9.2轴对称同步讲义（5大知识点+16大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

9.2轴对称同步讲义 （5大知识点+16大题型+过关检测） 目录 【知识点1：轴对称图形与成轴对称的两个图形】 1 【知识点2：轴对称的基本特征】 2 【知识点3：线段垂直平分线】 2 【知识点4：尺规作图】 2 【知识点5：镜面对称】 3 【题型1 轴对称图形的识别】 4 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 5 【题型3 作已知线段的垂直平分线】 6 【题型4 作垂线（尺规作图）】 8 【题型5 根据成轴对称图形的特征进行判断】 10 【题型6 根据成轴对称图形的特征进行求解】 12 【题型7 作角平分线（尺规作图）】 14 【题型8 台球桌面上的轴对称问题】 16 【题型9 轴对称中的光线反射问题】 18 【题型10 折叠问题】 21 【题型11 画对称轴】 22 【题型12 画轴对称图形】 24 【题型13 求对称轴条数】 26 【题型14 车牌号码的镜面对称】 28 【题型15 钟表的镜面对称】 29 【题型16 电子钟示数的镜面对称】 31 1. 理解轴对称图形和成轴对称的两个图形的定义，能准确区分两者的联系与区别，能识别生活中的轴对称图形、成轴对称的两个图形。 2. 掌握轴对称的基本特征，明确对称轴的定义，能判断轴对称图形的对称轴，掌握对称轴的性质（对称轴垂直平分对应点的连线）。 3. 掌握尺规作图的基本方法，能熟练作出已知线段的垂直平分线、已知角的平分线、已知直线的垂线，规范作图步骤并标注。03 知识•梳理 【知识点1：轴对称图形与成轴对称的两个图形】 1. 轴对称图形（一个图形） 如果一个图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。 关键说明：轴对称图形是一个图形自身的对称关系，对称轴是一条直线，一个轴对称图形可能有1条或多条对称轴。 常见例子：等腰三角形（1条）、正方形（4条）、圆（无数条）、长方形（2条）、正五角星（5条）。 2. 成轴对称的两个图形（两个图形） 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（对称点）。 关键说明：成轴对称是两个图形之间的对称关系，对称轴是连接两个图形对应点连线的垂直平分线，两个图形的形状、大小完全相同。 3. 两者的联系与区别 · 联系：都有对称轴，折叠后能够重合，对应边相等、对应角相等；把成轴对称的两个图形看作一个整体，就是一个轴对称图形。 · 区别：轴对称图形是“一个图形”，成轴对称是“两个图形”；轴对称图形的对称轴是自身的对称轴，成轴对称的两个图形的对称轴是两个图形的公共对称轴。 【知识点2：轴对称的基本特征】 1. 对应点：成轴对称的两个图形（或轴对称图形的两部分），对应点的连线被对称轴垂直平分（核心性质）。 2. 对应边：对应边相等，对应边所在直线与对称轴的夹角相等。 3. 对应角：对应角相等。 4. 对称轴：对称轴是一条直线，不能是线段或射线；轴对称图形的对称轴是它自身的对称轴，成轴对称的两个图形的对称轴是公共对称轴。 【知识点3：线段垂直平分线】 一、定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 二、性质定理（必考） 线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。 几何语言：∵ 直线 l 垂直平分 AB，点 P 在 l 上∴ PA=PB 三、判定定理（逆定理） 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵ PA=PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 【知识点4：尺规作图】 1. 作已知线段的垂直平分线 作图步骤： 1. 已知线段AB，分别以点A、B为圆心，以大于½AB的长为半径作弧，两弧分别交于点C、D； 2. 连接CD，直线CD即为线段AB的垂直平分线。 关键提醒：半径必须大于½AB，否则两弧无法相交；CD是直线，不是线段。 2. 作已知直线的垂线（尺规作图） 情况1：过直线上一点作已知直线的垂线 1. 已知直线l和直线上一点P，以P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于A、B两点； 2. 分别以A、B为圆心，以大于½AB的长为半径作弧，两弧交于点C； 3. 连接CP，直线CP即为过点P且垂直于直线l的垂线。 情况2：过直线外一点作已知直线的垂线 1. 已知直线l和直线外一点P，以P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A、B两点； 2. 分别以A、B为圆心，以大于½AB的长为半径作弧，两弧交于点C； 3. 连接CP，直线CP即为过点P且垂直于直线l的垂线。 3. 作已知角的平分线 作图步骤： 1. 已知∠AOB，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D； 2. 分别以C、D为圆心，以大于½CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E； 3. 连接OE，射线OE即为∠AOB的平分线。 关键提醒：第二步的半径必须大于½CD，两弧要在角的内部相交；OE是射线，不是直线。 【知识点5：镜面对称】 镜面对称的本质是“关于镜面对称”，相当于把图形沿镜面（对称轴）折叠，镜面中的像与原图形成轴对称，特点如下： · 像与原图形的形状、大小完全相同，对应点的连线被镜面垂直平分； · 像与原图形是“左右相反”（或上下相反，取决于镜面放置方向）的，即左右对称。 常见应用：车牌号码、钟表、电子钟示数的镜面对称，核心是判断“左右相反”后的对应图形。 易错点提醒 · 混淆“轴对称图形”与“成轴对称的两个图形”：前者是一个图形，后者是两个图形； · 尺规作图时，忽略半径要求（如作垂直平分线时半径不大于½线段长），或作图后不标注关键点、对称轴； · 误认为对称轴是线段或射线，实则对称轴是直线； · 解决镜面对称问题时，忽略“左右相反”的特点，导致判断错误； · 折叠问题中，忽略折叠的对称性（对应边相等、对应角相等、对应点连线被对称轴垂直平分），无法转化条件。 04 题型•汇总 【题型1 轴对称图形的识别】 解题关键：紧扣轴对称图形的定义，判断一个图形是否能沿某一条直线折叠，使直线两旁的部分完全重合，注意区分“一个图形”的自身对称。 【典例1】．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；依次进行选择即可． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 跟随训练1-1．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项C中的图形不可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故不是轴对称图形； 其它选项中的图形能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都是轴对称图形； 故选：C． 跟随训练1-2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，该选项不合题意； 、不是轴对称图形，该选项符合题意； 、是轴对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，该选项不合题意； 故选：． 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 解题关键：紧扣成轴对称的定义，判断两个图形是否能沿某一条直线折叠后完全重合，注意区分“两个图形”的对称关系，与轴对称图形区分开。 【典例2】．下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 跟随训练2-1．如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 跟随训练2-2．下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是成轴对称图形的识别．利用成轴对称图形的概念（两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，就是成轴对称图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，两个图形属于轴对称，符合题意； B、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； C、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； D、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； 故选：A． 【题型3 作已知线段的垂直平分线】 解题关键：严格按照尺规作图步骤，牢记“以线段两端为圆心，大于½线段长为半径作弧，连接两弧交点得垂直平分线”，作图规范，标注关键点和对称轴。 【典例3】．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 跟随训练3-1．如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—作线段垂直平分线．根据作图方法和步骤，即可解答． 【详解】解：根据尺规作图—作线段垂直平分线的步骤可得：， ∵， ∴， ∴a的值可能是4， 故选：D． 跟随训练3-2．已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，根据角平分线、垂直平分线和垂线的尺规作图方法，直接判断即可． 【详解】解：由作图方法可知，图①作法下面应该还有两条相交的弧，即图①的正确作图如下： 图②和图③作法正确， 故选：C． 【题型4 作垂线（尺规作图）】 解题关键：分两种情况（过直线上一点、过直线外一点），严格按照尺规作图步骤，牢记“作弧交直线于两点，再作两弧交点，连接交点与已知点得垂线”，标注清晰。 【典例4】．观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是（    ） A．作已知线段的垂直平分线 B．作一个角等于已知角 C．经过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角的平分线 【答案】C 【分析】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键． 根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案． 【详解】由作图痕迹可知，该作法为过直线外一点作已知直线的垂线． 故选：C． 跟随训练4-1．如图，在锐角中，，若甲乙两名同学分别用尺规作该三角形的高，作法如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 【答案】D 【分析】本题考查了作一个角与已知角相等，作三角形的高，熟练掌握作图方法是解题关键； 分析两个作图方法，然后判断即可． 【详解】解：甲的作法：由作图痕迹可知， ， ， ， 即是上的高， 乙的作法由作图痕迹即为的高， 故两名同学作法都对； 故选：D． 跟随训练4-2．某班开展“用直尺和圆规作垂线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中直线为直线l的垂线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，尺规作图等知识点，掌握尺规作图的方法的解题的关键． 垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线．三个图逐个分析即可． 【详解】解：从左起第一个图： 根据作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线，所以直线为直线l的垂线； 左起第二个图： 根据作图痕迹可知尺规作图作出了一个菱形，菱形的对角线互相垂直，所以直线为直线l的垂线； 最后一个图： 等腰三角形底边三线合一，所以直线为直线l的垂线． 故选：D． 【题型5 根据成轴对称图形的特征进行判断】 解题关键：利用轴对称的特征（对应点连线被对称轴垂直平分、对应边相等、对应角相等），判断选项是否符合轴对称的性质，规避易错点。 【典例5】．如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴对称点所连线段被对称轴垂直平分， ∴能被直线垂直平分的是， 故选：D． 跟随训练5-1．如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】符合题意的三角形如图所示：    满足要求的图形有5个 故选：A． 跟随训练5-2．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质；根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 故选：B． 【题型6 根据成轴对称图形的特征进行求解】 解题关键：利用轴对称的核心特征（对应点连线被对称轴垂直平分、对应边相等、对应角相等），结合已知条件，求线段长度、角度大小等。 【典例6】．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 跟随训练6-1．如图，内有一点，分别是关于的对称点，交于，交于，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，关键是熟练应用知识点解题；由轴对称可知，，进而得到的周长即为的长． 【详解】解：∵分别是关于的对称点， ∴， ∵， ∴的周长为：， 故选：A ． 跟随训练6-2．如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点O，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：A． 【题型7 作角平分线（尺规作图）】 解题关键：严格按照尺规作图步骤，牢记“以角顶点为圆心作弧交两边，再以交点为圆心作弧交角内部，连接顶点与交点得角平分线”，作图规范，标注关键点和角平分线。 【典例7】．如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点C'，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点E、F、G，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，以及角的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可知，，计算出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：C． 跟随训练7-1．如图是作的平分线的两种方案，对于两种方案的判断正确的是（   ） 甲方案 将两个完全一样的三角板长直角边放在边和上、移动三角板，使短直角边的锐角顶点重合在一点，记为点P，作射线． 乙方案 用刻度尺在和上分别取，再用刻度尺量取的长，取其中点，记为点P，作射线． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键． 根据角平分线的判定定理解题即可． 【详解】解：甲方案：由图可知，点到的两边距离相等， ∴平分； 乙方案：由图可知，在和中， ∴≌， ∴， ∴平分； ∴甲、乙都对． 故选：D ． 跟随训练7-2．如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，以及角的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可知，，计算出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：C． 【题型8 台球桌面上的轴对称问题】 解题关键：利用轴对称的性质，将台球的运动轨迹转化为“沿对称轴折叠后的直线轨迹”，即台球撞击桌边（对称轴）后，反射角等于入射角，对应点关于桌边对称。 【典例8】．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 跟随训练8-1．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 跟随训练8-2．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 【题型9 轴对称中的光线反射问题】 解题关键：光线反射问题与台球运动问题原理相同，利用轴对称，将反射光线转化为入射光线关于反射面（对称轴）的对称光线，即反射角等于入射角，对应点关于反射面对称。 【典例9】．如图，镜面与水平桌面的夹角，光线经平面镜反射到水平天花板，与反射光线的夹角，则光线与天花板所形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角度的计算，理解反射原理，掌握角度的计算方法是关键． 如图所示，过点作，作，可得，，根据反射原理，可得，根据垂直的定义得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，作， ∵水平桌面与天花板平行， ∴， ∴，， 根据反射原理，可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 跟随训练9-1．如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，，， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 跟随训练9-2．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 【题型10 折叠问题】 解题关键：折叠的本质是“轴对称”，折叠后重合的部分关于折痕（对称轴）成轴对称，对应边相等、对应角相等、对应点连线被折痕垂直平分，利用这些性质转化条件求解。 【典例10】．如图，将正方形分别沿、折叠，使得点与点重合，点与点重合，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质，由折叠得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴． 故选：C． 跟随训练10-1．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．平分 B． C．与互余 D．与互补 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角．由折叠的性质可得，求出，即可判断C；求出即可判断B；根据即可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得， ， ∴与互余，故C正确，不符合题意； ∴，故B正确，不符合题意； ， ∴与互补，故D正确，不符合题意； 不能得出平分，故A错误，符合题意； 故选：A． 跟随训练10-2．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A． B．与互余 C． D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，掌握图形的翻折变换的特征是解决问题的关键．利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，， ∴，结论正确，故A不符合题意； ∵， ∴，即，结论正确，故B不符合题意； ∴，和不一定相等，结论错误，故C符合题意； ∵，结论正确，故D不符合题意． 故选：C． 【题型11 画对称轴】 解题关键：根据轴对称图形的特征，找图形的对称点，连接对称点，作对称点连线的垂直平分线，即为对称轴；若图形有多条对称轴，需逐一画出。 【典例11】．下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的性质及相关概念，轴对称图形的对称轴是直线，据此可判断（1）（3），轴对称图形的轴对称可能不止一条，据此可判断（2）；根据轴对称的性质可判断（4）（5）． 【详解】解：（1）角平分线所在的直线是角的对称轴，原说法错误； （2）轴对称图形可能有多条对称轴（如圆有无数条），原说法错误； （3）等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，而非高本身，原说法错误； （4）两个图形成轴对称，则它们全等，原说法正确； （5）若A、B关于直线对称，则垂直平分，而非垂直平分，原说法错误 综上，正确说法有（4），共1个， 故选：A． 跟随训练11-1．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题． 【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线． 故选：A． 跟随训练11-2．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴画法及不同图形的性质，解题关键是明确用无刻度直尺画对称轴需利用图形自身的几何特征（如对角线、顶点连线等）来确定对称轴位置． 根据轴对称图形的性质，分析各图形能否用无刻度的直尺画出对称轴． 【详解】A、菱形的对称轴是对角线所在的直线，可以用直尺连接对角顶点直接画出； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高，但只用直尺无法准确找到底边中点或垂足，故不能画出； C、延长等腰梯形的两腰使其相交于一点，连接两条对角线使其相交于另一点，连接这两点的直线即为对称轴，故能用直尺画出； D、连接正五边形的一个顶点和不经过该顶点的两条对角线的交点，即可画出一条对称轴． 故选B． 【题型12 画轴对称图形】 解题关键：按照“找关键点→作对应点→连对应点”的步骤，先找出原图形的关键点，再分别作每个关键点关于对称轴的对称点，最后按原图形形状连接各对应点，得到轴对称图形。 【典例12】．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查作网格中的对称图形，利用对称性作出图形即可得到答案． 按照题意，在网格中作出与成轴对称的格点三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在网格中与成轴对称的格点三角形共有个， 故选：C． 跟随训练12-1．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，根据网格结构以及轴对称图形的性质作出对称三角形即可，画出对应的图形是解此题的关键． 根据网格特点及题的要求，把所有可能的图形画出即可得答案． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形可以画出6个， ， 故选：D． 跟随训练12-2．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查轴对称的性质，解题关键在于根据题意画出图形． 根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】解：如图所示，对称轴有四种位置，与成轴对称的格点三角形有4个． 故选：C． 【题型13 求对称轴条数】 解题关键：牢记常见轴对称图形的对称轴条数，结合图形的特征，逐一判断，避免漏数或多数。 【典例13】．下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．圆 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴条数，需明确各选项图形的对称轴数量，再通过比较得出结果． 【详解】解：∵等腰三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，圆有无数条对称轴． 又∵无数条5条4条3条， ∴对称轴条数最多的是圆， 故选：D． 跟随训练13-1．下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形的对称轴的条数，熟练掌握此知识点是关键．逐项分析轴对称图形的对称轴的条数，即可得出答案． 【详解】解：A.是轴对称图形，共有4条对称轴； B.是轴对称图形，共有3条对称轴； C.是轴对称图形，共有4条对称轴； D.是轴对称图形，共有6条对称轴， 对称轴条数最多的是D选项的图形． 故选：D． 跟随训练13-2．古有诗云“刺绣五纹添弱线，吹葭六琯动浮灰”，描述的便是我国民间传统艺术—刺绣，如图所示的刺绣图案的对称轴有（    ） A．1条 B．2条 C．4条 D．6条 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此即可判断． 【详解】解：如图所示，共有4条对称轴， 故选：C． 【题型14 车牌号码的镜面对称】 解题关键：利用镜面对称“左右相反”的特点，将车牌号码沿镜面对折，找出每个数字、字母的对称图形，注意数字（0、1、8对称后不变，2↔5，3、4、6、7、9无对称数字）和字母的对称规律。 【典例14】．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 利用镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称， 则该汽车的号码是E6395， 故选：C． 跟随训练14-1．一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可得在镜子里看到的“号码”是： ， 故选：C． 跟随训练14-2．小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称，是常见基础考点，联系生活实际，掌握镜面对称的性质是解题关键．根据镜面对称性质解题，可将四个数子写在全白纸上，再观察纸的背面即可得到答案． 【详解】解：∵5对称图形是2，1对的是1，如果是51号，5在前1在后，对应为5对的是2，1对的是1， ∴实际号码是12． 故选：C． 【题型15 钟表的镜面对称】 解题关键：钟表的镜面对称，本质是“12点与6点的连线为对称轴”，左右相反，也可利用“镜子中的时间+实际时间=12:00”（12小时制）快速求解（忽略分钟数时，小时数之和为12）。 【典例15】．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 跟随训练15-1．李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 【详解】解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 跟随训练15-2．小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【详解】解：如图， 接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C． 故选：C． 【题型16 电子钟示数的镜面对称】 解题关键：电子钟的数字是液晶数字，镜面对称仍遵循“左右相反”，牢记液晶数字的对称规律：0→0，1→1，2→5，5→2，8→8，3、4、6、7、9无对称数字，结合“左右相反”判断示数。 【典例16】．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 跟随训练16-1．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为， 故选：C． 跟随训练16-2．时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了应用轴对称的性质来分析实际问题．根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：在时钟在水中的倒影与现实中的时钟恰好上下对称．由图可知时钟在水中的倒影是，它与成轴对称， 所以它的实际时间是． 故选：A． 05 过关•检测 1．地铁是城市轨道交通的一种，对提升城市综合承载力，缓解交通拥堵等具有重大意义．下列各城市的地铁图标中，是轴对称图形的为（   ） A．长春 B．北京 C．福州 D．长沙 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，该选项符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 故选：． 2．下列图案中是轴对称图形的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义， 可得：第一个图形不是轴对称图形， 第二个图形不是轴对称图形， 第三个图形是轴对称图形， 第四个图形不是轴对称图形， 第五个图形是轴对称图形， 第六个图形不是轴对称图形， 第七个图形是轴对称图形， 故共有3个轴对称图形． 故选：C． 3．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换，平行线的性质．根据长方形纸带的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减去即可得的度数． 【详解】解：如图：延长到H，由于纸带是长方形， ∴， ∴， 根据翻折不变性得， ∴， 又∵， ∴，． 在梯形中，， 根据翻折不变性，． 故选：C． 4．如图1，在长方形中，点E在边上，连接，且，分别沿直线折叠并压平，如图2，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、角的计算，由图形折叠的性质得到平分，平分，再利用角的和差得到，根据折叠可得，进而根据得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵，     ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，与的面积相等，故B、C选项正确； ∴是等腰三角形，故A选项正确； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项错误； 故选：D． 6．如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1： 过点P作于点E，连接，，则铺设管道路径是 方案2： 连接并延长交l于点F，连接PF，则铺设管道路径是 方案3： 作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道路径是 方案4： 作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可求解． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于点G，则点G为所求燃气站的位置． 故选：C． 7．如图，将一张长方形纸按图中虚线对折，再沿直线剪开，再把它展开后得到，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了剪纸问题，轴对称图形．依据折叠即可得到，进而得出是的对称轴，据此求解即可． 【详解】解：由题可得，是的对称轴， ∴， ，， 根据已知条件无法得出，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 8．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点，的位置．若，则 ． 【答案】68 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠前和折叠后对应角相等是解题的关键． 根据，可得，，再由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为：68 9．中，，以直角边所在的直线为对称轴，作的轴对称图形，则所得到的的形状一定是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查轴对称的性质．画出的轴对称图形即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 因为， 所以点B，A，在一条直线上． 由对称可知， ， 所以是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 10．将一张长方形纸沿虚线折叠，若 ，则 的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】该题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，准确找出图形中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来解答． 如图，由题意得，根据，即可解决问题． 【详解】解：由题意知：， ∵， 故答案为：． 11．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断白方落子的位置即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知：当白方落子于点A时，可以构成轴对称图形， 故答案为：A． 12．如图，点分别在三角形的边上，把三角形沿直线翻折后得．如果，那么的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义，角的计算，熟练掌握图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义是解决问题的关键． 由翻折性质得，进而得，则，然后根据即可得出答案． 【详解】解：由翻折性质得：， ∵点在边上，且， ∴， ∴． 故答案为：． 13．按如图方法折纸，下列说法正确的有 ． ①与互余        ②        ③与互补        ④平分 【答案】①②③ 【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角、角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键．由折叠的性质可得，得出，即可判断①；求出，即可判断②；根据①②结论及，即可判断③；根据即可判断④． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∴与互余，故①正确； ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， 与互补，故③正确； ∵， ∴不平分，故④错误． 故答案为：①②③． 14．如图，在中，，，M，N分别是边，上的动点，沿着直线将对折，点A的对称点是点．若，求的度数． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当在上方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ， ； 当在下方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ； 综上分析可知，此时或． 15．如图，和的顶点都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点（小正方形的顶点）上，且和关于直线成轴对称． (1)用直尺作出对称轴； (2)要在直线上找到一点，使的周长最小，淇淇的作法是直接连接，与直线的交点为点，淇淇的作法_____________；（填“正确”或“不正确”） (3)用尺规在直线上找一点，使．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)见解析 (2)正确； (3)见解析 【分析】题目主要考查轴对称图形的性质，周长最短问题，线段垂直平分线的性质等，理解题意，熟练掌握是解题关键． （1）连接，利用网格即可确定m； （2）根据轴对称图形的性质及两点之间线段最短即可判断； （3）根据题意作线段AC的垂直平分线交m于点O，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线m即为所求； （2）如图所示，淇淇的作法正确； （3）如图所示：点O即为所求． 16．如图，平面内直线外有两个点C和D，请按要求完成下列问题： (1)画射线，线段； (2)尺规作图（保留作图痕迹）：反向延长线段，并在此延长线上取一点E，使； (3)画的平分线，并在此角平分线上取一点P，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作射线、线段，作一条线段等于已知线段，作已知角的平分线，两点之间线段最短．熟练掌握作直线、射线、线段，两点之间线段最短是解题的关键． （1）根据直线、射线的定义作图即可； （2）作出，即可； （3）根据作已知角的平分线的作法画出角平分线，连接交射线于点P，即可． 【详解】（1）解：如图，射线，线段即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，角平分线，点P即为所求． 17．探究与实践 【初步探究】（1）将一张长方形纸片按下图的方式折叠，，为折痕，求的度数；以下是美美的解题过程，请帮她补充完整： 解：由折叠可知，； 由平角的定义得：_____． 所以，（_____＋_____）； ……（请继续完成后面的解题过程） 【类比探究】（2）将一张长方形纸片按图②的方式折叠，、为折痕，，求的度数； 【拓广探究】（3）将一张长方形纸片按图③的方式折叠，、为折痕，，则_____．（直接写结果，用含的最简式子表示）． 【答案】（1）；；，；（2）；（3）拓广探究： 【分析】本题主要考查了翻折的性质，角的和差，解题的关键是掌握翻折的性质． （1）根据翻折的性质和平角的定义进行求解即可； （2）根据翻折的性质和平角的定义进行求解即可； （3）翻折的性质和平角的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）由折叠可知，； 由平角的定义得：， 所以，． 故答案为：180，，，； （2）∵， ∴， 由翻折的性质得，； ； （3）∵， ∴， 由翻折的性质得，； ． 18．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则______； (2)折叠长方形纸片，，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为______．（用含n的式子表示） 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，，然后求出，进而求解即可； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， 由折叠知，． （2）解：①由折叠知，，， ∴当点在上时， ； ②∵ ∴ 由折叠知，，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ∵，， ∴， ∴由折叠得，． 19．【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【答案】（1）相等，见解析；（2）见解析；（3）；（4）8 【分析】（1）根据余角的性质，解答即可． （2）根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，解答即可． （3）根据光的反射原理，三角形内角和，三角形外角性质，解答即可． （4）根据光的反射原理，平行线的判定，规律的探索解答即可． 本题考查了余角的性质，平角的定义，平行线的判定，三角形内角和，光的反射定律，熟练掌握平行线的判定，光的反射定律是解题的关键． 【详解】（1）证明：和之间的数量关系是，理由如下： 根据题意，得， 又， ， ． （2）解：根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，画图如下： 则即为所求． （3）解：如图，连接， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （4）解：如图，， ， ， , 根据反射原理，得第一次入射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据反射原理，得第二次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据光的反射原理，得第三次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， 由此得到规律，每次反射时，入射光线与平面镜的夹角依次为， 根据题意，当第八次时，反射光线与平面镜的夹角为， 故 ， 故答案为：8． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2轴对称同步讲义 （5大知识点+16大题型+过关检测） 目录 【知识点1：轴对称图形与成轴对称的两个图形】 1 【知识点2：轴对称的基本特征】 2 【知识点3：线段垂直平分线】 2 【知识点4：尺规作图】 2 【知识点5：镜面对称】 3 【题型1 轴对称图形的识别】 4 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 4 【题型3 作已知线段的垂直平分线】 5 【题型4 作垂线（尺规作图）】 6 【题型5 根据成轴对称图形的特征进行判断】 7 【题型6 根据成轴对称图形的特征进行求解】 8 【题型7 作角平分线（尺规作图）】 9 【题型8 台球桌面上的轴对称问题】 10 【题型9 轴对称中的光线反射问题】 11 【题型10 折叠问题】 12 【题型11 画对称轴】 13 【题型12 画轴对称图形】 13 【题型13 求对称轴条数】 14 【题型14 车牌号码的镜面对称】 15 【题型15 钟表的镜面对称】 15 【题型16 电子钟示数的镜面对称】 16 1. 理解轴对称图形和成轴对称的两个图形的定义，能准确区分两者的联系与区别，能识别生活中的轴对称图形、成轴对称的两个图形。 2. 掌握轴对称的基本特征，明确对称轴的定义，能判断轴对称图形的对称轴，掌握对称轴的性质（对称轴垂直平分对应点的连线）。 3. 掌握尺规作图的基本方法，能熟练作出已知线段的垂直平分线、已知角的平分线、已知直线的垂线，规范作图步骤并标注。03 知识•梳理 【知识点1：轴对称图形与成轴对称的两个图形】 1. 轴对称图形（一个图形） 如果一个图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。 关键说明：轴对称图形是一个图形自身的对称关系，对称轴是一条直线，一个轴对称图形可能有1条或多条对称轴。 常见例子：等腰三角形（1条）、正方形（4条）、圆（无数条）、长方形（2条）、正五角星（5条）。 2. 成轴对称的两个图形（两个图形） 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（对称点）。 关键说明：成轴对称是两个图形之间的对称关系，对称轴是连接两个图形对应点连线的垂直平分线，两个图形的形状、大小完全相同。 3. 两者的联系与区别 · 联系：都有对称轴，折叠后能够重合，对应边相等、对应角相等；把成轴对称的两个图形看作一个整体，就是一个轴对称图形。 · 区别：轴对称图形是“一个图形”，成轴对称是“两个图形”；轴对称图形的对称轴是自身的对称轴，成轴对称的两个图形的对称轴是两个图形的公共对称轴。 【知识点2：轴对称的基本特征】 1. 对应点：成轴对称的两个图形（或轴对称图形的两部分），对应点的连线被对称轴垂直平分（核心性质）。 2. 对应边：对应边相等，对应边所在直线与对称轴的夹角相等。 3. 对应角：对应角相等。 4. 对称轴：对称轴是一条直线，不能是线段或射线；轴对称图形的对称轴是它自身的对称轴，成轴对称的两个图形的对称轴是公共对称轴。 【知识点3：线段垂直平分线】 一、定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 二、性质定理（必考） 线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。 几何语言：∵ 直线 l 垂直平分 AB，点 P 在 l 上∴ PA=PB 三、判定定理（逆定理） 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵ PA=PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 【知识点4：尺规作图】 1. 作已知线段的垂直平分线 作图步骤： 1. 已知线段AB，分别以点A、B为圆心，以大于½AB的长为半径作弧，两弧分别交于点C、D； 2. 连接CD，直线CD即为线段AB的垂直平分线。 关键提醒：半径必须大于½AB，否则两弧无法相交；CD是直线，不是线段。 2. 作已知直线的垂线（尺规作图） 情况1：过直线上一点作已知直线的垂线 1. 已知直线l和直线上一点P，以P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于A、B两点； 2. 分别以A、B为圆心，以大于½AB的长为半径作弧，两弧交于点C； 3. 连接CP，直线CP即为过点P且垂直于直线l的垂线。 情况2：过直线外一点作已知直线的垂线 1. 已知直线l和直线外一点P，以P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A、B两点； 2. 分别以A、B为圆心，以大于½AB的长为半径作弧，两弧交于点C； 3. 连接CP，直线CP即为过点P且垂直于直线l的垂线。 3. 作已知角的平分线 作图步骤： 1. 已知∠AOB，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D； 2. 分别以C、D为圆心，以大于½CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E； 3. 连接OE，射线OE即为∠AOB的平分线。 关键提醒：第二步的半径必须大于½CD，两弧要在角的内部相交；OE是射线，不是直线。 【知识点5：镜面对称】 镜面对称的本质是“关于镜面对称”，相当于把图形沿镜面（对称轴）折叠，镜面中的像与原图形成轴对称，特点如下： · 像与原图形的形状、大小完全相同，对应点的连线被镜面垂直平分； · 像与原图形是“左右相反”（或上下相反，取决于镜面放置方向）的，即左右对称。 常见应用：车牌号码、钟表、电子钟示数的镜面对称，核心是判断“左右相反”后的对应图形。 易错点提醒 · 混淆“轴对称图形”与“成轴对称的两个图形”：前者是一个图形，后者是两个图形； · 尺规作图时，忽略半径要求（如作垂直平分线时半径不大于½线段长），或作图后不标注关键点、对称轴； · 误认为对称轴是线段或射线，实则对称轴是直线； · 解决镜面对称问题时，忽略“左右相反”的特点，导致判断错误； · 折叠问题中，忽略折叠的对称性（对应边相等、对应角相等、对应点连线被对称轴垂直平分），无法转化条件。 04 题型•汇总 【题型1 轴对称图形的识别】 解题关键：紧扣轴对称图形的定义，判断一个图形是否能沿某一条直线折叠，使直线两旁的部分完全重合，注意区分“一个图形”的自身对称。 【典例1】．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 跟随训练1-1．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【题型2 成轴对称的两个图形的识别】 解题关键：紧扣成轴对称的定义，判断两个图形是否能沿某一条直线折叠后完全重合，注意区分“两个图形”的对称关系，与轴对称图形区分开。 【典例2】．下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 跟随训练2-2．下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 作已知线段的垂直平分线】 解题关键：严格按照尺规作图步骤，牢记“以线段两端为圆心，大于½线段长为半径作弧，连接两弧交点得垂直平分线”，作图规范，标注关键点和对称轴。 【典例3】．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练3-2．已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【题型4 作垂线（尺规作图）】 解题关键：分两种情况（过直线上一点、过直线外一点），严格按照尺规作图步骤，牢记“作弧交直线于两点，再作两弧交点，连接交点与已知点得垂线”，标注清晰。 【典例4】．观察图中尺规作图的痕迹，下列说法正确的是（    ） A．作已知线段的垂直平分线 B．作一个角等于已知角 C．经过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角的平分线 跟随训练4-1．如图，在锐角中，，若甲乙两名同学分别用尺规作该三角形的高，作法如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 跟随训练4-2．某班开展“用直尺和圆规作垂线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中直线为直线l的垂线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型5 根据成轴对称图形的特征进行判断】 解题关键：利用轴对称的特征（对应点连线被对称轴垂直平分、对应边相等、对应角相等），判断选项是否符合轴对称的性质，规避易错点。 【典例5】．如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 跟随训练5-2．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【题型6 根据成轴对称图形的特征进行求解】 解题关键：利用轴对称的核心特征（对应点连线被对称轴垂直平分、对应边相等、对应角相等），结合已知条件，求线段长度、角度大小等。 【典例6】．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．如图，内有一点，分别是关于的对称点，交于，交于，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 作角平分线（尺规作图）】 解题关键：严格按照尺规作图步骤，牢记“以角顶点为圆心作弧交两边，再以交点为圆心作弧交角内部，连接顶点与交点得角平分线”，作图规范，标注关键点和角平分线。 【典例7】．如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点C'，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点E、F、G，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．如图是作的平分线的两种方案，对于两种方案的判断正确的是（   ） 甲方案 将两个完全一样的三角板长直角边放在边和上、移动三角板，使短直角边的锐角顶点重合在一点，记为点P，作射线． 乙方案 用刻度尺在和上分别取，再用刻度尺量取的长，取其中点，记为点P，作射线． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 跟随训练7-2．如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（ ） A． B． C． D． 【题型8 台球桌面上的轴对称问题】 解题关键：利用轴对称的性质，将台球的运动轨迹转化为“沿对称轴折叠后的直线轨迹”，即台球撞击桌边（对称轴）后，反射角等于入射角，对应点关于桌边对称。 【典例8】．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 跟随训练8-1．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 跟随训练8-2．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【题型9 轴对称中的光线反射问题】 解题关键：光线反射问题与台球运动问题原理相同，利用轴对称，将反射光线转化为入射光线关于反射面（对称轴）的对称光线，即反射角等于入射角，对应点关于反射面对称。 【典例9】．如图，镜面与水平桌面的夹角，光线经平面镜反射到水平天花板，与反射光线的夹角，则光线与天花板所形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练9-1．如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 跟随训练9-2．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【题型10 折叠问题】 解题关键：折叠的本质是“轴对称”，折叠后重合的部分关于折痕（对称轴）成轴对称，对应边相等、对应角相等、对应点连线被折痕垂直平分，利用这些性质转化条件求解。 【典例10】．如图，将正方形分别沿、折叠，使得点与点重合，点与点重合，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 跟随训练10-1．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．平分 B． C．与互余 D．与互补 跟随训练10-2．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A． B．与互余 C． D．与互补 【题型11 画对称轴】 解题关键：根据轴对称图形的特征，找图形的对称点，连接对称点，作对称点连线的垂直平分线，即为对称轴；若图形有多条对称轴，需逐一画出。 【典例11】．下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟随训练11-1．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 跟随训练11-2．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【题型12 画轴对称图形】 解题关键：按照“找关键点→作对应点→连对应点”的步骤，先找出原图形的关键点，再分别作每个关键点关于对称轴的对称点，最后按原图形形状连接各对应点，得到轴对称图形。 【典例12】．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 跟随训练12-1．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 跟随训练12-2．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型13 求对称轴条数】 解题关键：牢记常见轴对称图形的对称轴条数，结合图形的特征，逐一判断，避免漏数或多数。 【典例13】．下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．圆 跟随训练13-1．下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练13-2．古有诗云“刺绣五纹添弱线，吹葭六琯动浮灰”，描述的便是我国民间传统艺术—刺绣，如图所示的刺绣图案的对称轴有（    ） A．1条 B．2条 C．4条 D．6条 【题型14 车牌号码的镜面对称】 解题关键：利用镜面对称“左右相反”的特点，将车牌号码沿镜面对折，找出每个数字、字母的对称图形，注意数字（0、1、8对称后不变，2↔5，3、4、6、7、9无对称数字）和字母的对称规律。 【典例14】．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 跟随训练14-1．一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 跟随训练14-2．小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 【题型15 钟表的镜面对称】 解题关键：钟表的镜面对称，本质是“12点与6点的连线为对称轴”，左右相反，也可利用“镜子中的时间+实际时间=12:00”（12小时制）快速求解（忽略分钟数时，小时数之和为12）。 【典例15】．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 跟随训练15-1．李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 跟随训练15-2．小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【题型16 电子钟示数的镜面对称】 解题关键：电子钟的数字是液晶数字，镜面对称仍遵循“左右相反”，牢记液晶数字的对称规律：0→0，1→1，2→5，5→2，8→8，3、4、6、7、9无对称数字，结合“左右相反”判断示数。 【典例16】．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 跟随训练16-1．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（   ） A． B． C． D． 跟随训练16-2．时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 05 过关•检测 1．地铁是城市轨道交通的一种，对提升城市综合承载力，缓解交通拥堵等具有重大意义．下列各城市的地铁图标中，是轴对称图形的为（   ） A．长春 B．北京 C．福州 D．长沙 2．下列图案中是轴对称图形的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图1，在长方形中，点E在边上，连接，且，分别沿直线折叠并压平，如图2，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 6．如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1： 过点P作于点E，连接，，则铺设管道路径是 方案2： 连接并延长交l于点F，连接PF，则铺设管道路径是 方案3： 作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道路径是 方案4： 作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 7．如图，将一张长方形纸按图中虚线对折，再沿直线剪开，再把它展开后得到，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点，的位置．若，则 ． 9．中，，以直角边所在的直线为对称轴，作的轴对称图形，则所得到的的形状一定是 ． 10．将一张长方形纸沿虚线折叠，若 ，则 的度数为 ． 11．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 12．如图，点分别在三角形的边上，把三角形沿直线翻折后得．如果，那么的度数为 ． 13．按如图方法折纸，下列说法正确的有 ． ①与互余        ②        ③与互补        ④平分 14．如图，在中，，，M，N分别是边，上的动点，沿着直线将对折，点A的对称点是点．若，求的度数． 15．如图，和的顶点都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点（小正方形的顶点）上，且和关于直线成轴对称． (1)用直尺作出对称轴； (2)要在直线上找到一点，使的周长最小，淇淇的作法是直接连接，与直线的交点为点，淇淇的作法_____________；（填“正确”或“不正确”） (3)用尺规在直线上找一点，使．（保留作图痕迹，不要求写作法） 16．如图，平面内直线外有两个点C和D，请按要求完成下列问题： (1)画射线，线段； (2)尺规作图（保留作图痕迹）：反向延长线段，并在此延长线上取一点E，使； (3)画的平分线，并在此角平分线上取一点P，使得最小． 17．探究与实践 【初步探究】（1）将一张长方形纸片按下图的方式折叠，，为折痕，求的度数；以下是美美的解题过程，请帮她补充完整： 解：由折叠可知，； 由平角的定义得：_____． 所以，（_____＋_____）； ……（请继续完成后面的解题过程） 【类比探究】（2）将一张长方形纸片按图②的方式折叠，、为折痕，，求的度数； 【拓广探究】（3）将一张长方形纸片按图③的方式折叠，、为折痕，，则_____．（直接写结果，用含的最简式子表示）． 18．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则______； (2)折叠长方形纸片，，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为______．（用含n的式子表示） 19．【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $