精品解析：山东省日照市田家炳实验中学2025-2026学年下学期阶段测试（一）九年级数学试题

2025-2026学年下学期阶段测试（一） 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 年月日是第个全国中小学生安全教育日，学校高度重视校园安全教育，从认识安全警告标志入手开展了各种形式的安全教育提高学生安全防范意识和自我防护能力，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 注意安全 B. 急救中心 C. 水深危险 D. 禁止攀爬 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义，对选项依次判断即可． 【详解】解：选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项：是轴对称图形同时也是中心对称图形； 选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项：不是轴对称图形也不是中心对称图形； 2. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可． 【详解】解：A、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意； B、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：A． 3. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 4. 在人工智能技术飞速发展的当下，各类智能应用如雨后春笋般涌现．作为一款备受瞩目的工具，自年月日上线以来，便凭借其强大的功能和出色的表现，迅速在用户群体中收获极高人气．截至月日，其累计下载量已经突破亿次．若用科学记数法来表示亿，以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】亿． 故选：C． 5. 数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（　　） （1）（×） （2）（×） （3）（×） （4）（√） （5）（×） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：（1），故（1）判断正确； （2）与不属于同类项，不能合并，故（2）判断正确； （3），故（3）判断正确； （4），故（4）判断错误； （5），故（5）判断正确； 则判断正确的有4个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 6. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？则以下做法正确的是（ ） ①设合伙人有x人，依题意得： ②设物品的价格为y钱，依题意得： ③设合伙人有x人，物品的价格为y钱，依题意得： A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，对于①根据两段话分别表示出物价，进而可得方程；对于②根据两段对话分别表示出人数，进而可得方程；对于③根据两段话分别建立物价与人数之间的二元一次方程，进而建立方程组即可． 【详解】解：设合伙人有x人，根据每人出8钱，则会多出3钱可知物价为钱，根据每人出7钱，则还少4钱可知物价为钱， ∴，故①正确； 设物品的价格为y钱，根据每人出8钱，则会多出3钱可知有人，根据每人出7钱，则还少4钱可知有人 ∴，故②正确； 设合伙人x有人，物品的价格为y钱，根据每人出8钱，则会多出3钱可得方程，根据每人出7钱，则还少4钱可得方程， ∴，故③正确； 故选：D． 7. 定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的含参数问题，新定义问题，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得， ∵解为非负数， ∴ ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴且． 故选：B． 8. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交、于、两点；分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于，连接、，分别交、于、两点，下列结论不正确的是（ ） A. 平分 B. 四边形是菱形 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，由作图可得，，平分，即可判断A；由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，即可判断B；由菱形的性质得出，，即可判断C；证明，得出，，再证明，得出，即可判断D；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，，平分，故A正确，不符合题意； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形，故B正确，不符合题意； ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 9. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 10. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数，因为，所以是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是________；一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的的值是________．这两个数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】先根据“十全数”定义求出最小四位数，再用字母表示数然后化简代数式，将整除条件转化为数字方程，通过枚举所有可能情况并验证，得出唯一满足条件的数． 【详解】解：若“十全数”最小，则， ， ，， 最小的“十全数”是； ， ，， ， ， ，， ， ， 与均是整数， ，均是整数， 能被整除，能被整除， ，， ， ， 的值可以为，，，，， 将以上值分别代入可得，仅当， 时，，均是整数，符合题意， ，， ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解因式． 【详解】解：原式 ． 12. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 13. 如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点，另一端为点，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点，且三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，垂径定理的推论，先根据题意得出点是的中点，再根据垂径定理的推论得出，结合已知条件得出的度数，于是得出，根据弧长公式计算出弧，弧，即可求出阴影部分的周长，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，， ， 三点在同一直线上， 经过点， 由题意得为半圆的直径，，， ， 在中，， ， ，， ， ， ，， 阴影部分的周长， 故答案为：． 14. 如图八个边长为的正方形摆放在平面直角坐标系中，若直线绕点旋转，至某一时刻直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，由直线将八个正方形分成面积相等的两部分，可知原图形被分为面积为的两部分，则的面积为，，根据三角形面积公式列方程求出，进而得到点的坐标，代入直线的解析式可求出． 【详解】解：如图，过点作轴， 正方形边长为， ， 直线将八个正方形分成面积相等的两部分， ， ，即， 解得， 点的坐标为，代入， 解得． 15. 如图，在矩形中，，点E在线段上运动（不含B．C两点），连接，以为一边在的右上方作等边三角形，连接，则线段长度的最小值为 __________________ ． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】在的右侧作等边三角形，连接，与交于点H，利用等边三角形性质证明出，得出当点E运动时，点F在过点G且与垂直的垂线上运动，再证明，得出，利用解直角三角形求出，再进一步求解即可． 【详解】解：如图所示，在的右侧作等边三角形，连接，与交于点H， 又是等边三角形， ， ， ， ， 当点E运动时，点F在过点G且与垂直的垂线上运动， 当时，最短，此时， ， ， ， 又中，， ， ， ，即， 线段长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，掌握相关性质定理为解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对负指数、立方根、绝对值、三角函数、乘方逐项化简，再合并同类项； （2）先通分化简括号内分式，将除法转化为乘法约分，再通分计算减法，最后代入求值． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： ， 当， ． 17. 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°； （2）该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆； （3）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”） 【答案】（1）补全条形统计图见解析，54 （2）640人 （3）甲 【解析】 【分析】（1）用B的人数除以求得本次调查的学生总数，进而得出D组的人数，画出统计图，用乘“A”所占比例可以求得“A”部分所占圆心角的度数； （2）用1600乘样本中D所占比例即可； （3）求出甲班的平均数，众数，中位数，再对比，即可解答． 【小问1详解】 解：总人数：（人）， D组人数：；如图： A所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：54； 【小问2详解】 解：去海洋馆：（人） 答：该校约有640名学生想去海洋馆； 【小问3详解】 解：∵甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95， ∴甲班10名学生的成绩的平均数：， 甲班10名学生的成绩的众数：90； 甲班10名学生的成绩的中位数：， ∵乙班10名学生的成绩的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88． ∴甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班， ∴甲班的竞赛成绩更好． 故答案为：甲． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题． 18. 2025年春晚名为《秋BOT》的舞蹈，机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．． （1）求肘关节点B与手绢旋转点O之间的水平宽度（的长度）； （2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点C在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留整数）（参考数据：） 【答案】（1） （2）在规定范围内，理由见解析 【解析】 【分析】（1）作于E，则,由条件可知根据，计算即可； （2）作于E，则,适当解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：如图，作于E，则,由条件可知， ∴ 由题意可得：， ， ∴； 答：的长度约为． 【小问2详解】 解：在规定范围内，理由如下： 如图，作于E，则， 由（1）可得：， ∴， ， ∴ ∴此时手绢端点C与舞者距离为， ∵安全距离范围为， ∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内． 19. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． （1）求的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 【答案】（1）， （2），购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶ （1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元”列方程求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得； 【小问2详解】 解：当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元． 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． （3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式的解集即可； （3）方法一、连接BE，作轴，先求解，可得直线AB的表达式为，由，可得，求解，可得，由，可得即可； 方法二、连接BF，作轴，先求解，结合，可得，可得，由，再设直线CD的表达式为，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：直线与双曲线交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ， ， 在双曲线上， ， ∴反比例函数的表达式为 ； 【小问2详解】 ∵， ∴不等式的解集为：或 ； 【小问3详解】 方法一：连接，作轴于G， 在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线CD的表达式为． 方法二： 连接BF，作轴于， 在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ∴设直线的表达式为， 在直线上， ， ， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键． 21. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且． （1）求证：直线是的切线： （2）若，，求的长， 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径确定直角，再由等腰三角形三线合一的性质，推出，最后利用圆的切线的判定方法进行解答即可； （2）根据直角三角形的边角关系，圆周角定理求出、、，进而求出、，再根据相似三角形的判定和性质求出即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ， 即， ， ， ， ， ， ， 即， 是的直径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 在中，，， ，， ，， ， 在中，，， ，， ， ， ， 即， 解得， 经检验是原方程的解， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 22. 综合与探究 问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点． 猜想证明： （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； 问题解决： （3）在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点，若 ，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）或． 【解析】 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明； （3）分为：点，在的同一侧和点，在的异侧，两种情况分别求解，根据勾股定理求出，结合图形求出的值，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定与性质求出的值，根据矩形的性质与相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵四边形与四边形都是矩形， ∴， ∴， 即， 根据旋转的性质可得：， ∵，， ∴， ∴． （2）如图：连接， 根据旋转的性质可得：， ∵四边形是矩形， ∴，，， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （3）如图，当点，在的同一侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即； 如图：当点，在的异侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定定理，勾股定理，等角的余角相等，相似三角形的判定与性质等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 二次函数（，，为实数）． （1）当，时，探究发现二次函数的顶点恰好在直线上． 直接写出的值为________________； 若二次函数与直线有两个交点，设两个交点分别为，，请证明；若二次函数与直线没有两个交点，请说明理由． （2）若，直线与二次函数相交于和两点，其中． 求的值； 当时，求二次函数的最大值． 【答案】（1）；②有两个交点，证明见解析； （2）的值为； 当且时最大值为； 当时，最大值为； 当时，最大值为． 【解析】 【分析】当，时，二次函数的解析式为，可以求出二次函数的顶点坐标为，因为二次函数的顶点恰好在直线上，可得：，从而求出的值； 将带入，可得：，因为二次函数与直线有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，；，再利用计算求值即可； 根据点在二次函数和上，可得：，解方程求出的值即可； 首先根据的取值范围求出不同情况时抛物线的对称轴，再根据与抛物线的对称轴所在的位置之间的关系，利用二次函数的图象与性质分分情况求解． 【小问1详解】 解：当，时， 二次函数的解析式为， 当时，， 二次函数的顶点坐标为， 又二次函数的顶点恰好在直线上， ， 解得：， 故答案为：； 将带入， 可得：， 又， 可得：， 整理得：， ， 二次函数与恒有两个交点， ；， ， ； 【小问2详解】 解：在二次函数和上， ，， 可得：， 解得：或， ， ， ； 由知， 二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴， 当时，二次函数开口向上， 如下图所示： 对称轴， 在时，随的增大而增大， 在时，取最大值为； 当时，二次函数开口向下， 当对称轴时， 解得：， ， 如下图所示： 此时二次函数在上的图象，随的增大而增大， 在时，取得最大值为； 当时， 解得：， 如下图所示： 此时二次函数在上的图象，当时取得最大值 当对称轴时， 解得：， 如下图所示： 此时二次函数在上的图象，随的增大而减小， 当时，y取最大值为． 综上所述：当且时最大值为；当时，最大值为，当时，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二交函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系、分类讨论的思想，解决本题的关键是利用分类讨论的思想，分情况求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期阶段测试（一） 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 年月日是第个全国中小学生安全教育日，学校高度重视校园安全教育，从认识安全警告标志入手开展了各种形式的安全教育提高学生安全防范意识和自我防护能力，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 注意安全 B. 急救中心 C. 水深危险 D. 禁止攀爬 2. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 在人工智能技术飞速发展的当下，各类智能应用如雨后春笋般涌现．作为一款备受瞩目的工具，自年月日上线以来，便凭借其强大的功能和出色的表现，迅速在用户群体中收获极高人气．截至月日，其累计下载量已经突破亿次．若用科学记数法来表示亿，以下选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（　　） （1）（×） （2）（×） （3）（×） （4）（√） （5）（×） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 6. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？则以下做法正确的是（ ） ①设合伙人有x人，依题意得： ②设物品的价格为y钱，依题意得： ③设合伙人有x人，物品的价格为y钱，依题意得： A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 7. 定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交、于、两点；分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于，连接、，分别交、于、两点，下列结论不正确的是（ ） A. 平分 B. 四边形是菱形 C. D. 9. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 10. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数，因为，所以是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是________；一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的的值是________．这两个数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 12. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 13. 如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点，另一端为点，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点，且三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为______． 14. 如图八个边长为的正方形摆放在平面直角坐标系中，若直线绕点旋转，至某一时刻直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则的值为________． 15. 如图，在矩形中，，点E在线段上运动（不含B．C两点），连接，以为一边在的右上方作等边三角形，连接，则线段长度的最小值为 __________________ ． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°； （2）该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆； （3）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”） 18. 2025年春晚名为《秋BOT》的舞蹈，机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．． （1）求肘关节点B与手绢旋转点O之间的水平宽度（的长度）； （2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点C在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留整数）（参考数据：） 19. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． （1）求的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． （3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 21. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且． （1）求证：直线是的切线： （2）若，，求的长， 22. 综合与探究 问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点． 猜想证明： （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； 问题解决： （3）在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点，若 ，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 23. 二次函数（，，为实数）． （1）当，时，探究发现二次函数的顶点恰好在直线上． 直接写出的值为________________； 若二次函数与直线有两个交点，设两个交点分别为，，请证明；若二次函数与直线没有两个交点，请说明理由． （2）若，直线与二次函数相交于和两点，其中． 求的值； 当时，求二次函数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $