精品解析：2024年山东省济南市历下区私立济南齐鲁学校九年级数学中考一模前模拟试卷（二）

齐鲁学校九年级数学一模前模拟 一、选择题 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. 4 2. 第七次人口普查显示，济南市历下区常住人口约为820000人，将数据820000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由8个相同小正方体组成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（ ） A 120° B. 130° C. 140° D. 150° 5. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（　　） A. （﹣2a3）2＝4a6 B. a2•a3＝a6 C. 3a+a2＝3a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 7. 从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m，n，那么点在反比例函数图象上的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若二次函数的图像如图所示，则一次函数在坐标系内的大致图像为（ ） A. B. C D. 9. 如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，，则长度的最小值为（　　） A. B. C. 4 D. 10. 已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 因式分解：__________． 12. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____． 13. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于______． 14. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则_____． 15. 两地相距240千米，早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．甲、乙两车离开各自出发地的路程、（千米）与甲车出发的时间t（小时）之间的关系如图所示，下列描述中不正确的有_________． ①甲车的平均速度是60千米/小时； ②乙车的平均速度是80千米/小时； ③甲车与乙车在早上10点相遇； ④两车在10：40或10：58时相距20千米． 16. 如图，点O是正方形的中心，．中，，过点D．分别交于点G、M，连接．若， ，则的长______． 三、解答题 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并写出它的正整数解． 19. 如图，在菱形中，M，N分别是和上的点，且．求证：． 20. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高学生一共有多少人，并说明理由． 21. 为方便市民绿色出行，聊城市政府推出共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在地面上的实物图，图②是其示意图，其中，均与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到的距离为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约78cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度，求的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，） 22. 如图，AB是的直径，点C是上一点，过点B作的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，点E是上一点，，连接BE交AC于点H，. （1）求证：； （2）若BD=5，求AB长. 23. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A，B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元． （2）若购买A，B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？ 24. 如图，直线y=ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD． （1）求a和b的值； （2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积； （3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的解析式． （2）D为直线上方抛物线上一动点． ①连接交于点E，若，求点D的坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 26. 某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题： 如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠CAB=∠EAD=60°，点E，A，C在同一条直线上，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由． （1）问题探究：小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF=CF，以下是她的证明过程 证明：延长线段EF交CB的延长线于点G． ∵F是BD的中点， ∴BF=DF． ∵∠ACB=∠AED=90°， ∴ED∥CG． ∴∠BGF=∠DEF． 又∵∠BFG=∠DFE， ∴△BGF≌△DEF（______ ）． ∴EF=FG． ∴CF=EF=EG． 请根据以上证明过程，解答下列两个问题： ①在图1中作出证明中所描述的辅助线； ②在证明括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）． （2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状． （3）问题拓展：如图2，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE，延长DE交BC的延长线于点P，其他条件不变，判断△CEF的形状并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐鲁学校九年级数学一模前模拟 一、选择题 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 第七次人口普查显示，济南市历下区常住人口约为820000人，将数据820000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层最左边两个小正方形，第三层最左边一个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图． 4. 已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（ ） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：∠5=30°， ∵， ∴∠3=∠1=120°， ∴∠4=∠3=120°， ∵∠2=∠4+∠5， ∴∠2=120°+30°=150°． 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质是解题的关键． 5. 下列图形中，是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 6. 下列运算正确的是（　　） A. （﹣2a3）2＝4a6 B. a2•a3＝a6 C. 3a+a2＝3a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个选项中的运算，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：∵（﹣2a3）2＝4a6，故选项A正确； ∵a2•a3＝a5，故选项B错误； ∵3a+a2不能合并，故选项C错误； ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，掌握以上知识是解题的关键． 7. 从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m，n，那么点在反比例函数图象上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出，列表或画树状图找出所有的值，然后根据概率公式分析求解． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴． 画树状图如下： 共6种等可能结果，其中符合题意的有2种， ∴点在反比例函数图象上的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，掌握反比例函数图像上点的坐标特征及概率的概念是解题的关键． 8. 若二次函数的图像如图所示，则一次函数在坐标系内的大致图像为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象可以判断、、的符号，从而可以确定一次函数的图象经过的象限，即可求解． 【详解】解：由二次函数的图象可得，开口向上，对称轴在轴的右侧， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 9. 如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，，则长度的最小值为（　　） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点P作于T，过点C作于R，利用面积法求出，再证明，即可求出长度的最小值． 【详解】解：如图，过点P作于T，过点C作于R， 在中，，，， ， ， ， ， 由作图可知，平分， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 10. 已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线的解析式，再列出不等式，求出其解集或，从而可得当x=1时，，有成立，最后求出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线， ∴抛物线P与抛物线关于原点对称， 设点（x，y）在抛物线P’上，则点（-x，-y）一定在抛物线P上， ∴ ∴抛物线的解析式为， ∵当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若， 即 令， ∴， 解得：或， 设， ∵开口向下，且与x轴的两个交点为（0，0），（4a，0）， 即当时，要恒成立，此时， ∴当x=1时，即可， 得：， 解得：， 又∵ ∴ 故选A 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 二、填空题 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____． 【答案】140°． 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数． 【详解】解：该正九边形内角和， 则每个内角的度数． 故答案为140°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和． 13. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值． 【详解】把代入得， 解得， 而， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形中线平分三角形的面积，相似三角形的性质，解题的关键是证明，利用相似三角形的性质列方程． 由且为边的中线知，根据，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方列式求解可得． 【详解】解：∵，且为边的中线， ∴， ∵将沿边上的中线平移得到， ∴， ∴， 则，即， 解得或（舍）， 故答案为：2． 15. 两地相距240千米，早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．甲、乙两车离开各自出发地的路程、（千米）与甲车出发的时间t（小时）之间的关系如图所示，下列描述中不正确的有_________． ①甲车的平均速度是60千米/小时； ②乙车的平均速度是80千米/小时； ③甲车与乙车在早上10点相遇； ④两车在10：40或10：58时相距20千米． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了观察图象，利用图中信息解题的能力．关键是设未知数列方程解题．观察图象，找出时间，路程求速度，再设未知数列方程解题． 【详解】解：①由图可知，甲车1小时行驶了60千米， 故甲车的平均速度为60千米/小时；①正确． ②由图可知， 乙车的速度为千米/小时；②错误． ③设甲车与乙车在甲车出发x小时后相遇， 甲车在x小时的路程为千米， 乙车在x小时的路程为千米， ∴， 解得． 1.8小时1小时48分钟， 故甲车与乙车在10点48分相遇．③错误． ④在10：40时，两车还未相遇，经过8分钟相遇， 此时两车相距千米， 在10：58时，两车已相遇，并背向而行10分钟， 此时两车相距千米，故④错误． 故答案为：②③④． 16. 如图，点O是正方形的中心，．中，，过点D．分别交于点G、M，连接．若， ，则的长______． 【答案】 【解析】 【分析】过点F做于点H，根据求出的长度，再证明，求出的长度，证得，得出的结论，进而求得的长度． 【详解】解：如图，过点F做于点H， 正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形和全等三角形的判定，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 18. 解不等式组：，并写出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集为：．它的正整数解为：1，2． 【解析】 【分析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可． 【详解】解：， 不等式①的解集为：． 不等式②的解集为：． ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的正整数解为：1，2． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键． 19. 如图，在菱形中，M，N分别是和上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用证得三角形全等．根据四边形是菱形得到，从而证得，进一步得到，然后利用等边对等角证得结论即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ， ． 20. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 【答案】（1）20；4 （2）86.5 （3）该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人． 【解析】 【分析】（1）八年级D组：的频数为7÷D组占35%求出n，再利用样本容量减去其他四组人数÷2求即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）先求出七八年级不低于90分的人数，求出占样本的比，用两个年级总数×计算即可． 【小问1详解】 解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占35%， ∴进行冬奥会知识测试学生数为n=7÷35%=20， ∴， 故答案为：20；4； 【小问2详解】 解：A、B、C三组频率之和为5%+5%+20%=30%＜50%， A、B、C、D四组的频率之和为30%+35%=65%＞50%， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87， 88 ，89， ∵20×30%=6，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数为， 故答案为：86.5； 【小问3详解】 解：八年级E：，F：两组占1-65%=35%， 共有20×35%=7人 七年级E：，F：两组人数为3+1=4人， 两年级共有4+7=11人， 占样本， ∴该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有（人）． 【点睛】本题考查从频率直方图和扇形统计图获取信息与处理信息，样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键． 21. 为方便市民绿色出行，聊城市政府推出共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在地面上的实物图，图②是其示意图，其中，均与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到的距离为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约78cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度，求的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，） 【答案】（1）99.5cm；（2）5.7cm 【解析】 【分析】（1）过点E作EH⊥CD，垂足为G，交直线l于点H，利用锐角三角函数即可求出结果； （2）根据题意，在BE上取点E'，过点E'作E'P⊥CD于点P，利用锐角三角函数即可求出结果． 【详解】解：（1）如图②，过点E作，垂足为G，交直线l于点H， ∵， ∴， ∴等于车轮半径． 在中，， 即， ∴． 坐垫E到地面的距离为． （2）如图②，在上取点，过点作于点P， 当时， 在中，， 即， ∴， ∴ 所以的长为 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 22. 如图，AB是的直径，点C是上一点，过点B作的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，点E是上一点，，连接BE交AC于点H，. （1）求证：； （2）若BD=5，求AB长. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用推出，根据半径特性推出，从而证明，再根据和求出，即可求出. （2）利用切线长性质求出度数，从而求出度数，根据三角形外角定理求出的度数，最后利用正切的定义去求边长即可求出长度. 【小问1详解】 证明： ， . ， ， . 为的直径， ， . ， ， ， . 【小问2详解】 解是的切线， ， ， ， 在中， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是圆的圆周角、切线长性质、平行线性质.解题的难点在于是否能通过切线长性质和角度等量转化推出角的度数. 23. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A，B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元． （2）若购买A，B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】（1）A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元 （2）80件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元，根据题意列出分式方程解方程即可求解； （2）设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元， 依题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：A型学习用品单价是20元，B型学习用品的单价是30元． 【小问2详解】 解：设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买B型学习用品80件． 24. 如图，直线y=ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD． （1）求a和b的值； （2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积； （3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标． 【答案】（1）a=﹣2，b=2；（2）y=，4；（3）点M的坐标为（4，1）或（+1，﹣1） 【解析】 【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论； （2）先表示出点C，D坐标，进而代入反比例函数解析式中求解得出k，再判断出BC⊥AD，最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积； （3）分两种情况，构造全等的直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）将点A（1，0）代入y=ax+2，得0=a+2，∴a=﹣2，∴直线的解析式为y=﹣2x+2． 将x=0代入上式，得y=2，∴b=2． （2）由（1）知，b=2，∴B（0，2），由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）． 将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y=，得 ∴，∴反比例函数的解析式y=，点C（2，2）、点D（1，4）． 如图1，连接BC、AD． ∵B（0，2）、C（2，2），∴BC∥x轴，BC=2． ∵A（1，0）、D（1，4），∴AD⊥x轴，AD=4，∴BC⊥AD，∴S四边形ABD=×BC×AD=×2×4=4． （3）①当∠NCM=90°、CM=CN时，如图2，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E． 设点N（m，0）（其中m＞0），则ON=m，CE=2﹣m． ∵∠MCN=90°，∴∠MCF+∠NCE=90°． ∵NE⊥直线l于点E，∴∠ENC+∠NCE=90°，∴∠MCF=∠ENC． ∵∠MFC=∠NEC=90°，CN=CM，∴△NEC≌△CFM， ∴CF=EN=2，FM=CE=2﹣m， ∴FG=CG+CF=2+2=4，∴xM=4． 将x=4代入y=，得y=1，∴点M（4，1）； ②当∠NMC=90°、MC=MN时，如图3，过点C作直线l⊥y轴与点F，则CF=xC=2．过点M作MG⊥x轴于点G，MG交直线l与点E，则MG⊥直线l于点E，EG=yC=2． ∵∠CMN=90°，∴∠CME+∠NMG=90°． ∵ME⊥直线l于点E，∴∠ECM+∠CME=90°，∴∠NMG=∠ECM． 又∵∠CEM=∠NGM=90°，CM=MN，∴△CEM≌△MGN，∴CE=MG，EM=NG． 设CE=MG=a，则yM=a，xM=CF+CE=2+a，∴点M（2+a，a）． 将点M（2+a，a）代入y=，得a=．解得a1=﹣1，a2=﹣﹣1，∴xM=2+a=+1，∴点M（+1，﹣1）． 综合①②可知：点M的坐标为（4，1）或（+1，﹣1）． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查待定系数法，全等三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，构造出全等三角形是解本题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的解析式． （2）D为直线上方抛物线上一动点． ①连接交于点E，若，求点D的坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①D的坐标为或；②存在点D，使得，此时点 【解析】 【分析】（1）分别令和代入中可得点和点的坐标,利用待定系数法求抛物线的函数解析式； （2）①过点作轴于，交于点，证明，设点，，根据相似三角形性质建立方程求解即可； ②过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，先证明，然后设点，应用三角函数定义建立方程求解． 【小问1详解】 在中，令时，， ， 令时，， ， , 把，代入中得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； 【小问2详解】 ①如图1，过点作轴于，交于点， 设点，， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 即：， ， 解得：，， 点为直线上方抛物线上的点， 的坐标为或； ②存在点，使得，理由如下： 如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点， ， ， ， 在中，，， ， ， 设点，则，， ， 解得：， 点的坐标为； 存在点，使得，此时点． 【点睛】本题是二次函数的综合题，属于中考压轴题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、相似三角形判定与性质、平行线的性质、三角函数定义以及两函数的交点问题．熟练掌握二次函数的性质，相似三角形性质与判定以及正确添加辅助线是解答此题的关键． 26. 某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题： 如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠CAB=∠EAD=60°，点E，A，C在同一条直线上，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由． （1）问题探究：小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF=CF，以下是她的证明过程 证明：延长线段EF交CB的延长线于点G． ∵F是BD的中点， ∴BF=DF． ∵∠ACB=∠AED=90°， ∴ED∥CG． ∴∠BGF=∠DEF． 又∵∠BFG=∠DFE， ∴△BGF≌△DEF（______ ）． ∴EF=FG． ∴CF=EF=EG． 请根据以上证明过程，解答下列两个问题： ①在图1中作出证明中所描述的辅助线； ②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）． （2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状． （3）问题拓展：如图2，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE，延长DE交BC的延长线于点P，其他条件不变，判断△CEF的形状并给出证明． 【答案】（1）①作图见解析；②AAS； （2）∠CEF=60°，△CEF是等边三角形，理由见解析； （3）△CEF是等边三角形，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）①根据题意作辅助线即可；②根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）判断即可； （2）延长BA，DE相交于点H，可得∠H=30°；由△AED≌△AEH可得ED=EH，由（1）结论可得四边形BGEH是平行四边形∠G=∠H=30°，再由DE∥CG，∠DEF=∠H即可解答； （3）延长EF至G使，FG=EF，连接CG，由△DEF≌△BGF求得∠EEF=∠BGF，DE=BG，从而BG∥DP，根据平行线的性质和四边形内角和可得∠CAE=∠CBG；Rt△ADE和Rt△ABC中，由60°的正切三角函数可得；于是△BCG∽△ACE，∠BCG=∠ACE，；进而可得∠ECG=90°，解Rt△ECG便可解答； 【小问1详解】 解：①由题意作辅助线如下： ②∵△FBG和△FDE中：∠BFG=∠DFE，∠BGF=∠DEF，BF=DF， ∴△FBG≌△FDE（AAS）， 故答案为：AAS； 【小问2详解】 解：如图，延长BA，DE相交于点H， ∵∠BAC=60°，∴∠EAH=60°，∵∠AEH=90°，∴∠H=30°， ∵∠EAH=60°=∠EAD，∠AED=∠AEH=90°，AE=AE， ∴△AED≌△AEH（ASA），∴ED=EH， 由（1）②知，△BGF≌△DEF， ∴DE=BG，∴EH=BG， ∵DE∥BG，∴四边形BGEH是平行四边形，∴∠G=∠H=30°， ∵DE∥CG，∴∠DEF=∠H=30°， ∴∠CEF=∠AED-∠DEF=60°， ∵CF=EF， ∴△CEF是等边三角形； 【小问3详解】 解：如图，延长EF至G使，FG=EF，连接CG， ∵点F是BD的中点，∴DF=BF， ∵∠DFE=∠BFG， ∴△DEF≌△BGF（SAS），∴∠EEF=∠BGF，DE=BG， ∴BG∥DP，∴∠P+∠CBG=180°， 在四边形ACPE中，∠AEP=∠ACP=90°， 根据四边形的内角和得，∠CAE+∠P=180°， ∴∠CAE=∠CBG， 在Rt△ADE中，∠DAE=60°， ∴tan∠DAE==，即：， 同理Rt△ABC中：， ∴， ∵∠CBG=∠CAE， ∴△BCG∽△ACE， ∴∠BCG=∠ACE，， ∴∠ECG=∠ACE+∠ACG=∠BCG+∠ACG=90°， 在Rt△CEG中，EF=GF，∴CF=EF=EG， tan∠CEG==，∴∠CEG=60°， ∵CF=EF， ∴△CEF是等边三角形； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；综合性较强，正确作出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $