同样也是数学语言的教学.数学阅读是阅读主体对数学材料信息加工的过程,是一种包含认知、理解、吸收和应用的复杂的过程.进行数学阅读理解的思维路径如下: 1.1　数学观察 下面通过一个示例阐述数学阅读理解的表现: 示例:(2024新高考Ⅱ卷,18)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立. 1.1　数学观察 (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率; (2)假设0<p<q, (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛? (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 1.1　数学观察 第一步:通读互译,掌握概貌 先通读,将题目中的文字语言和符号语言进行互译: 文字语言 符号语言 读懂比赛规则 两人参赛,每人参加某一个阶段的比赛 如何才能进入第二阶段比赛 第一阶段:3次都未投中,被淘汰;至少投中一次,进入第二阶段 比赛成绩的得分总和 即第二阶段的得分总和 1.1　数学观察 第二步:精读抽象,模式识别 ①确定题目中需要解决的问题. 在参加第一阶段人员确定的前提下,该队的得分情况分析. 根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案. ②利用信息和条件对题目进行整体分析,识别模型. 通过对题意的充分阅读和理解,明确比赛成绩的得分依据,再进行对比计算. (ⅰ)首先各自计算出P甲=[1-(1-p)3]q3,P乙=[1-(1-q)3]p3,再作差因式分解即可判断. (ⅱ)首先得到X和Y的所有可能取值,再按步骤列出分布列,计算出各自期望,再次作差比较大小即可. 1.1　数学观察 第三步:联想迁移,推理转化 充分发挥想象力、判断力和创新力,抓住问题的主要矛盾,精选问题中的关键变量,进行“化繁为简”,借助图形、数表以及已有数学知识建立起条件和结论之间的关系,推理迁移. 本题第二问的关键是计算出甲、乙分别参加第一阶段比赛的相关概率和期望,采用作差法并因式分解从而比较出大小关系,最后得到结论. 1.1　数学观察 第四步:再读审视,调整完善 (1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分, 则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次, 所以比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63)(1-0.53)=0.686. (2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]q3,若乙先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1-(1-q)3]p3. 因为0<p<q,所以P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]=(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q) =3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0, 所以P甲>P乙,故应该由甲参加第一阶段比赛. 1.1　数学观察 (ⅱ)若甲参加第一阶段比赛,比赛成绩X(单位:分)的所有可能取值为0,5,10,15, P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3, P(X=5)=[1-(1-p)3]q(1-q)2, P(X=10)=[1-(1-p)3]q2(1-q), P(X=15)=[1-(1-p)3]q3, 所以E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2+3p)q. 记乙参加第一阶段比赛,比赛成绩Y(单位:分)的所有可能取值为0,5,10,15, 同理E(Y)=15(q3-3q2+3q)p,则E(X)-E(Y)=15pq(p-q)(p+q-3). 因为0<p<q,则p-q<0,p+q-3<1+1-3<0,则E(X)-E(Y)>0, 故应该由甲参加第一阶段比赛. 1.1　数学观察 数学源于生活,该题以某比赛的参赛成绩为载体,通过数学抽象、建模的过程考查离散型随机变量分布列的相关知识,对数学阅读理解能力、数学抽象能力、数学建模能力和数学运算能力要求较高. 从近几年高考题来看,高考数学对阅读理解能力的考查已从隐性要求发展为显性测评维度.预计未来考试可能会进一步增加动态数据、多模态信息的考查.因此,学生在日常练习中要注重“慢读题,快建模”意识,迅速抓住问题的关键,运用所学知识进行推理和转化,从而高效求解,锻炼从复杂情境中抽象数学本质的核心能力.此外,还应关注数学与实际生活、科技发展的紧密联系,以增强跨学科的综合应用能力. 1.1　数学观察 能力评价 水平 质量描述 水平一 能够理解数学概念、符号和规则的深层含义,明确数学命题的条件与结论,并能在熟悉的情境中将其转化为数学问题.在交流过程中,能够明确所讨论问题的内涵,并有条理地表达自己的观点 水平二 能够将所学知识与相关数学命题联系起来,通过对条件和结果的深入分析,探索并构建论证的逻辑路径,选择恰当的方法进行证明,并能用精确的数学语言清晰表述整个论证过程 水平三 能够在复杂的情境下,运用数学的视角识别恰当的研究对象,并将其转化为具有意义的数学问题 1.1　数学观察 高考链接 高中数学阅读教学是现代教育不可或缺的一环.基于核心素养的培养,通过数学阅读教学的实践,能够提高学生的综合素质和学科素养,同时培养他们的思维能力,并激发对数学学科的学习兴趣.重视思维方法和实践能力的培养,能够调动学生的积极性,使数学阅读教学达到预期的实践效果.在高考中,常在函数、向量、数列、统计与概率等知识模块中进行阅读理解的考查.近3年的高考中,阅读理解试题的分布情况如下: 1.1　数学观察 关键能力 2025年 2024年 2023年 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 全国 甲卷 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 全国 甲卷 全国 乙卷 阅读 理解 数学观察 6,7 8,11,13   4,6,8 理7 7 4,19 1,13 理10 数学联想 19 19 8,11   理3, 理11 11,21 12 20 理3,文3 数学转化 8,11 18 19       11,16 4,10,14 理5,文8, 文11,理15 1.1　数学观察 1.1　数学观察 数学观察是人们全面深入认识各类事物的重要途径,也是学生在日常学习过程中必须培养的一种能力.在新高考从能力立意向价值引领、素养导向转变的背景下,通过观察题目中符号、字母、数字或文字所表示的数学关系式、命题、问题及图表、图象、几何图形的结构特点,找到解题方向、提出猜想并验证猜想,已成为解决部分高考题目的关键方法. 1.1　数学观察 例1　(2025天津卷,3)函数y=f(x)的图象如图所示,则其解析式可能为(　　) A.f(x)=　 B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 1.1　数学观察 [思维路径] 1.1　数学观察 [解题过程] 由题图可知函数为偶函数,而函数f(x)=和函数f(x)=为奇函数, 故排除选项A,B; 又当x∈(0,1)时,1-x2>0,x2-1<0,此时f(x)=>0,f(x)=<0, 由题图可知当x∈(0,1)时,f(x)<0,故C不符合,D符合.故选D. [答案] D 1.1　数学观察 学友聊斋 1.1　数学观察 例2　(2024北京卷,9)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则下列正确的是(　　) A.log2 B.log2 C.log2<x1+x2 D.log2>x1+x2 1.1　数学观察 [思维路径] 1.1　数学观察 [解题过程] 由题意,不妨设x1<x2, 因为函数y=2x是增函数, 所以0<,即0<y1<y2, 对于选项A,B,可得,即>0, 根据函数y=log2x是增函数, 所以log2>log2,故B正确,A错误; 1.1　数学观察 对于选项D,例如x1=0,x2=1, 则y1=1,y2=2,可得log2=log2∈(0,1),即log2<1=x1+x2,故D错误; 对于选项C,例如x1=-1,x2=-2,则y1=,y2=, 可得log2=log2=log23-3∈(-2,-1),即log2>-3=x1+x2,故C错误. 故选B. [答案] B 1.1　数学观察 学友聊斋 1.1　数学观察 例3　(2023新高考Ⅱ卷,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图: 1.1　数学观察 利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c); (2)设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值. 1.1　数学观察 [思维路径] 1.1　数学观察 [解题过程] (1)当p(c)=0.5%时,由患病者频率分布直方图可得第一个小矩形面积为0.002×5=0.01, ∴c==97.5. 由未患病者频率分布直方图可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035. 1.1　数学观察 (2)当c∈[95,100)时,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01, ∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02; 当c∈[100,105]时,p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002, ∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02. ∴f(c)= 故当c=100时,f(c)取最小值,最小值为f(100)=0.02. 1.1　数学观察 学友聊斋 1.1　数学观察 能 力 训 练 A组　基础性题组 题号 选题理由 1 通过分析折线统计图,可以计算出平均数、中位数和众数;仔细观察折线图的变化,并结合方差的意义来进行判断 2 阅读题意,把握考点,然后数形结合,观察图象,即可得出结论 3 观察函数解析式特点,结合函数的奇偶性和单调性,利用排除法求解 4 通过观察条件式的结构特点,准确选择两角和公式进行计算 5 审清端点取值以及所求问题,根据补集的含义即可得到答案 (注:☆表示题目难度) 1.1　数学观察 1.☆(2025辽宁辽阳一模,多选题)为了丰富校园文化生活,展现学生的才艺风采,激发学生的艺术创造力和表现力,某校举行了“绽放青春,艺路有你”才艺大赛.甲、乙两名同学才艺表演结束后,6位评委对甲、乙进行打分(满分10分),得到如图所示的折线统计图, 则(　BCD　) A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B.甲得分的众数大于乙得分的众数 C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D.甲得分的方差大于乙得分的方差 1.1　数学观察 [解题过程] 甲、乙的得分从小到大排列如下, 甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3, 乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1, 甲得分的中位数为8.9,乙得分的中位数为8.6,甲得分的中位数大于乙得分的中位数,故C正确; 甲得分的众数为8.9,乙得分的众数为8.6,甲得分的众数大于乙得分的众数,故B正确; 1.1　数学观察 甲得分的平均数为 =8.6, 乙得分的平均数为 =8.6, 所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数,故A错误; 由题图可以看出甲得分的波动比乙得分的波动大,故甲得分的方差大于乙得分的方差,故D正确. 故选BCD. 1.1　数学观察 2.☆☆(2025新高考Ⅰ卷,7)若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则r的取值范围是(　B　) A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) 1.1　数学观察 [解题过程]由题意,在圆x2+(y+2)2=r2(r>0)中,圆心E(0,-2),半径为r, 圆心E(0,-2)到直线y=x+2的距离为d==2, 故由图可知,当0<r<1时,圆上没有到直线的距离等于1的点; 当r=1时,圆上有且仅有一个点(点A)到直线的距离等于1; 当r=3时,圆上有且仅有三个点(点B,C,D)到直线的距离等于1; 当1<r<3时,圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1; 当r>3时,圆上有且仅有四个点到直线的距离等于1. 故选B. 1.1　数学观察 3.☆☆(2025安徽合肥一模)函数f(x)=的图象大致为(　A　) 1.1　数学观察 [解题过程]由ex-e-x≠0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 因为f(-x)==-f(x), 所以函数f(x)为奇函数,排除C选项; 设g(x)=ex-e-x,显然该函数单调递增,故当x>0时,g(x)>g(0)=0, 则当x∈时,y=cos πx>0,故f(x)>0, 当x∈时,y=cos πx<0,故f(x)<0, 当x∈时,y=cos πx>0,故f(x)>0,故排除D项; 当x∈时,y=cos πx<0,故f(x)<0,故排除B项.故选A. 1.1　数学观察 4.☆☆(2025江苏南京一模,多选题)已知cos αcos β=,cos(α+β)=,则 (　BC　) A.sin αsin β= B.cos(α-β)= C.tan αtan β=- D.sin 2αsin 2β= 1.1　数学观察 [解题过程]由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,且cos αcos β=, 得sin αsin β=-,故A错误; 由cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,故B正确; 由tan αtan β==-,故C正确; 由sin 2αsin 2β=2sin αcos α·2sin βcos β =4sin αsin βcos αcos β=4×=-,故D错误. 故选BC. 1.1　数学观察 5.☆(2025上海卷,1)已知全集U={x|2≤x≤5,x∈R},集合A={x|2≤x<4,x∈R},则∁UA=　{x|4≤x≤5,x∈R}　.  [解题过程] 根据补集的含义知∁UA={x|4≤x≤5,x∈R}. 1.1　数学观察 B组　综合性题组 题号 选题理由 1 通过阅读理解,掌握解题的关键点,精确观察图象,运用弧长公式计算地球的半径 2 通过观察已知和问题的联系,根据全概率公式和对立事件的概率公式求值即可 3 观察等式特点,对其恰当变形,通过构造新数列,求通项公式 4 借助图形,观察几何关系,利用平行四边形性质、三角函数定义和余弦定理、中线向量表达式等进行判断求解 5 考查正切两角和与差公式,通过观察发现两个已知式的关联点,即可求解 1.1　数学观察 1.☆(2025广东大湾区一模)如图所示,把太阳光视为平行光线,O为地球球心,A,B为北半球上同一经度的两点,且A,B之间的经线长度为L,于同一时刻在A,B两点分别竖立一根长杆AA1和BB1,通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角α和β(α和β的单位为弧度), 由此可计算地球的半径为(　A　) A. B. C. D. 1.1　数学观察 [解题过程] 如图所示,过点B作太阳光的平行线,与OA的延长线交于点C, 则∠B1BC=β,∠BCO=α, 所以∠AOB=β-α. 设地球半径为R,则根据弧长公式得R(β-α)=L,所以R=.故选A. 1.1　数学观察 2.☆(2025黑龙江齐齐哈尔二模)已知P(A)=0.4,P(A|)=0.3,P(A|B)=0.8,则P(B)=(　A　) A.0.2 B.0.375 C.0.75 D.0.8 [解题过程] 因为P(A)=P(A|)P()+P(A|B)P(B), 所以0.4=0.3×[1-P(B)]+0.8×P(B), 解得P(B)=0.2.故选A. 1.1　数学观察 3.☆☆(2025东北三省联考)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+4+4,则an=(　C　) A.2n+1 B.2n C.4n2-1 D. 1.1　数学观察 [解题过程] 因为a1=3,an+1=an+4+4,可得出a2>4,a3>4,…, 以此类推可知,对任意的n∈N*,an>4, 且an+1+1=(an+1)+4+4=(+2)2, 所以+2或=--2(舍), 所以=2,且=2, 所以数列{}是以2为首项,以2为公差的等差数列, 故=2+2(n-1)=2n,故an=4n2-1.故选C. 1.1　数学观察 4.☆☆☆(2025新高考Ⅱ卷,11,多选题)双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则(　ACD　) A.∠A1MA2= B.|MA1|=2|MA2| C.C的离心率为 D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8 1.1　数学观察 [解题过程] 因为A1A2与MN互相平分,所以四边形A1MA2N是平行四边形, 所以∠A1MA2=π-∠NA1M=π-π=,A正确; 以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨取渐近线y=x, 由设M(a,b),N(-a,-b), 又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2. 在Rt△MA2A1中,∠A1MA2=,所以|MA1|∶|MA2|=2∶,所以B错误; 1.1　数学观察 所以|A1M|=, 由|A1M|=2|A1A2|,得=4a,即c2=13a2,即e2=13, 所以e=,所以C正确; 因为当a=时,c2=26,从而b2=24,即b=2, 所以=2=2·2a·b·=2ab=2××2=8,所以D正确. 故选ACD. 1.1　数学观察 5.☆☆☆(2025河南郑州二模)若tan(α-β)=3,=18,则tan 2α= (　D　) A.- B.-2 C.- D.- [解题过程] 因为tan(α-β)=3, 所以tan(α+β)tan(α-β)=3tan(α+β),=tan(α+β)tan(α-β)=18,所以18=3tan(α+β),即tan(α+β)=6, 故tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]==-.故选D. 1.1　数学观察 C组　应用性题组 题号 选题理由 1 务必明确集合A中元素所应满足的范围 2 分析并观察条件与问题之间的联系,确立二者之间的突破点,进而解决最值问题 3 仔细阅读题目,准确识别切入点,掌握关键要素,运用双曲线的定义以及a,b,c之间的关系进行求解 4 观察函数解析式,分析求导后式子的结构,代值运算即可求解 5 在处理概率统计问题时,必须进行彻底的阅读、深入的理解,并准确地把握题目的意图,仔细观察其中的关系 1.1　数学观察 1.☆(2025福建厦门一模)设集合A={x∈N| ∈N},B={0,1,2,3,4,5},则A∩B=(　A　) A.{0,5} B.{2,5} C.{0,1,5} D.{1,3,5} [解题过程] 集合A={x∈N|∈N}={0,5,8,9},B={0,1,2,3,4,5}, 所以A∩B={0,5}.故选A. 1.1　数学观察 2.☆☆(2024新高考Ⅱ卷,8)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为(　C　) A. B. C. D.1 1.1　数学观察 [解题过程] [方法1]由题意可知,f(x)的定义域为(-b,+∞). 令x+a=0,解得x=-a; 令ln(x+b)=0,解得x=1-b. 若-a≤-b,当x∈(-b,1-b)时,可知x+a>0,ln(x+b)<0,此时f(x)<0,不合题意; 若-b<-a<1-b,当x∈(-a,1-b)时,可知x+a>0,ln(x+b)<0,此时f(x)<0,不合题意; 若-a=1-b,当x∈(-b,1-b)时,可知x+a<0,ln(x+b)<0,此时f(x)>0; 当x∈[1-b,+∞)时,可知x+a≥0,ln(x+b)≥0,此时f(x)≥0,可知若-a=1-b,符合题意; 若-a>1-b,当x∈(1-b,-a)时,可知x+a<0,ln(x+b)>0,此时f(x)<0,不合题意. 1.1　数学观察 综上所述,-a=1-b,即b=a+1, 则a2+b2=a2+(a+1)2=2,当且仅当a=-,b=时,等号成立, 所以a2+b2的最小值为.故选C. 1.1　数学观察 [方法2]由题意可知,f(x)的定义域为(-b,+∞), 令x+a=0,解得x=-a; 令ln(x+b)=0,解得x=1-b. 则当x∈(-b,1-b)时,ln(x+b)<0,故x+a≤0,所以1-b+a≤0; 当x∈(1-b,+∞)时,ln(x+b)>0,故x+a≥0,所以1-b+a≥0. 故1-b+a=0, 则a2+b2=a2+(a+1)2=2,当且仅当a=-,b=时,等号成立, 所以a2+b2的最小值为.故选C. 1.1　数学观察 3.☆☆(2025河北唐山一模,多选题)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线y=x-2与C的一条渐近线平行,且与C交于点P,则(　ACD　) A.C的离心率为 B.C的实轴长为4 C.△PF1F2的面积为1 D.|PF1|+|PF2|=3 1.1　数学观察 [解题过程] 双曲线C:=1(a>0,b>0),其渐近线方程为y=±x. 已知过F2的直线y=x-2与C的一条渐近线平行, 则=1,即a=b. 又F2(c,0)在直线y=x-2上, 所以0=c-2,解得c=2. 由c2=a2+b2,a=b,c=2,可得2a2=4,解得a=b=. 离心率e=,实轴长2a=2,故选项A正确,选项B错误; 1.1　数学观察 联立直线y=x-2与双曲线方程=1, 将y=x-2代入双曲线方程可得=1,即4x-4=2,解得x=, 则y=-,即P. 已知F1(-2,0),F2(2,0),则|F1F2|=2c=4,点P到x轴的距离即△PF1F2中F1F2边上的高h=. 根据三角形面积公式,可得|F1F2|·h=×4×=1,故选项C正确; 1.1　数学观察 根据两点间距离公式,可得, |PF2|==, |PF1|==. 所以|PF1|+|PF2|==3,故选项D正确.故选ACD. 1.1　数学观察 4.☆☆(2025新高考Ⅱ卷,13)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　-4　.  [解题过程] 由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a), 所以f'(x)=(x-2)(x-a)+(x-1)[(x-a)+(x-2)]=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(x-2), 因为2是函数f(x)的极值点,所以f'(2)=2-a=0,得a=2, 当a=2时,f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4), 当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点,符合题意, 所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4. 1.1　数学观察 5.☆☆☆(2025湖北武汉二模)有A,B,C,D,E,F,G,H八名运动员参加乒乓球赛事,该赛事采用预赛、半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军,八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号,已知B~H这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为,A运动员与其他运动员对决时,A获胜的概率为,每场对决没有平局,且结果相互独立. 1.1　数学观察 (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率; (2)求B与A对决过且最后获得冠军的概率; (3)求B与C对决过且最后获得冠军的概率. [解题过程] (1)A夺冠即为三轮比赛都获胜,所以A夺冠的概率为. 由题意,B~H七名运动员水平相同,且八名运动员各自夺冠概率之和为1, 所以B~H七名运动员各自夺冠的概率均为. 1.1　数学观察 (2)记事件B=“B获得冠军”,事件A=“B与A对决过”,事件Ai=“B与A在第i轮对决”,i=1,2,3. 不妨设A在①号位,则B在第1,2,3轮能与A对决时其位置编号分别为②,③④,⑤⑥⑦⑧. P(AB)=P((A1+A2+A3)B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B), P(A1B)=, P(A2B)=, P(A3B)=, 所以P(AB)=. 1.1　数学观察 (3)记事件C=“B与C对决过”. B没有与A对决过且最后获得冠军的概率 P(B)=P(B)-P(AB)=. P(BC)=P((A+)BC)=P(ABC)+P(BC)=P(AB)P(C|AB)+P(B)P(C|B). 由题意,C~H六名运动员与B对决过的概率相同,B夺冠时共与三名运动员对决. 所以P(C|AB)=,P(C|B)=,代入得P(BC)=. 1.1　数学观察 D组　创新性题组 题号 选题理由 1 仔细阅读题意,准确观察条件,寻找解决问题的切入点 2 分析数列通项的结构,结合选项,运用代入、反证、归纳等方法来解决问题 3 精确观察a,b取值条件,求解最值 4 根据百分位数结合给定数据,得出该生的成绩,再利用方差公式计算 5 通过审阅图象,领会题目意图,寻找解决问题的关键要素,并运用正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,即可得出答案 1.1　数学观察 1.☆☆(2025陕西咸阳二模)用2 025,66,2,0,2,5组成不同的10位数的个数为 (　B　) A.294 B.297 C.298 D.300 [解题过程] 2 025,66,2,0,2,5这6个数的全排列种数为,又0排在首位有种排法,又有2个2,它们之间的排序有种排法,当2,0,2,5这4个以2 025这种顺序与66和2 025排序有=3种排法,所以用2 025,66,2,0,2,5组成不同的10位数的个数为=297.故选B. 1.1　数学观察 2.☆☆☆(2025山东济南一模,多选题)已知递增数列{an}的各项均为正整数,且满足=3n,则(　ABD　) A.=3 B.an>n C.a5=6 D.a2 025=81a25 [解题过程] 对于A,在原式中令n=1,则=3,故A正确; 对于B,若an≤n,因为{an}单调递增,则≤an,则an≥3n,即3n≤an≤n矛盾,舍去,故an>n,故B正确; 对于C,由an>n得>an,则n<an<3n,则1<a1<3.因为a1∈N*,所以a1=2,原式中令n=1,则a2=3,令n=2,则a3=6.因为{an}为递增数列,所以a5>6,故C错误; 1.1　数学观察 对于D,由a1=2,a2=3,a3=6,令n=3,则a6=9, 因为{an}为递增数列,所以a4=7,a5=8. 令n=6,则a9=18,令n=9,则a18=27, 则9≤n≤18时,an=n+9,a7=12,a8=15且a27=54,a54=81, 则27≤n≤54时,an=n+27,…,3k≤n≤2·3k时,an=n+3k, 当k=6时,36≤n≤2×36,an=n+729, 所以a1 296=2 025. 在原式中令n=1 296,则a2 025=1 296×3. 同理由a16=25,则a25=3×16,所以a2 025=81a25,故D正确.故选ABD. 1.1　数学观察 3.☆(2025吉林长春二模)正整数a,b满足3<a<b<9,则的最大值为 　.  [解题过程] ,要使其最大,则a,b都最小即可,因为3<a<b<9,且a,b为正整数,故取a=4,b=5,此时. 1.1　数学观察 4.☆☆(2025上海浦东二模)老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩,且剩余学生的成绩数据如下:5,6,6,7,7,7,8,9,9,但老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数,则这10名学生的成绩的方差为 　.  [解题过程] 10×25%=2.5,则该学生的成绩为从小到大排列的第3个,故该生的成绩为6,则这10名学生的成绩的平均数为=7,方差为s2==. 1.1　数学观察 5.☆☆☆(2025江西南昌一模)三角形是常见的几何图形,除了我们已经学习的性质外,三角形还有很多性质,如: 性质1:△ABC的面积S=AB·ACsin A=tan A; 性质2:对于△ABC内任意一点P, 有; 性质3:△ABC内存在唯一一点P,使得∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,这个点P称为△ABC的“勃罗卡点”,角α称为△ABC的“勃罗卡角”. 若△ABC的三边长分别为1,1,,根据以上性质,可以计算出△ABC的“勃罗卡角”的正切值为 　.  1.1　数学观察 [解题过程] 因为△ABC的三边长分别为1,1,,不妨设AB=1,AC=1,BC=,如图所示. 由余弦定理得cos A==-, 得A=120°,故B=30°,C=30°. 在△ABP中,∠APB=180°-α-(30°-α)=150°, 由正弦定理得,即=2,得BP=2sin α. 1.1　数学观察 在△PBC中,∠BPC=180°-α-(30°-α)=150°, 由正弦定理得, 即=2, 得2sin α=2sin(30°-α), 所以sin α=, 得sin α=cos α,所以tan α=. 1.1　数学观察 $