精品解析：2026年山东济南市历下区九年级学业水平第一次模拟考试数学试题

2026年九年级学业水平第一次模拟考试 数学试题 考试时间120分钟满分150分 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中为无理数的是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、2026是整数，是有理数，不符合题意； B、是整数，是有理数，不符合题意； C、是分数，是有理数，不符合题意； D、是无理数，符合题意． 2. 如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看的图形即可得到答案． 【详解】解：从上面看的图形分为上下两层，共三列，左边起第一列上下两层各有一个正方形，第二列和第三列上面一层各有一个小正方形，即看到的图形如下： 3. “十四五”期间，济南市打造了市一体化大数据平台，建成全市通用共享“数据湖”，累计汇聚数据约47400000000条，有效支撑了多种应用场景．数据47400000000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；  B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；  C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：与不是同类项，不能合并，A错误； B选项：根据同底数幂乘法法则，可得，B错误； C选项：根据积的乘方法则，可得，C错误； D选项：根据幂的乘方法则，可得，D正确． 6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数在数轴上的对应点的位置确定其大小及绝对值的大小，依次判断对错即可 【详解】解：A．∵表示数a的点比表示数b的点离原点远，∴，故正确； B．∵且，∴，故不正确； C．∵，∴，故不正确； D．由数轴可知：，故不正确 7. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故A选项正确，不符合题意； B、根据题意得：，故B选项正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确，不符合题意； 8. 2026年央视春晚创新推出智能互动红包活动，在晚会直播期间，观众可以参与三轮抢红包活动，如果小明和小红都只参与了其中一轮，那么小明和小红参与的是同一轮的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，进而得到所有等可能结果数与符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：将三轮抢红包分别记为1、2、3，可画出树状图如下， 由树状图可知，所有等可能的结果总数为9种，小明和小红参与同一轮的情况共3种， ∴所求概率． 9. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线； ②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接． 根据以上作图，若，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．根据作图步骤可知平分，垂直平分，从而得出，点到、的距离相等．过点作于，交的延长线于，通过证明和，利用线段的和差关系求出的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于，交的延长线于， 由作图步骤①可知，平分，  ，，  ，， 在和中， ，  ， ， 由作图步骤可知，垂直平分，点在上，  ，  ，  ， 在和中， ，  ，  ，  ，，  ， ，  ，  ， 解得， 在中，， 即点到直线的距离为． 10. 如图，在中，为边上的中线，将沿射线的方向平移得，设平移的距离为，与重叠的面积为与的函数图象如图2所示，有以下结论：①；②的面积为；③点在与的函数图象上；④的最大值为．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移及函数图象结合，列出与的函数关系式，逐一判断结论是否正确即可. 【详解】解：由图象可知，当时，， 即：与重叠的面积为， 此时，与重合，，∴①正确； 当时，，与重合，与重合，令与的交点为， ∵，为的中点， ∴为中点， ∵， ∴， ∴，∴②正确； 当时，连接， ∵， ∴， ∴，即：， 同理：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴即：， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 即当时，，∴④正确； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 当时，，∴③错误． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方砖的形状和大小都是一样的，且方砖共有9块，白色方砖有2块， ∴小球停留在阴影区域的概率是． 13. 如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算正六边形的内角，再利用平行四边形的对角相等得到，根据图形即可求出的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， ， 四边形是平行四边形，， ， ． 14. 小云和小涛分别从相距的A，B两地同时出发，相向而行．小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间．若两人距A地的距离与时间的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为______h． 【答案】 【解析】 【分析】运用待定系数法求出小云距A地的距离y与时间x的函数关系式，当时，小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式，联立两个关系式，即可求解． 【详解】解：设小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为， 由图可得该函数图象过点， ∴，解得， ∴小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为． 当时，设小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为， 由图可得该函数图象过点，， ∴，解得， ∴当时，小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为， 解方程组，得， ∴两人相遇的时间为． 15. 如图，正方形纸片的边长为4，点是边的中点，连接，先将纸片沿直线折叠，使点落在四边形内的点处，延长交于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，推出，设，则，，表示出，如图，连接，证明出，得到，表示出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为4， ∴， ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ 由折叠得，， ∴ ∴ ∴设，则，， 由折叠得，，，， ∴ 如图，连接 由折叠得， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由折叠得， ∴在中， ∴ 解得或 当时，，不符合题意，舍去； ∴ ∴． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：解不等式， 去括号得， 移项，合并同类项得； 解不等式， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为． 18. 已知：如图，在菱形中，E，F是对角线上两点，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由四边形是菱形得到，则，即可证明，则，即可得到结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 19. 如图，在四边形中，，，，，，连接． （1）求平行线与间的距离； （2）求的值．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（）过点作，利用求出，在中用三角函数算出，得到与间的距离 （）过点作，由（）得；在中用三角函数求出，进而算出；再用勾股定理求出，最后根据正弦定义算出的值． 【小问1详解】 解：过点作交的延长线于点， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 即平行线与间的距离为； 【小问2详解】 解：过点作于点， 由（）知， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∴． 20. 如图，为的直径，点为上一点，连接，点是的中点，连接，，弦与弦交于点，点在的延长线上，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的切线判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的应用．理解圆周角定理及相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据圆周角定理和弧的中点性质，先得到，然后结合证明，再利用圆周角定理的推论，最后得出，证明是切线． （2）根据相似三角形的判定定理，先证明，然后利用相似比建立等量关系，再结合锐角三角函数和，最后求解的长度． 【小问1详解】 解：在中， 是所对的圆周角 ， ， ， 是的直径， ， ， ，即， ， 是的切线． 【小问2详解】 解：点是的中点， ， ， 在中，， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 21. 为了解青年人才在济发展需求，某学校组织八年级学生针对来济就业且毕业5年内的青年人才进行问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出相关信息： a．调查问卷的部分信息如下： 调查问卷 请根据实际情况回答问题，只能选择一项： 以下四项服务中，您最希望得到的是（ ） A．人才公寓 B．技能培训 C．子女托管 D．交友联谊 b．不完整的条形统计图和扇形统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次共调查了______名青年人才； （2）扇形统计图中“技能培训”对应的圆心角为______度； （3）请补全条形统计图； （4）按照“项目赋能年”规划，2026年济南市计划引进3000名青年人才．根据本次调查的数据，请估计最希望得到人才公寓服务的人数． 【答案】（1）； （2）； （3）见解析 （4）人． 【解析】 【分析】（1）根据交友联谊的人数和所占百分比求解即可； （2）用乘以技能培训的人数占比求解即可； （3）先求出调查中最希望得到人才公寓服务的人数，再补全条形统计图即可； （4）用3000名青年人才乘以最希望得到人才公寓服务的人数占比求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次共调查了名青年人才； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：调查中最希望得到人才公寓服务的人数为（人）， 补全条形统计图 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计最希望得到人才公寓服务的人数为人． 22. 随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划》的推进，青少年的健身意识逐步增强．某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳．据了解，A型计数跳绳的单价比B型计数跳绳的单价低元，用元购买A型计数跳绳的数量和用元购买B型计数跳绳的数量相同． （1）求两种型号计数跳绳的单价； （2）该运动场馆计划购买两种型号的计数跳绳共根，且A型计数跳绳的购买数量不超过B型计数跳绳购买数量的2倍．购买A型计数跳绳多少根时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）A型计数跳绳单价为元，B型计数跳绳单价为元 （2）购买A型计数跳绳根时采购费用最少，最少采购费用为元 【解析】 【分析】本题主要考查了运用分式方程解应用题，不等式的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）设A型计数跳绳单价为x元，B型计数跳绳单价为元，根据题意，得，解方程即可； （2）设购买A型计数跳绳a根，则购买B型计数跳绳数量为根，且，根据题意，得，解答即可． 【小问1详解】 解：设A型计数跳绳单价为x元，B型计数跳绳单价为元， 根据题意，得 ， 解得 经检验是原方程的解． 此时．： 答：A型计数跳绳单价为元，B型计数跳绳单价为元． 【小问2详解】 解：设购买A型计数跳绳a根，则购买B型计数跳绳数量为根，即，，且a为非负整数， 根据题意，得 由，得w随a增大而减小， ，且a为非负整数， ∴当时，w取得最小值，最小值为(元)， 答：购买A型计数跳绳根时采购费用最少，最少采购费用为元． 23. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）为反比例函数图象上的一点，设其横坐标为． ①如图1，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于，当时，求的长度； ②如图2，连接，若，求的值． 【答案】（1） ，； （2） ①② 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入直线解析式求出，再代入反比例函数解析式求得即可； （2）①过点作轴于交于点，通过论证，列出，求出，进而得到点坐标，根据， 在直线上，求出点坐标，即可求出结论； ②过点作交的延长线于点，过作轴于，过点作于点，通过论证，得出点坐标 ，代入直线的解析式即可求得结果. 【小问1详解】 解：∵在直线上， ∴，解得：， ∵在反比例函数图象上， ∴； 【小问2详解】 ①过点作轴于交于点， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵轴， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴； ②解：过点作交的延长线于点，过作轴于，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：， 即：， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∵， ∴ 24. 二次函数的图象经过，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求二次函数的表达式和顶点的坐标； （2）将二次函数的图象沿直线平移得到一个新函数的图象M，顶点为． ①如图1，连接，，，求的面积； ②如图2，设新函数的图象M与轴交于点和，连接，，，若，求新函数的表达式． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的表达式和顶点的坐标即可； （2）①利用待定系数法求出直线的表达式，根据图象平移的性质得到，连接、，过点D向轴作垂线，交于点H，垂足为点P，过点C作于点Q，利用进行求解即可； ②根据求出直线的解析式，设点，、，则新抛物线表达式为，由韦达定理得到，根据角平分线定理得到，进而得到，求出的值，从而得到新抛物线的表达式． 【小问1详解】 解：将点，代入得： ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为， 将代入得：， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①将代入得：， ， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 函数的图象沿直线平移得到图象M，顶点为， ， ， 连接、，过点D向轴作垂线，交于点H，垂足为点P，过点C作于点Q，如图： 轴、， 将代入得：， ， 、、， ， ， ， 即， ； ②由①可知，直线的表达式为、， 则设直线的表达式为， 将点代入得：， 解得， 直线的表达式为， 设点， 则新抛物线表达式为， 设、， 令得：， 由韦达定理得：， ， ， 、、、， ， 即， 交叉相乘得：， 整理得：， 令或， 解得（舍去）或， ， 解得或（舍去）， 当时，， ， 新抛物线表达式为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、角平分线性质定理、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象性质、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 25. 在矩形中，，连接对角线．在中，，． （1）如图1，当点分别在边上时，请完成填空：______，______； （2）将图1中的绕点按逆时针方向旋转，连接． ①如图2，当点在边的延长线上时，求线段的长； ②如图3，若点在线段上，且，连接，求线段的最大值． 【答案】（1）6； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）可证明，利用相似三角形的性质可得的长，利用勾股定理求出的长，再求出的长即可得到答案； （2）①可证明，得到；由勾股定理得，则，据此可得答案②在上截取，连接，则，，可证明，得到；可求出；根据，可得当D、T、H三点共线时，有最大值，最大值为． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴； 由（1）知， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，在上截取，连接，则，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴当D、T、H三点共线时，有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业水平第一次模拟考试 数学试题 考试时间120分钟满分150分 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中为无理数的是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. “十四五”期间，济南市打造了市一体化大数据平台，建成全市通用共享“数据湖”，累计汇聚数据约47400000000条，有效支撑了多种应用场景．数据47400000000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 2026年央视春晚创新推出智能互动红包活动，在晚会直播期间，观众可以参与三轮抢红包活动，如果小明和小红都只参与了其中一轮，那么小明和小红参与的是同一轮的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线； ②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接． 根据以上作图，若，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，为边上的中线，将沿射线的方向平移得，设平移的距离为，与重叠的面积为与的函数图象如图2所示，有以下结论：①；②的面积为；③点在与的函数图象上；④的最大值为．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 因式分解：___________． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 13. 如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 14. 小云和小涛分别从相距的A，B两地同时出发，相向而行．小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间．若两人距A地的距离与时间的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为______h． 15. 如图，正方形纸片的边长为4，点是边的中点，连接，先将纸片沿直线折叠，使点落在四边形内的点处，延长交于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，则______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 已知：如图，在菱形中，E，F是对角线上两点，连接．求证：． 19. 如图，在四边形中，，，，，，连接． （1）求平行线与间的距离； （2）求的值．（参考数据：，，） 20. 如图，为的直径，点为上一点，连接，点是的中点，连接，，弦与弦交于点，点在的延长线上，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 21. 为了解青年人才在济发展需求，某学校组织八年级学生针对来济就业且毕业5年内的青年人才进行问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出相关信息： a．调查问卷的部分信息如下： 调查问卷 请根据实际情况回答问题，只能选择一项： 以下四项服务中，您最希望得到的是（ ） A．人才公寓 B．技能培训 C．子女托管 D．交友联谊 b．不完整的条形统计图和扇形统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次共调查了______名青年人才； （2）扇形统计图中“技能培训”对应的圆心角为______度； （3）请补全条形统计图； （4）按照“项目赋能年”规划，2026年济南市计划引进3000名青年人才．根据本次调查的数据，请估计最希望得到人才公寓服务的人数． 22. 随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划》的推进，青少年的健身意识逐步增强．某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳．据了解，A型计数跳绳的单价比B型计数跳绳的单价低元，用元购买A型计数跳绳的数量和用元购买B型计数跳绳的数量相同． （1）求两种型号计数跳绳的单价； （2）该运动场馆计划购买两种型号的计数跳绳共根，且A型计数跳绳的购买数量不超过B型计数跳绳购买数量的2倍．购买A型计数跳绳多少根时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 23. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）为反比例函数图象上的一点，设其横坐标为． ①如图1，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于，当时，求的长度； ②如图2，连接，若，求的值． 24. 二次函数的图象经过，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求二次函数的表达式和顶点的坐标； （2）将二次函数的图象沿直线平移得到一个新函数的图象M，顶点为． ①如图1，连接，，，求的面积； ②如图2，设新函数的图象M与轴交于点和，连接，，，若，求新函数的表达式． 25. 在矩形中，，连接对角线．在中，，． （1）如图1，当点分别在边上时，请完成填空：______，______； （2）将图1中的绕点按逆时针方向旋转，连接． ①如图2，当点在边的延长线上时，求线段的长； ②如图3，若点在线段上，且，连接，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $