专题9.1 平移（4大知识点+6大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦初中数学“平移”核心知识点，从定义（三要素、对应概念及方向距离确定）到性质（形状大小不变、对应线段角与点连线关系），再到作图步骤（找关键点、定方向距离等）及实际应用（转化思想），构建递进式学习支架。 资料以分层题型设计为特色，基础题型结合生活实例（如皮影吉祥物平移辨析）培养几何直观，培优题型通过面积计算（如小路面积转化）渗透转化思想，易错点与重点难点解析助力学生查漏补缺，课中辅助教学，课后强化巩固。

专题9.1 平移 知识点1：平移的定义 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某一固定方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移，平移不改变图形的形状和大小。 2.平移的三要素：平移的方向、平移的距离、平移的图形，三者缺一不可。 3.平移的相关概念：平移后得到的新图形与原图形中的对应点（如点与点）、对应线段（如线段与线段）、对应角（如与）相互对应。 4.平移方向与距离的确定：对应点所连线段的方向为平移方向，对应点所连线段的长度为平移距离（如、、的长度均为平移距离）。 知识点2：平移的基本性质 1.图形的形状与大小不变：平移前后的两个图形完全重合，是全等图形。 2.对应线段的性质：对应线段平行（或在同一直线上）且相等（如且）。 3.对应角的性质：对应角相等（如）。 4.对应点的性质：所有对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等（如且）。 5.图形周长与面积：平移前后图形的周长相等、面积相等，阴影部分面积可通过平移转化为规则图形求解。 知识点3：平移的作图步骤 1.找：找出原图形的关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点）； 2.定：根据平移要求，确定每个关键点的平移方向和平移距离； 3.移：按要求平移每个关键点，得到对应的对应点； 4.连：依次连接各对应点，得到平移后的新图形； 5.验：检验新图形与原图形的对应线段、对应点是否符合平移性质。 知识点4：平移的实际应用 1.平移在生活中的应用：可将不规则图形通过平移转化为规则图形，求解周长、面积等； 2.平移在路径问题中的应用：将曲折的路径通过平移转化为直线段，比较路径长短或求解路径长度； 3.平移的核心思想：转化思想，将复杂问题简单化，未知问题已知化。 【基础必考题型】 【题型1】生活中的平移现象辨析 1.核心知识点 平移的定义；平移的“方向不变、距离不变、形状大小不变”特征。 2.解题方法技巧 判定平移的关键：图形整体沿固定方向做直线运动，无旋转、无翻转、无缩放； 排除法解题：将旋转（如钟摆、车轮滚动）、翻转（如对折纸张）、不规则运动（如足球滚动）的现象排除； 结合生活场景记忆：如拉开抽屉、电梯升降、笔直轨道上的列车行驶均为平移。 【例题1】.（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图是2026马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的大小不变，形状不变，方向不变等性质解答即可． 【详解】 解：通过平移吉祥物“骐骐”，可以得到的图形是． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·吉林·月考）下列图案中，不能用其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义判断即可． 【详解】解：由平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．根据定义可知A、B、D选项均可以用其中一部分经过平移得到，不符合题意，C选项不能用其中一部分经过平移得到，符合题意，故选C． 【变式题1-2】.（2026·山西晋中·一模）在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意．以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的定义进行判断即可． 【详解】解：A、选项中的图案不能体现平移变换，故此选项不符合题意； B、选项中的图案不能体现平移变换，故此选项不符合题意； C、选项中的图案不能体现平移变换，故此选项不符合题意； D、选项中的图案能体现平移变换，故此选项符合题意． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图是小欣利用滑轮把物块M抬高的场景，则物块M上升的过程可以看作数学上的__________运动．    【答案】平移 【详解】解：由题意得，物块M上升的过程可以看作数学上的平移运动 ． 【题型2】平移的方向与距离判定 1.核心知识点 平移方向与距离的定义；对应点的识别与应用。 2.解题方法技巧 找一组清晰的对应点（如网格中图形的顶点），对应点所连线段的方向即为平移方向； 网格中平移距离可通过数格子求解，注意数格子时“从顶点到顶点，数间隔数”； 多个对应点验证：平移后所有对应点的平移方向和距离一致，可通过多组对应点检验答案。 【例题2】.（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，将周长为7的沿方向平移，得到，若四边形的周长为13，则沿方向平移的距离为__________． 【答案】3 【分析】本题考查了平移的性质，熟知图形平移前后两图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等是解题的关键． 先根据平移的性质得到，，利用三角形的周长和等线段代换得到，再利用四边形的周长为13得到，然后求出即可． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， 的周长为， ， ， 四边形的周长为13， ， ， 解得， 平移的距离为． 故答案为：． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·海南海口·月考）如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】根据平移的性质得出相等的线段，然后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：根据平移得，， ∴， 即， ∴． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，沿方向平移到 的位置，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，直接利用平移的性质即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿方向平移到的位置， ∴， 故答案为：． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质得到，，进而计算即可． 【详解】解：∵在中，，将沿射线平移后得到， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型3】利用平移性质求解线段、角度 1.核心知识点 平移的基本性质；线段的和差计算；角度的等量代换。 2.解题方法技巧 线段求解：利用“对应线段相等、对应点连线相等”进行等量代换，结合线段和差计算（如，为平移距离）； 角度求解：利用“对应角相等”将未知角转化为已知角，结合平行线、直角等性质计算； 中点问题：平移后线段中点的对应点仍为新线段的中点，利用此性质求解中点间的距离（如中点连线长度等于平移距离）。 【例题3】.（25-26七年级下·青海海东·月考）如图， 将其沿着点B到C的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为________． 【答案】34 【分析】本题考查了平移的性质，先结合平移的性质得，，，运用面积之间的关系得 ，即阴影部分面积，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵将其沿着点B到C的方向平移到的位置，平移距离为4， ∴，， ∵， ∴ 则， ∴阴影部分面积． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）某中学校园内有一块长，宽的草坪，中间有两条宽的小路，把草坪分成了4块，如图所示，则草坪的面积___________． 【答案】 【分析】直接利用平移的性质得出草坪的面积为，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得草坪的面积为． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·云南楚雄·月考）如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置．，，． (1)求的长： (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的平移关系，得到对应线段相等，继而根据线段的和差关系得到答案． （2）根据三角形的平移关系，得到对应线段平行，继而得到同位角和内错角相等，得到答案． 【详解】（1）解：∵是通过沿边所在的直线向右移动得到的， ∴，点共线，，， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·江苏泰州·月考） 如图，将沿射线的方向平移2个单位到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)直接写出图中与相等的线段． (2)若，则等于 ． (3)若等于，求的度数． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据平移的性质，找到的对应边即可； （2）根据平移的性质结合线段的和差关系进行求解即可； （3）根据平移的性质，得到，，利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵平移，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F， ∴； （2）解：由平移可知：， ∴； （3）解：由平移可知：，， ∴． 【题型4】网格中的简单平移作图 1.核心知识点 平移的作图步骤；网格中关键点的平移方法。 2.解题方法技巧 优先选择图形的顶点作为关键点，顶点数量少、易定位； 按“先定方向，再数格子”平移关键点，避免平移方向或距离出错； 平移后依次连接对应点，注意图形的形状不变，避免顶点连接顺序错误。 【例题4】.（25-26七年级下·四川德阳·月考）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点A、B、C都在格点上． (1)将向右平移3个单位得到，请作出； (2)连接，，则线段和线段的关系为________； (3)在平移的过程中，求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)6 【分析】（1）根据平移的性质得到点A，B，C的对应点，即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）根据平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：线段和线段的关系为平行且相等； （3）解：线段扫过的面积为． 【变式题4-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）利用如图所示的图形，通过平移设计图案． 【答案】图见解析 【分析】利用平移的性质得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示．（答案不唯一） 【变式题4-2】.（2026七年级下·江苏·专题练习）请仔细观察图①中的三个图，根据它们都具备的共同特征，在图②中设计一个图案使它也具备图①中三个图的相同特征． 【答案】见解析 【分析】由图①可知三个图形都有平移的共性，再根据平移的性质设计图形并作图即可解答． 【详解】解：观察图①可知：三个图形都是由一个图形平移得到另一个图形．故如图所示，即为所求．答案不唯一． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·广东潮州·月考）如图，在方格中平移三角形，使点移到点， (1)作出平移后的三角形． (2)三角形可以看作三角形向右平移____个单位长度，再向下平移____个单位长度得到的图形． 【答案】(1)画图见解析 (2)， 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据平移的性质解答即可求解； 本题考查了平移作图，平移变换，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：三角形可以看作三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图形， 故答案为：，． 【培优高频题型】 【题型5】平移在面积计算中的应用 1.核心知识点 平移的面积不变性质；不规则图形向规则图形的转化。 2.解题方法技巧 曲折道路面积：将道路两侧的图形向中间平移，抵消道路的曲折部分，转化为规则长方形求解面积； 重叠图形面积：平移后重叠部分的面积可通过“原图形面积-空白部分面积”求解，或利用“全等图形面积相等”转化； 网格中面积：平移后图形面积与原图形一致，可通过割补法、数格子法求解。 【例题5】.（25-26七年级下·四川德阳·月考）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质求解即可． 【详解】解：由平移可得，，， ∴， ，即， 又． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，在长为15米，宽为10米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路(图中阴影部分)，宽均为1米，其他部分均种植花草，则小路的面积是______平方米． 【答案】24 【分析】根据平移的性质利用大的长方形面积减去种植花草的面积（平移小路后为长方形）即可. 【详解】解：根据平移的性质可得小路的面积是： （平方米）. 【变式题5-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】13 【分析】根据平移的性质得到，，，，则可证明，再利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质得，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·广东中山·月考）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点P的对应点为，连接．若三角形的周长为m，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)10 (3)1 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质可得，，，，由两直线平行同位角相等可得的度数，由两直线平行内错角相等可得，然后根据即可得出的度数； （2）由平移的性质可得，结合可得，再利用三角形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积； （3）由平移的性质可得：，，依题意得，，即，进而可得，即，据此即可求出的长度． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，，，， ， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得：， ∵， ， 又， ； （3）解：由平移的性质可得：，， 的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即：， ， ， ， ， 即：的长度为1． 【题型6】平移的跨情境应用 【例题6】.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段，②为折线段，③为折线段． 三条路的长依次为、、，则a，b，c的大小关系为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质、两点之间线段最短，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，则可得，再根据两点之间线段最短可得，则，由此即可得． 【详解】解：由平移的性质得：，， ∵路①为折线段：， 路②为折线段：， 由平移的性质可知：，， ∴， 由两点之间线段最短得：， ∵路②为折线段：， 路③为折线段：， ∴， 综上，． 故答案为：． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第n次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则n的值为（   ） A．504 B．505 C．2021 D．2025 【答案】B 【分析】此题主要考查了代数式，图形的变化规律，以及一元一次方程，根据图形变化规律得出长度的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，再找出长度的规律，然后根据所求得出数字变化规律，再根据规律列出方程求解n的值． 【详解】解：∵，第1次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时，， 第2次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时， 以此类推，第n次平移后，． ∵的长度为2025， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲→A→D→乙；②甲→B→D→乙；③甲→B→C→乙，在这三条路线中，走哪条路线近？（    ） A．①最近 B．②最近 C．③最近 D．①②③一样近 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，将三条路线进行恰当的平移是解题的关键． 将三条路线分别平移，可知这三条路线的长度都是长方形周长的一半． 【详解】解：如图所示： 三条路线的长度都等于大长方形周长的一半． 故选：D． 【变式题6-3】.（24-25九年级下·广东东莞·期中）如图，直线、表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案．下列说法正确的是（   ） 方案一： ①格点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点，即桥的位置． 方案二： ①连接交于点；②过点作，交于点，即桥的位置． A．方案一、二均可行 B．方案一、二均不可行 C．唯方案一可行 D．唯方案二可行 【答案】C 【分析】本题考查两点之间线段最短，平移的性质，因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可，可利用平移解决问题． 【详解】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可． 在方案一中：垂直于河岸，， 连接，与另一条河岸相交于M，作直线， 由平移的性质，知，且， 根据“两点之间线段最短”，最短，即最短． 故方案一符合题意，方案二不是最短， 故选：C． 易错点 1.混淆平移与旋转、翻转，将车轮滚动、钟摆摆动、对折纸张等现象判定为平移； 2.判定平移距离时，数网格格子出错，误将“顶点到格子线的距离”算作平移距离，或数错对应点的间隔数； 3.错误认为“平移后对应线段一定平行”，忽略对应线段在同一直线上的情况； 4.平移作图时，未找全关键点，或连接对应点时顺序错误，导致平移后图形形状改变； 5.求解平移扫过的面积时，漏算平移形成的平行四边形部分，或错误将原图形面积当作扫过的面积； 6.多次平移时，未分步确定平移方向和距离，直接累加导致平移位置出错。 重点 1.掌握平移的定义，能准确辨析生活中的平移现象，明确平移的三要素（方向、距离、图形）； 2.熟记平移的基本性质，能利用性质判断对应线段、对应角、对应点的关系，进行简单的等量代换； 3.掌握网格中平移的作图步骤，能准确画出平移后的图形，确定平移的方向和距离； 4.学会利用平移的转化思想，将不规则图形转化为规则图形，求解周长、面积等问题； 5.能将实际问题（如路径问题、道路面积问题）抽象为几何图形，利用平移知识解决实际问题。 难点 1.平移性质的灵活应用，能结合线段和差、角度等量代换，求解复杂的线段长度和角度大小； 2.平移的转化思想在面积计算中的应用，能准确将曲折、重叠的图形通过平移转化为规则图形； 3.网格中多步平移的作图与扫过面积的计算，能分步确定关键点的位置，正确计算平移扫过的图形面积； 4.平移的探究性和动态问题，能探索多次平移的规律，建立代数式，结合分类讨论思想求解动点、角度范围问题； 5.平移与长方形、三角形等图形的综合应用，能整合平移性质和其他图形的性质，完成证明和综合计算； 6.平移在跨情境（密码、图案设计）中的应用，能将平移的方向和距离与实际情境结合，实现知识的灵活迁移。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各组表示运动项目的图标中，能看作由其中一个图形平移得到另一个图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移“形状、大小、方向都不变，仅位置改变”的性质，对选项依次判断． 【详解】解：选项：两个图形可通过前后、上下平移得到，正确； 选项：两个图形是通过轴对称得到，不符合平移的要求，不正确； 选项：两个图形大小不同，不符合平移的要求，不正确； 选项：两个图形是通过旋转得到，不符合平移的要求，不正确． 2．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 【答案】D 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 3．如图，中，，，将三角形沿向右平移至，点E在上，若，则四边形的周长为（　　） A．21 B．23 C．25 D．27 【答案】C 【分析】由平移性质可得、、，根据求出的长，进而求出的长，从而得到四边形的周长． 【详解】解：由平移性质可得，、、， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为25． 二、填空题 4．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，如果平移距离为3，那么点A与点G的距离为__ ． 【答案】12 【分析】根据平行的性质进行计算即可． 【详解】解：由平移可知，． ∵E是的三等分点且， ∴， ∴， 即点A与点G的距离为12． 5．如图，在直角三角形的斜边上有五个小直角三角形，已知大直角三角形的周长为60厘米，则这五个小直角三角形的周长为__ ． 【答案】60厘米 【分析】小直角三角形中与平行或重合的所有边的和等于，与平行或重合的所有边的和等于则小直角三角形的周长等于直角的周长，据此即可求解． 【详解】解：过小直角三角形的直角顶点作，的平行线， 则四边形是长方形， 则， 同理可得：小直角三角形中与平行或重合的所有边的和等于，与平行或重合的所有边 的和等于． ∴小直角三角形的周长等于直角的周长． ∴这五个小直角三角形的周长为60厘米． 6．如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点D，连接，若，，则图中阴影部分的面积为____ ． 【答案】18 【分析】利用平移的性质得到，，，从而可得，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵将沿向右平移，得到，与交于点D，连接，若，， ∴，，， ∵， ∴ ． 三、解答题 7．如图，三角形在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，先将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形． (2)判断与的关系． 【答案】(1)见解析 (2)与的关系是平行且相等 【分析】（1）根据平移方式确定各顶点平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由平移的性质可直接得出：与的关系是平行且相等． 8．如图，三角形沿方向平移到三角形的位置． (1)当时，求的度数； (2)当，时，求平移的距离． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质得出，据此可解决问题； （2）根据平移的性质得出，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由平移可知， ； （2）解：由平移可知，， ，， ， 平移的距离为． 9．如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据平移的性质和平行的性质得到，再利用互余的定义即可计算出的度数； （2）根据平移的性质得到，所以，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：（1）∵平移到的位置， ∴， ∴， ∵与互余， ∴． （2）解：∵分别平移到和的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 10．如图，所有小正方形的边长都为个单位，均在格点上． (1)过点画线段的垂线，垂足为； (2)点到线段的距离即线段 的长； (3)在直线上找一点，使得的值最小． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析 【分析】（1）如图所示，取格点，则，将沿着小正方形对角线平移，则，即可得到，延长交于点，则垂足为； （2）结合（1）中图形，由点到线段的距离定义即可找到； （3）由两点之间线段最短可得当三点共线使得的值最小，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示： 是网格中的长方形的对角线，是网格中的长方形的对角线， 则， ， 将沿着小正方形对角线平移得到网格中的长方形的对角线， ， 则， 延长交于点，则点即为所求； （2）解：由（1）中作图知，可得点到线段的距离即线段的长； （3）解：如图所示： 点是直线上的一点， 由两点之间线段最短可得，当三点共线时，的值最小． 则与的交点即为所求． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1 平移 知识点1：平移的定义 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某一固定方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移，平移不改变图形的形状和大小。 2.平移的三要素：平移的方向、平移的距离、平移的图形，三者缺一不可。 3.平移的相关概念：平移后得到的新图形与原图形中的对应点（如点与点）、对应线段（如线段与线段）、对应角（如与）相互对应。 4.平移方向与距离的确定：对应点所连线段的方向为平移方向，对应点所连线段的长度为平移距离（如、、的长度均为平移距离）。 知识点2：平移的基本性质 1.图形的形状与大小不变：平移前后的两个图形完全重合，是全等图形。 2.对应线段的性质：对应线段平行（或在同一直线上）且相等（如且）。 3.对应角的性质：对应角相等（如）。 4.对应点的性质：所有对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等（如且）。 5.图形周长与面积：平移前后图形的周长相等、面积相等，阴影部分面积可通过平移转化为规则图形求解。 知识点3：平移的作图步骤 1.找：找出原图形的关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点）； 2.定：根据平移要求，确定每个关键点的平移方向和平移距离； 3.移：按要求平移每个关键点，得到对应的对应点； 4.连：依次连接各对应点，得到平移后的新图形； 5.验：检验新图形与原图形的对应线段、对应点是否符合平移性质。 知识点4：平移的实际应用 1.平移在生活中的应用：可将不规则图形通过平移转化为规则图形，求解周长、面积等； 2.平移在路径问题中的应用：将曲折的路径通过平移转化为直线段，比较路径长短或求解路径长度； 3.平移的核心思想：转化思想，将复杂问题简单化，未知问题已知化。 【基础必考题型】 【题型1】生活中的平移现象辨析 1.核心知识点 平移的定义；平移的“方向不变、距离不变、形状大小不变”特征。 2.解题方法技巧 判定平移的关键：图形整体沿固定方向做直线运动，无旋转、无翻转、无缩放； 排除法解题：将旋转（如钟摆、车轮滚动）、翻转（如对折纸张）、不规则运动（如足球滚动）的现象排除； 结合生活场景记忆：如拉开抽屉、电梯升降、笔直轨道上的列车行驶均为平移。 【例题1】.（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图是2026马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·吉林·月考）下列图案中，不能用其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·山西晋中·一模）在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意．以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图是小欣利用滑轮把物块M抬高的场景，则物块M上升的过程可以看作数学上的__________运动．    【题型2】平移的方向与距离判定 1.核心知识点 平移方向与距离的定义；对应点的识别与应用。 2.解题方法技巧 找一组清晰的对应点（如网格中图形的顶点），对应点所连线段的方向即为平移方向； 网格中平移距离可通过数格子求解，注意数格子时“从顶点到顶点，数间隔数”； 多个对应点验证：平移后所有对应点的平移方向和距离一致，可通过多组对应点检验答案。 【例题2】.（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，将周长为7的沿方向平移，得到，若四边形的周长为13，则沿方向平移的距离为__________． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·海南海口·月考）如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为______． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，沿方向平移到 的位置，若，则______． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为______ ． 【题型3】利用平移性质求解线段、角度 1.核心知识点 平移的基本性质；线段的和差计算；角度的等量代换。 2.解题方法技巧 线段求解：利用“对应线段相等、对应点连线相等”进行等量代换，结合线段和差计算（如，为平移距离）； 角度求解：利用“对应角相等”将未知角转化为已知角，结合平行线、直角等性质计算； 中点问题：平移后线段中点的对应点仍为新线段的中点，利用此性质求解中点间的距离（如中点连线长度等于平移距离）。 【例题3】.（25-26七年级下·青海海东·月考）如图， 将其沿着点B到C的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为________． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）某中学校园内有一块长，宽的草坪，中间有两条宽的小路，把草坪分成了4块，如图所示，则草坪的面积___________． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·云南楚雄·月考）如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置．，，． (1)求的长： (2)求的度数． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·江苏泰州·月考） 如图，将沿射线的方向平移2个单位到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)直接写出图中与相等的线段． (2)若，则等于 ． (3)若等于，求的度数． 【题型4】网格中的简单平移作图 1.核心知识点 平移的作图步骤；网格中关键点的平移方法。 2.解题方法技巧 优先选择图形的顶点作为关键点，顶点数量少、易定位； 按“先定方向，再数格子”平移关键点，避免平移方向或距离出错； 平移后依次连接对应点，注意图形的形状不变，避免顶点连接顺序错误。 【例题4】.（25-26七年级下·四川德阳·月考）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点A、B、C都在格点上． (1)将向右平移3个单位得到，请作出； (2)连接，，则线段和线段的关系为________； (3)在平移的过程中，求线段扫过的面积． 【变式题4-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）利用如图所示的图形，通过平移设计图案． 【变式题4-2】.（2026七年级下·江苏·专题练习）请仔细观察图①中的三个图，根据它们都具备的共同特征，在图②中设计一个图案使它也具备图①中三个图的相同特征． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·广东潮州·月考）如图，在方格中平移三角形，使点移到点， (1)作出平移后的三角形． (2)三角形可以看作三角形向右平移____个单位长度，再向下平移____个单位长度得到的图形． 【培优高频题型】 【题型5】平移在面积计算中的应用 1.核心知识点 平移的面积不变性质；不规则图形向规则图形的转化。 2.解题方法技巧 曲折道路面积：将道路两侧的图形向中间平移，抵消道路的曲折部分，转化为规则长方形求解面积； 重叠图形面积：平移后重叠部分的面积可通过“原图形面积-空白部分面积”求解，或利用“全等图形面积相等”转化； 网格中面积：平移后图形面积与原图形一致，可通过割补法、数格子法求解。 【例题5】.（25-26七年级下·四川德阳·月考）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，在长为15米，宽为10米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路(图中阴影部分)，宽均为1米，其他部分均种植花草，则小路的面积是______平方米． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·广东中山·月考）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点P的对应点为，连接．若三角形的周长为m，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【题型6】平移的跨情境应用 【例题6】.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段，②为折线段，③为折线段． 三条路的长依次为、、，则a，b，c的大小关系为___________． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第n次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则n的值为（   ） A．504 B．505 C．2021 D．2025 【变式题6-2】.（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲→A→D→乙；②甲→B→D→乙；③甲→B→C→乙，在这三条路线中，走哪条路线近？（    ） A．①最近 B．②最近 C．③最近 D．①②③一样近 【变式题6-3】.（24-25九年级下·广东东莞·期中）如图，直线、表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案．下列说法正确的是（   ） 方案一： ①格点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点，即桥的位置． 方案二： ①连接交于点；②过点作，交于点，即桥的位置． A．方案一、二均可行 B．方案一、二均不可行 C．唯方案一可行 D．唯方案二可行 易错点 1.混淆平移与旋转、翻转，将车轮滚动、钟摆摆动、对折纸张等现象判定为平移； 2.判定平移距离时，数网格格子出错，误将“顶点到格子线的距离”算作平移距离，或数错对应点的间隔数； 3.错误认为“平移后对应线段一定平行”，忽略对应线段在同一直线上的情况； 4.平移作图时，未找全关键点，或连接对应点时顺序错误，导致平移后图形形状改变； 5.求解平移扫过的面积时，漏算平移形成的平行四边形部分，或错误将原图形面积当作扫过的面积； 6.多次平移时，未分步确定平移方向和距离，直接累加导致平移位置出错。 重点 1.掌握平移的定义，能准确辨析生活中的平移现象，明确平移的三要素（方向、距离、图形）； 2.熟记平移的基本性质，能利用性质判断对应线段、对应角、对应点的关系，进行简单的等量代换； 3.掌握网格中平移的作图步骤，能准确画出平移后的图形，确定平移的方向和距离； 4.学会利用平移的转化思想，将不规则图形转化为规则图形，求解周长、面积等问题； 5.能将实际问题（如路径问题、道路面积问题）抽象为几何图形，利用平移知识解决实际问题。 难点 1.平移性质的灵活应用，能结合线段和差、角度等量代换，求解复杂的线段长度和角度大小； 2.平移的转化思想在面积计算中的应用，能准确将曲折、重叠的图形通过平移转化为规则图形； 3.网格中多步平移的作图与扫过面积的计算，能分步确定关键点的位置，正确计算平移扫过的图形面积； 4.平移的探究性和动态问题，能探索多次平移的规律，建立代数式，结合分类讨论思想求解动点、角度范围问题； 5.平移与长方形、三角形等图形的综合应用，能整合平移性质和其他图形的性质，完成证明和综合计算； 6.平移在跨情境（密码、图案设计）中的应用，能将平移的方向和距离与实际情境结合，实现知识的灵活迁移。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各组表示运动项目的图标中，能看作由其中一个图形平移得到另一个图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 3．如图，中，，，将三角形沿向右平移至，点E在上，若，则四边形的周长为（　　） A．21 B．23 C．25 D．27 二、填空题 4．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，如果平移距离为3，那么点A与点G的距离为__ ． 5．如图，在直角三角形的斜边上有五个小直角三角形，已知大直角三角形的周长为60厘米，则这五个小直角三角形的周长为__ ． 6．如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点D，连接，若，，则图中阴影部分的面积为____ ． 三、解答题 7．如图，三角形在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，先将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形． (2)判断与的关系． 8．如图，三角形沿方向平移到三角形的位置． (1)当时，求的度数； (2)当，时，求平移的距离． 9．如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 10．如图，所有小正方形的边长都为个单位，均在格点上． (1)过点画线段的垂线，垂足为； (2)点到线段的距离即线段 的长； (3)在直线上找一点，使得的值最小． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $