4.2 平行四边形及其性质讲义（知识梳理+题型突破）2025-2026学年八年级数学下册浙教版

本讲义聚焦平行四边形及其性质核心知识点，系统梳理定义（两组对边分别平行的四边形）、性质（对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称）及周长、面积公式，构建从基础定义到性质应用的学习支架。 资料亮点在于分题型典例精讲（如角平分线、折叠问题）与技巧归纳（如“平行+角平分线⇒等腰三角形”），通过变式训练培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），课堂小结与练习题助力课后巩固，提升应用意识，适合课中教学与课后查漏补缺。

4.2 平行四边形及其性质 讲义 基础知识梳理 1. 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 平行四边形的性质（核心） 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相平分 对称性：中心对称图形，对称中心是对角线交点 3. 常用公式 周长： 面积： 对角线性质： 技巧总结归纳 求边长/角度：用“对边相等、对角相等、邻角互补” 对角线题型：看到交点就用互相平分 角平分线+平行四边形：必出等腰三角形 折叠题型：折叠=全等，对应边、对应角相等 过对角线交点的直线：平分平行四边形周长与面积 网格作图：利用平移、相等线段画平行四边形 典例精讲 题型1 平行四边形性质 + 角平分线（高频） 典例1如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 变式1如图，在中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 题型2 利用平行四边形性质证明 典例2如图，是的对角线，是直线上两点，且．求证：． 变式2如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 题型3 平行四边形的面积与高 典例3在面积为60的平行四边形中，过点A作垂直于直线于点E，作垂直于直线于点F．若，，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 变式3如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A．10 B． C．5 D． 题型4 尺规作图背景下的平行四边形 典例4如图，在中，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交于点，交、于点、，求证：． 变式4如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本作图：在上截取，使，交于点，连接；作的平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：（请补全下面证明过程） 证明：四边形是在平行四边形 平分           又   ． 题型5 平行四边形折叠问题（压轴必考） 典例5如下图，在中，对角线AC与BD相交于点E，，．将沿AC所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，点B的对应点为点，AD交于点F，连接．    (1)求证：． (2)求的长． 变式5如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 重难题型拓展 平行四边形性质的综合 典例6如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 变式6如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，连接; ①若，求平行四边形的面积； ②设，试求与满足的关系． 课堂小结 1.平行四边形四大性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称 2.高频模型： 平行+角平分线 ⇒ 等腰三角形 折叠 ⇒ 全等+等腰 过中心直线 ⇒ 平分面积 3.易错点：高的位置分情况、截角分三种、折叠找对应边 1．（2025春•嘉兴校级期中）平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行 2．（2025春•义乌市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（　　） A．80° B．40° C．70° D．140° 3．（2025春•林州市期末）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1 4．（2025春•锦江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论不一定正确的是（　　） A．AC⊥BD B．∠BAD+∠ABC＝180° C．AD＝BC D．OA＝OC 5．（2025秋•宁波校级期中）若以A（﹣5，2），B（﹣3，5），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025春•龙港市期中）如图，在▱ABCD中，∠ADC的角平分线交AB于点E．若平行四边形的周长为16，且BE＝2，则AE的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2025春•新昌县期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 8．（2025春•天门期中）如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则▱ACBD的对角线CD的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D． 9．（2025春•金东区期末）如图，在▱ABCD中，∠D＝5∠CAB，在AC上取点P，使PC＝BC，连接BP，过点P作EF⊥CD交AB，CD分别于点E，F．已知BE＝2，AE＝x，BP＝y，当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 10．（2025春•拱墅区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作EO⊥BD，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若EF＝OF，∠CBD＝45°，，CE＝2，则下列结论中：①EO平分∠BED；②DE⊥BE；③CF：DF＝1：2；④．正确结论的个数序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 11．（2025•宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ 　 　 ． 12．（2025春•乐清市校级期中）在▱ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，AB＝6，那么▱ABCD的周长是　 　 ． 13．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠ACB的度数是　 　 ． 14．（2025春•义乌市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，DE平分∠ADC，AF⊥DE，G是BC的中点，连结FG，则FG＝ 　 　 ． 15．（2025春•望城区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8．求OB的长度及▱ABCD的面积． 16．（2025春•桐柏县期末）（1）填空： ①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边 　 　． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角 　 　 ． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线 　 　 ． （2）在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质 　 　 ． 已知：ABCD是平行四边形，求证：　 　． 17．（2025春•余杭区校级月考）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G． （1）求证：BE⊥CF； （2）若AB＝5，CF＝6，求BE的长． 18．（2025春•静海区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：AE＝FE； （2）若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 平行四边形及其性质 讲义 基础知识梳理 1. 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 平行四边形的性质（核心） 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相平分 对称性：中心对称图形，对称中心是对角线交点 3. 常用公式 周长： 面积： 对角线性质： 技巧总结归纳 求边长/角度：用“对边相等、对角相等、邻角互补” 对角线题型：看到交点就用互相平分 角平分线+平行四边形：必出等腰三角形 折叠题型：折叠=全等，对应边、对应角相等 过对角线交点的直线：平分平行四边形周长与面积 网格作图：利用平移、相等线段画平行四边形 典例精讲 题型1 平行四边形性质 + 角平分线（高频） 典例1如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【详解】解：由作图可得：， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 技巧点拨：平行+角平分线 ⇒ 等腰三角形 变式1如图，在中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ． 题型2 利用平行四边形性质证明 典例2如图，是的对角线，是直线上两点，且．求证：． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴． 技巧点拨：平行四边形对边平行且相等，是证全等的常用条件 变式2如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 题型3 平行四边形的面积与高 典例3在面积为60的平行四边形中，过点A作垂直于直线于点E，作垂直于直线于点F．若，，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵平行四边形的面积为，，， ∴， ∴，， ∵直线，直线， ∴， 由勾股定理得：，， 又∵，， 分两种情况计算：①当在延长线上，在延长线时： ，， ∴； ②当在边上，在延长线时： ，， ∴； 综上，的值为或． 易错提醒：高的位置要分情况讨论 变式3如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】解：由图象可知，直线经过点A时移动的距离为3，经过点D时移动的距离为7，经过点B时移动的距离为8， ∴， 如图，当直线经过点D时，设直线交于点E，交x轴于点N，交y轴于点M，作于点F， 则此时直线的表达式为， 令，则；令，则， ∴，，即， ∵， ∴， 又∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 由图2可知， ∴， ∴． 题型4 尺规作图背景下的平行四边形 典例4如图，在中，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交于点，交、于点、，求证：． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴； 又∵， ∴， ∴． 变式4如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本作图：在上截取，使，交于点，连接；作的平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：（请补全下面证明过程） 证明：四边形是在平行四边形 平分           又   ． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：∵四边形在是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，， 题型5 平行四边形折叠问题（压轴必考） 典例5如下图，在中，对角线AC与BD相交于点E，，．将沿AC所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，点B的对应点为点，AD交于点F，连接．    (1)求证：． (2)求的长． 【详解】（1）证明：由折叠的性质，得． ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴． 根据折叠的性质，得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 技巧点拨：折叠=轴对称 ⇒ 对应边、角相等 + 等腰三角形 变式5如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【详解】（1）证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 重难题型拓展 平行四边形性质的综合 典例6如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 变式6如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，连接; ①若，求平行四边形的面积； ②设，试求与满足的关系． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∴． （2）解：①∵， ∴为等边三角形． ∵， ∴， ∴． 在中，， 由勾股定理得：，即， ∴． ∴平行四边形的面积为． ②∵为等边三角形，， ∴， ∴为等边三角形． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴． 课堂小结 1.平行四边形四大性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称 2.高频模型： 平行+角平分线 ⇒ 等腰三角形 折叠 ⇒ 全等+等腰 过中心直线 ⇒ 平分面积 3.易错点：高的位置分情况、截角分三种、折叠找对应边 1．（2025春•嘉兴校级期中）平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行 【答案】C 【分析】根据平行四边性质对每一项判断即可解答． 【解答】解：∵平行四边形的性质是对边相等，对角相等，对边平行，对角线互相平分， ∴平行四边形的性质不一定是对角线相等， 故A，B，D选项不符合题意， 故选：C． 2．（2025春•义乌市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（　　） A．80° B．40° C．70° D．140° 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°，即可求出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝80° ∴∠A＝∠C＝40°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝140°， 故选：D． 3．（2025春•林州市期末）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，根据以上结论即可选出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°， 即∠A和∠C的度数相等，∠B和∠D的度数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D， 故选：D． 4．（2025春•锦江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论不一定正确的是（　　） A．AC⊥BD B．∠BAD+∠ABC＝180° C．AD＝BC D．OA＝OC 【答案】A 【分析】根据平行四边形得到AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，再由平行线的性质得到∠BAD+∠ABC＝180°，但是对角线不一定互相垂直，即可判断． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， 故B、C、D正确，不符合题意，A不一定成立，符合题意， 故选：A． 5．（2025秋•宁波校级期中）若以A（﹣5，2），B（﹣3，5），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】分三种情况讨论，一是以AB、BC为邻边作平行四边形，则第四个顶点在第三象限；二是以AB、AC为邻边作平行四边形，则第四个顶点在第一象限；三是以AC、BC为邻边作平行四边形，则第四个顶点在第二象限，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AB、AC、BC， 以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD1，则点D1在第三象限； 以AB、AC为邻边作平行四边形BACD2，则点D2在第一象限； 以AC、BC为邻边作平行四边形ACBD3，则点D3在第二象限， 综上所述，第四个顶点不可能在第四象限， 故选：D． 6．（2025春•龙港市期中）如图，在▱ABCD中，∠ADC的角平分线交AB于点E．若平行四边形的周长为16，且BE＝2，则AE的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质及等腰三角形的性质可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB， ∴∠CDE＝∠DEA， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠DEA， ∴AD＝AE， ∵平行四边形的周长为16，AD＝BC，CD＝AB， ∴AD+AB＝8， ∵BE＝2， ∴AD+AE＝6， ∵AD＝AE， ∴AE＝AD＝3， 故选：A． 7．（2025春•新昌县期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】D 【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论． 【解答】解：设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 8．（2025春•天门期中）如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则▱ACBD的对角线CD的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出直线EF的解析式为y＝x+5，设C（x，x+5），根据平行四边形的性质得D（﹣x，1﹣x），由勾股定理可得CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8，根据非负数的性质可得CD2的最小值是8，即可得CD的最小值． 【解答】解：设直线EF的解析式为y＝kx+b， ∵E（0，5），F（﹣5，0）， ∴，解得， ∴直线EF的解析式为y＝x+5， 设C（x，x+5）， ∵四边形ACBD是平行四边形，A（0，8），B（0，﹣2）， ∴D（﹣x，1﹣x）， ∴CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8， ∴CD2的最小值是8， ∴CD的最小值是2． 故选：A． 9．（2025春•金东区期末）如图，在▱ABCD中，∠D＝5∠CAB，在AC上取点P，使PC＝BC，连接BP，过点P作EF⊥CD交AB，CD分别于点E，F．已知BE＝2，AE＝x，BP＝y，当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 【答案】B 【分析】设∠CAB＝α，再依次求出∠ABC＝∠D＝5α，∠CPB＝∠CBP＝3α，∠PBA＝2α，由此想到在AE上取QE＝BE＝2，连接PQ，推出QA＝QP＝BP＝y，进而可利用线段间的和差关系解决问题． 【解答】解：设∠CAB＝α，则∠D＝5∠CAB＝5α， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝5α，AB∥CD， 在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣α﹣5α＝180°﹣6α， ∵PC＝BC， ∴∠CPB＝∠CBP3α， ∴∠PBA＝∠ABC﹣∠CBP＝5α﹣3α＝2α， 如图，在AE上取QE＝BE＝2，连接PQ， ∵EF⊥CD，AB∥CD， ∴EF⊥AB， ∴EF是QB的垂直平分线， ∴PQ＝PB， ∴∠PQB＝∠PBQ＝2α， ∴∠QPA＝∠PQB﹣∠CAB＝2α﹣α＝α， ∴∠QPA＝∠CAB＝α， ∴AQ＝QP＝BP＝y， ∵AE＝x， ∴AE﹣AQ＝QE＝2，即x﹣y＝2， ∴x，y发生变化时，x﹣y不变． 故选：B． 10．（2025春•拱墅区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作EO⊥BD，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若EF＝OF，∠CBD＝45°，，CE＝2，则下列结论中：①EO平分∠BED；②DE⊥BE；③CF：DF＝1：2；④．正确结论的个数序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】①根据平行四边形的性质得OB＝OD，则EO是线段BD的垂直平分线，进而得△EBD是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据∠CBD＝45°得△BED是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点F作FN⊥CE于点E，先求出DE＝BE＝6，，，证明△EFN是等腰直角三角形，可求出，根据勾股定理求得，，进而得到，即可得到CF：DF＝1：3，据此可对结论③进行判断，④分别求出S△CEF＝1.5，S▱ABCD＝24，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）， ∵EO⊥BD， ∴EO是线段BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∴△EBD是等腰三角形， ∵OB＝OD， ∴EO平分∠BED，故①正确； ②∵∠CBD＝45°，BE＝DE， ∴∠BDE＝∠CBD＝45°， ∴∠BED＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴DE⊥BE，故②正确； ③过点F作FN⊥CE于点E， ∵∠BED＝90°，BE＝DE， ∴△BED是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵EO⊥BD， ∴， ∴△OBE是等腰直角三角形，， ∴∠BEO＝45°， ∴△EFN是等腰直角三角形， ∴， ∵CE＝2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ， ∴， ∵DE＝BE＝6， ∴BC＝BE﹣CE＝6﹣2＝4， ∴S▱ABCD＝BC•DE＝4×6＝24， ∴， ∴，故④正确． 综上：所有正确结论的序号是①②④． 故选：B． 11．（2025•宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ 　70°　 ． 【答案】70° 【分析】先利用三角形的外角性质求得∠BFD的度数，再根据平行四边形的性质推出FB∥CD，利用平行线的性质，即可求出答案． 【解答】解：∵∠A＝40°，∠ABF＝30°， ∴∠BFD＝∠A+∠ABF＝70°， ∵四边形BCDF是平行四边形， ∴FB∥CD， ∴∠CDE＝∠BFD＝70°， 故答案为：70°． 12．（2025春•乐清市校级期中）在▱ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，AB＝6，那么▱ABCD的周长是　30或18　 ． 【答案】30或18． 【分析】首先根据题意作图，由AE平分∠BAD交直线BC于点E，可知点E在边BC上或者在其延长线上；分别求解即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB＝6， 如图1，∵BE：EC＝2：1， ∴EC＝3， ∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝6， ∴这个四边形的周长是：9+6+9+6＝30； 如图2，∵BE：EC＝2：1， ∴EC＝3， ∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝6， ∴这个四边形的周长是：3+6+3+6＝18； ∴这个四边形的周长是：30或18． 故答案为：30或18． 13．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠ACB的度数是　52°　 ． 【答案】52°． 【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC， ∵AD＝AE＝BE， ∴BC＝AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB， ∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB， ∴∠ACB＝2∠CAB， ∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°， ∴∠BAC＝26°， ∴∠ACB＝52°， 故答案为：52°． 14．（2025春•义乌市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，DE平分∠ADC，AF⊥DE，G是BC的中点，连结FG，则FG＝ 　2　 ． 【答案】2． 【分析】延长DE交AB的延长线于点T，过点F作FH∥AD交AB于点H，先证明∠T＝∠ADE得AT＝AD＝8，进而得BT＝2，再证明FH是△ATD的中位线得AH＝TH，进而根据直角三角形斜边中线性质得FH＝TH＝AH＝4，由此得FH＝BG＝4，BH＝2，然后证明四边形BGHB是平行四边形即可得出FG的长． 【解答】解：延长DE交AB的延长线于点T，过点F作FH∥AD交AB于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝6，AD＝8， ∴CD＝AB＝6，BC＝BC＝AD＝8，AB∥CD，AD∥BC， ∵点G是BC的中点， ∴BGBC4， ∵AB∥CD， ∴∠T＝∠CDE， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， ∴∠T＝∠ADE， ∴AT＝AD＝8， ∴BT＝AT﹣AB＝8﹣6＝2， 在△ADT中，AT＝AD＝8，AF⊥BT， ∴DF＝TF，△AFT是直角三角形， ∵FH∥AD交AB于点H， ∴FH是△ATD的中位线， ∴AH＝TH， 在Rt△AFT中，FH是斜边AT上的中线， ∴FH＝TH＝AHAT＝4， ∴FH＝BG＝4，BH＝TH﹣BT＝4﹣2＝2， ∵FH∥AD，AD∥BC， ∴FH∥BC， ∴四边形BGHB是平行四边形， ∴FG＝BH＝2． 故答案为：2． 15．（2025春•望城区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8．求OB的长度及▱ABCD的面积． 【分析】直接利用勾股定理得出BD的长，再由平行四边形的性质即可得出答案． 【解答】解：∵BD⊥AD，AB＝10，AD＝8， ∴BD6． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OBBD＝3， ∴S▱ABCD＝6×8＝48． 16．（2025春•桐柏县期末）（1）填空： ①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边 　相等　 ． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角 　相等　 ． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线 　互相平分　 ． （2）在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质 　①　 ． 已知：ABCD是平行四边形，求证：AB＝CD，AD＝BC ． 【分析】（1）根据平行四边形的性质求解； （2）选择①，利用全等三角形的性质证明即可． 【解答】解：（1）①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角相等． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线互相平分． 故答案为：相等，相等，互相平分； （2）选择性质①． 已知：四边形ABC都是平行四边形， 求证：AB＝CD，AD＝BC． 证明：如图，连接AC． ∵四边形ABC都是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠ACB，∠ACB＝∠DAC， 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（ASA）， ∴AB＝CD，AD＝BC． 故答案为：①，AB＝CD，AD＝BC． 17．（2025春•余杭区校级月考）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G． （1）求证：BE⊥CF； （2）若AB＝5，CF＝6，求BE的长． 【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCBABC∠DCB＝90°，进而可得BE⊥CF； （2）过A作AM∥FC，首先证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F， ∴∠EBC+∠FCBABC∠DCB＝90°， ∴EB⊥FC； （2）解：如图，过A作AM∥FC，交BE于点O， ∵AM∥FC， ∴∠AOB＝∠FGB， ∵EB⊥FC， ∴∠FGB＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝5， ∵AO⊥BE， ∴BO＝EO， 在△AOE和△MOB中， ， ∴△AOE≌△MOB（ASA）， ∴AO＝MO， ∵AF∥CM，AM∥FC， ∴四边形AMCF是平行四边形， ∴AM＝FC＝6， ∴AO＝3， ∴EO4， ∴BE＝8． 18．（2025春•静海区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：AE＝FE； （2）若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出∠D＝∠ECF，由ASA即可证出△ADE≌△FCE，进而解答即可； （2）证出AB＝FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠D＝∠ECF， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AE＝FE； （2）解：∵△ADE≌△FCE， ∴AD＝FC， ∵AD＝BC，AB＝2BC， ∴AB＝FB， ∴∠BAF＝∠F＝36°， ∴∠B＝180°﹣2×36°＝108°． 学科网（北京）股份有限公司 $