2026届高考数学模拟卷(六）

2026届高考数学终极押题卷（六） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 正整数倒数和，通常也称为调和数列的和.当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，.若表示不超过的最大整数，则的值为（ ）（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（　　） A. B. C. D. 是等比数列 10. 在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分．已知A，B每次点球命中的概率分别为，，，若5轮比赛后A，B的总得分分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若当且仅当时，取得最大值，则 11. 已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点中心对称 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且满足，则，则______． 13. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 14. 如图，菱形的各点都在同一平面上，且边长为4，.设，分别为，的中点，分别以，，为折痕把，，折起，使点，，重合于点，并构成三棱锥.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 16. 如图，在三棱柱中，，为上的点，且. （1）证明：平面； （2）若底面是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面，求二面角的正弦值. 17. 甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出2个球.已知摸到白球的概率是. （1）求m； （2）记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和均值. 18. 设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于，求m的取值范围； （3）当时，证明：有2个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学终极押题卷（六） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分别解不等式求出集合，再进行交集运算即可. 【详解】由可解得，所以， 由可解得，又，所以， 所以. 故选：A． 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的模得到方程求出的值，即可求出，再根据复数代数形式的运算法则判断即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则，所以，. 故选：D 3. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由在区间上单调递减，则需要在区间上单调递增， 故对称轴，则，解得， 故选：C 4. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】确定解析式，由确定满足的条件，得到的最小值. 【详解】， 又的图象关于点对称 ，即， ，即， ， 的最小值为4． 故选：B. 5. 正整数倒数和，通常也称为调和数列的和.当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，.若表示不超过的最大整数，则的值为（ ）（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据调和数列的和的公式，利用对数的运算性质，代值估算即得. 【详解】因， 则得， 又因， 故， 于是， 故. 故选：D. 6. 设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过作，交直线AB于点，根据数量积公式，可得，根据圆的几何性质，可得的最大值，分析即可得答案. 【详解】由题画出图形，则向量的夹角为锐角时适合题意，过作，交直线AB于点， 则， 故当取得最大值时，的值最大. 设圆心为，因为圆的半径为1，故是边长为1的等边三角形， 且当与圆相切时，值最大， 过O作，交AB于D，连接OC，则四边形ODHC为矩形， 所以，则，即的最大值为 故的最大值为. 故选：B 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义、余弦定理、勾股定理列方程，利用整体法求得. 【详解】设，，则根据椭圆定义可知，， 且， 又，因为， 故由余弦定理有， 整理得①. 又因为，故由勾股定理有， 整理得②， 由①②解得，所以. 故选：A 8. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过对已知等式进行变形，构造，利用函数单调性来比较变量之间的大小关系，结合特殊值法，逐个判断. 详解】已知，将等式进行移项可得. 根据对数运算法则，进一步变形为. 因为，则， 所以， 令，对求导可得，所以在上单调递增. 因，，， 所以， 根据的单调性可知，即， 再根据对数函数的性质，所以，C错，D对； 若，此时，且， 而， 所以，则，此时，排除A， 若，此时，且， 若时，，必有，排除B； 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（　　） A. B. C. D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出公比，根据函数单调性得到，利用条件求出，进而得到首项，结合等比数列的定义，通项公式，求和公式对选项一一判断，得到答案. 【详解】设的公比为，则由递增，得， 因为，所以， 解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 又， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：ACD. 10. 在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分．已知A，B每次点球命中的概率分别为，，，若5轮比赛后A，B的总得分分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若当且仅当时，取得最大值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用随机变量二项分布的期望、方差以及概率计算公式，逐项计算判断即可. 【详解】由题意，随机变量，， 对于A，故，，若，则，故A正确； 对于B，若，则， 化简整理得，即， 所以时，，故B错误； 对于C，由题意，，， 所以， 由得，， 故，即，故C正确； 对于D，由题意，， 则，解得，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点中心对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用抽象函数的赋值法即可判断选项ABC,利用函数的值域和对称性即可判断选项D. 【详解】对于A，令则，故或， 令，则， 若，则，与的值域为矛盾，故，故A错误； 对于B，令则，故或， 令，则， 若，则，与的值域为矛盾，故， 令则，故，或， 因为的值域为，故，故，故B正确； 对于C，令则，故， 故C正确； 对于D，的值域为，故的图象不可能关于点中心对称，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且满足，则，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以， 所以，得， 所以． 故答案为： 13. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求出总情况数，利用分类加法计数原理结合组合数的性质求出符合条件的事件数，再利用古典概型概率公式求解概率即可. 【详解】设一次抽奖所生成的奖券码为S，共有种情况， 生成的5个数字中有个0，个1， 则， 由题可知．若获得二等奖，则S为3的正整数倍， 故可取的值为．当时，的取值为， 共有种情况；当时，的可能取值为，，， 共有种情况；当时，的取值为，， 共有种情况，由分类加法计数原理得符合条件的有种情况， 且设获得二等奖的概率为，由古典概型概率公式得. 故答案为： 14. 如图，菱形的各点都在同一平面上，且边长为4，.设，分别为，的中点，分别以，，为折痕把，，折起，使点，，重合于点，并构成三棱锥.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，在中利用余弦定理求出，分析球心所在的确切位置，并作出截面图2，利用余弦定理，勾股定理，三角形相似，三角函数和球的性质求出球的半径，即可得解. 【详解】连接交于点， 把，，折起后构成的三棱锥如图1所示， 故. 在中，由余弦定理可得 ， 故. 其中是边长为2的正三角形，所以，. 设为的外心，则在上，且. 设为的外心，则在上， 故过且垂直于平面的直线与过且垂直于平面的直线的交点即为球心， 即过且垂直于的直线与过且垂直于的直线的交点即为球心， 设球心为，另设交于点，如图2所示. 在中，如图3所示，，，. 因为，即，解得，. 在中，由余弦定理得， 故，. 在中，， 又由，可得， 故， 所以球的半径， 故球的体积为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式，结合题中条件即可求解. 【小问1详解】 由可得， 故， 由于,故， 【小问2详解】 由，故， 又得，故， 故， 16. 如图，在三棱柱中，，为上的点，且. （1）证明：平面； （2）若底面是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线证明，再通过线面平行的判定定理即可证明； （2）先证平面，再建立空间直角坐标系求出平面的法向量和平面的法向量，最后求解二面角的正弦值即可. 【小问1详解】 如图，连接交于点，连接， 因为是平行四边形，故为的中点， 又，故为的中位线，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 设的中点为，因为底面是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面，连接，，则， 又，且平面平面，平面，故平面. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系. 设，则由几何关系可知，，，， 故，，. 设平面的法向量为，平面的法向量为，则有及 不妨取，，则，. 故. 故二面角的正弦值为. 17. 甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出2个球.已知摸到白球的概率是. （1）求m； （2）记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和均值. 【答案】（1） （2）分布列见详解，均值为 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算即可； （2）依题意可知的所有可能取值为：，分别计算其概率即可得到分布列，进而求数学期望. 【小问1详解】 记＂摸到白球＂，＂掷一枚质地均匀的骰子点数为1或2＂， 则＂摸出的2个球都是红球＂，＂掷一枚质地均匀的骰子点数为， 则， 根据全概率公式：，即， 整理得：，解得 【小问2详解】 的所有可能取值为：，由题可知， ， 故的分布列为： 0 1 2 从而，故的均值为． 18. 设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由，，又，，， ，， 即，． 【小问2详解】 当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． 【小问3详解】 由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于，求m的取值范围； （3）当时，证明：有2个零点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，极小值，构造函数，求导推得，即可求得不等式的解集； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：． 【小问2详解】 函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不合题意； ② 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以的极小值为：， 因为的极小值小于，所以，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以由可得. 【小问3详解】 ． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 当趋近于0时，趋近于0或时，趋近于， 又因，所以， 所以有2个零点，故有2个零点． 【点睛】关键点点睛：求单调性及最值，需要引入隐零点，因为这个隐零点不好代入消元求值，需要再同构函数，则可得隐零点满足，，从而再代入隐零点即可求出的最小值，再结合两边的极限值，从而问题得证． 学科网（北京）股份有限公司 $