2.3 生活实践情境的数学抽象 课件-2026届高三数学二轮解题方法信息提取专题复习

2.3　生活实践情境的数学抽象 生活实践情境来自现实世界,它蕴含着丰富的数学信息.数学抽象方法的一个直接应用就是现实问题的抽象建模——通过建立数学模型来研究、解决问题.生活实践情境问题的数学抽象一般步骤如下: (1)分析问题:把情境问题转化为数学语言,找出问题的主要关系. (2)抽象问题:对问题合理简化,取主舍次,进而理想化、数学化,用数学语言和符号表示各种量的关系,并抽象为一个数学问题. (3)解决问题:把数学问题化为常规问题,选择合适的数学方法求解. 2.3　生活实践情境的数学抽象 例1　(2020全国Ⅰ卷,理5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图: 由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+bln x 2.3　生活实践情境的数学抽象 [思维路径] 2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+bln x. [答案] D 2.3　生活实践情境的数学抽象 学友聊斋 2.3　生活实践情境的数学抽象 例2　(2022新高考Ⅰ卷,4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(≈2.65)(　　) A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3 C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3 2.3　生活实践情境的数学抽象 [思维路径] 2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 由题意可得,此棱台的高h=157.5-148.5=9(m). 设水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为S2, 则S1=140.0 km2=1.4×108 m2,S2=180.0 km2=1.8×108 m2, 故该棱台的体积V棱台=h(S1+S2+)=×9×(1.4×108+1.8×108+) ≈1.4×109(m3),即增加的水量约为1.4×109 m3. 故选C. [答案] C 2.3　生活实践情境的数学抽象 学友聊斋 2.3　生活实践情境的数学抽象 例3　(2023上海卷,11)公园修建斜坡,假设斜坡起点在水平面上,斜坡与水平面的夹角为θ,斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米,游客每走一米消耗的体能为(1.025-cos θ),要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少,则θ=　　　　　.  2.3　生活实践情境的数学抽象 [思维路径] 2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 如图,∠ABC=θ,θ∈(0,), 由题意y=, y'=()'==, 令y'=0⇒cos θ=,当cos θ∈(0,)时,y'>0,原函数单调递增; 当cos θ∈(,1)时,y'<0,原函数单调递减. 又当θ∈(0,)时,y=cos θ严格递减,由复合函数的单调性知,当θ=arccos时,y取得最小值,即游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少. [答案] arccos 2.3　生活实践情境的数学抽象 学友聊斋 2.3　生活实践情境的数学抽象 能 力 训 练 A组　基础性题组 题号 选题理由 1 根据经验回归方程x+6.8必过样本中心点()求出,即可求出k 2 实际问题中的解三角形 3 在实际问题中考查分步乘法计数原理可得 4 实际问题中的解三角形,连接OC,OD,求出∠AOC的值,可求出的长,可求出甲、乙两人的跑动的距离,即可得解 2.3　生活实践情境的数学抽象 1.☆☆(2025重庆一模)某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位:克)与心率f(单位:次/分钟)的对应数据(Wi,fi)(i=1,2,…,8).根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f=cWk(c,k为参数),令xi=ln Wi,yi=ln fi,计算得到=7,=4.由最小二乘法得到经验回归方程为x+6.8,则k的值为 (　A　) A.-0.4 B.0.4 C.-0.2 D.0.2 [解题过程] 因为f=cWk,两边取对数可得ln f=ln c+kln W,又xi=ln Wi,yi=ln fi,依题意,经验回归方程x+6.8必过样本中心点(),所以4=7+6.8,解得=-0.4,所以k=-0.4.故选A. 2.3　生活实践情境的数学抽象 2.☆☆☆(2025湖北八校三统联考)镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法,在如图所示的模型中,已知人眼距离地面高度h=1.5 m,某建筑物高h1=4.5 m,将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置,测量人与镜子间的距离a1=1.2 m,将镜子后移a m,重复前面的操作,测量人与镜子间的距离a2=3.2 m,则a=(　A　) A.6 B.5 C.4 D.3 2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 如图,设建筑物最高点为A,建筑物底部为O,第一次观察时镜面位置为B,第一次观察时人眼睛位置为C,第二次观察时镜面位置为D,设O到B之间的距离为a0m. 由光线反射性质,得∠ABO=∠CBD, 所以tan∠ABO=tan∠CBD,即①, 同理可得②, 由①②可得, 解得a0=,代入①整理,得a==6.故选A. 2.3　生活实践情境的数学抽象 3.☆(2025陕西汉中一模)图中平行四边形有　90　个(用数字作答).  [解题过程] 由平行四边形有两组对边分别平行相等,所以分别从四条横线中取两条和从六条斜线中取两条即可,即=6×15=90. 2.3　生活实践情境的数学抽象 4.☆☆☆(2025甘肃一模)如图,甲、乙两人在这段弧形路段跑步,该路段的内、外弧线为两个同心圆的圆周,内弧半径为12米,路宽为3米,两人均从外弧点A处跑入该路段,甲沿内弧切线方向跑至切点C,又沿内弧CB跑至点B处后跑出该路段,乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上点D处,再沿外弧DE跑至点E处后跑出该路段,则在该路段跑动距离更短的是　甲　(填“甲”或“乙”),两人跑动距离之差的绝对值约为　2.4　米. (结果精确到0.1米,参考数据:sin 37°≈0.6,π≈3)  2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 连接OC,OD,可知OC⊥AD,OA=OD,则∠AOC=∠DOC,AC=CD.在Rt△AOC中,cos∠AOC==0.8, 所以sin∠AOC==0.6, 所以∠AOC≈37°,AC=15sin∠AOC=9, 所以=12×=10.6, 则甲跑步的距离约为9+10.6=19.6米. 因为AD=2AC=18,=15×≈4,则乙跑步的距离约为18+4=22米,所以甲跑动的距离更短,两人跑动距离之差的绝对值约为|22-19.6|=2.4米. 2.3　生活实践情境的数学抽象 B组　综合性题组 题号 选题理由 1 实际问题中抽象成数列问题,先根据已知得出a1,a9,再结合等差数列求和公式计算求解即可 2 在实际问题中考查分步乘法计数原理可得 3 实际问题中的立体几何问题,由题设可得球的半径为r=3,结合正四棱锥的结构特征及其外接球半径与棱长、底面边长的关系得6h=l2,进而得到纪念碑体积关于l的表达式,应用导数求其最大值,并确定对应的侧棱长 4 实际生活中超市里的奖励问题,利用排列数计算概率,再利用期望公式计算期望 2.3　生活实践情境的数学抽象 1.☆☆(2025四川广安二模)某白塔的一至五层为石结构,六至九层为砖结构,每层均为四方结构(即每层底面为正方形),P为第一层下底面四边形的外接圆O内一点,经测算,每一层的高度恰为过P的弦的长度的二分之一,并构成等差数列,顶层的高度为过点P的圆的最短弦长度的一半,第一层的高度为过点P的圆的最长弦长度的一半.已知该塔第一层底面四边形的边长为5米,|OP|=3米,则塔高为(　B　) A.41米 B.40.5米 C.39.5米 D.38.7米 2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 由题意,底面为正方形且第一层底面四边形的边长为5米,最长弦长为直径,即a1=×5=5米,最短弦长和最长弦长垂直,由弦长公式得a9==4,所以a9=4,所以h==40.5米.故选B. 2.3　生活实践情境的数学抽象 2.☆☆(2025福建厦门二模)在五一小长假期间,要从5人中选若干人在3天假期值班(每天只需1人值班),不出现同一人连续值班2天,则可能的安排方法有　80　种.  [解题过程] 根据题意可知,值班的人数为2或3, 若人数为2,则需要一个人值班首尾两天,一个人值中间的那一天,故安排方法种数为=20,若人数为3,则每人值一天班,故安排方法种数为=60,故可能的安排方法种数共20+60=80. 2.3　生活实践情境的数学抽象 3.☆☆(2025上海嘉定二模)某建筑公司欲设计一个正四棱锥型纪念碑,要求其顶点位于容积为36π立方米的球型景观灯所在球面上.考虑到抗风、抗震等结构安全需求,侧棱长度l需满足2≤l≤3.当纪念碑体积取得最大值时,正四棱锥的侧棱长约为　4.90　米.(精确到0.01米)  2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 若球的半径为r,则πr3=36π,可得r=3. 对于正四棱锥,设底面边长为a,高为h,则h2=l2-=l2-, 所以=l2-h2,即a2=2(l2-h2). 又(h-r)2+=r2,则=6h-h2,故6h=l2,即h=. 纪念碑体积V=a2h=, 令t=l2,因为2≤l≤3,则t∈[12,27]. 2.3　生活实践情境的数学抽象 对于y=t2-,则y'=2t-在t∈[12,27]上单调递减, 当12≤t<24时,y'>0,即y=t2-在[12,24)上单调递增, 当24<t≤27时,y'<0,即y=t2-在(24,27]上单调递减, 所以ymax=242-=192,故Vmax=×192=,此时l=2≈4.90米. 2.3　生活实践情境的数学抽象 4.☆☆(2025安徽合肥三模)某超市举办了一场抽奖活动回馈消费者,规则如下:在抽奖盒子中装有6,8两个数字的卡牌(除数字外不可区分)各两张,消费者从盒子中依次摸出4张卡牌,并按摸取的顺序排成一列.若4张牌上相邻的数字均不相同,则可获得50元奖励;若4张牌上只有一对相邻的数字相同,则可获得80元奖励;若4张牌上有两对相邻的数字相同,则可获得100元奖励.按上述规则,任意1名消费者最终可获得奖励的数学期望为 　元.  2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 当相邻卡片上的数字都不同时,如6868,有2, 则P(X=50)=; 当相邻卡片上的数字只有一对相同时,如6886,有2, 则P(X=80)=; 当相邻卡片上的数字只有两对相同时,如6688,有2, 则P(X=100)=,故所求数学期望E(X)=50×+80×+100×. 2.3　生活实践情境的数学抽象 C组　应用性题组 题号 选题理由 1 实际问题中排列组合数的问题 2 将立体几何问题转化为平面问题,将侧面ABB1A1和BCC1B1展开到同一个平面,利用两点之间线段最短求解即可 3 在双曲线电瓶新闻灯的实际问题中,利用双曲线的光学性质及正弦定理,求解离心率 4 在实际问题中,利用三垂线定理逆定理得出二面角的平面角,转化为解三角形 2.3　生活实践情境的数学抽象 1.☆☆(2025四川高三适应性考试第三次联考)甲、乙等6人参加某次会议,会议安排其前后两排入座,每排3人(如图所示),其中甲坐后排,乙与甲前后、左右均不相邻,则不同的坐法种数共有(　C　) A.144种 B.168种 C.192种 D.216种 2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 如图所示,甲坐位置①,乙有3种选择,其他人不同的坐法有种,共有3=72种不同的坐法; 甲坐位置②,乙有2种选择, 其他人不同的坐法有种, 共有2=48种不同的坐法; 甲坐位置③,乙有3种选择, 其他人不同的坐法有种,共有3=72种不同的坐法, 所以不同的坐法种数共有72+48+72=192种. 故选C. 2.3　生活实践情境的数学抽象 2.☆☆☆(2025河北保定二模)某艺术展览馆的一座雕塑底座是正四棱台,记为ABCD-A1B1C1D1,AB=2米,A1B1=4米,AA1=米.为举办特展,某策展团队计划以地面顶点A1为起点安装一条LED灯带(忽略灯带的厚度与弹性),灯带沿正四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面经过侧棱BB1后到达顶点C,则所需灯带的长度的最小值为 　米.  2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 如图1,设灯带经过侧棱BB1上的点E. 如图2,连接A1B,将侧面ABB1A1和BCC1B1展开到同一个平面, 图1 图2 2.3　生活实践情境的数学抽象 则A1E+CE≥A1C,当且仅当线段A1C与线段BB1有交点时,等号成立, 即当灯带的长度取得最小值时,交点即为点E. 因为四边形ABB1A1是等腰梯形,所以cos∠A1B1B=, 由余弦定理可得A1B==3米, 则A1B>A1B1,所以∠A1B1B>∠A1BB1, 即∠A1B1B+∠B1BC>∠A1BB1+∠B1BC. 因为∠A1B1B+∠B1BC=∠BB1C1+∠B1BC=π, 所以π>∠A1BB1+∠B1BC,即线段A1C与线段BB1有交点. 2.3　生活实践情境的数学抽象 cos∠A1BB1=, 可得sin∠A1BB1=,而cos∠B1BC=cos(π-∠A1B1B)=-, 可得sin∠B1BC=, 所以cos∠A1BC=cos(∠A1BB1+∠B1BC)==-, 由余弦定理可得A1C=米, 则所需灯带的长度的最小值为米. 2.3　生活实践情境的数学抽象 3.☆☆☆(2025辽宁县域高中二模)“双曲线电瓶新闻灯” 是我国首先研制成功的,利用了双曲线的光学性质:从 双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射, 其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点. 这种灯的轴截面是双曲线的一部分(如图),从双曲线 的右焦点F2发出的互为反向的光线,经双曲线上的点P,Q反射,反射光线的反向延长线交于点M,且sin∠MPQ=sin∠MQP,sin∠PMF2=sin∠QMF2.制作时,通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小,则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 　.  2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 由双曲线的光学性质可知,直线PG,HQ的交点M为双曲线的左焦点.在△PQM中, 由正弦定理得, 则, 设|MP|=5m,|MQ|=3m. 在△MPF2中,由正弦定理得, 在△MQF2中,由正弦定理得, 2.3　生活实践情境的数学抽象 两式作商得=3, 设|PF2|=3n,|QF2|=n. 由双曲线的定义可知,|MP|-|PF2|=5m-3n=2a,|MQ|-|QF2|=3m-n=2a, 解得m=n=a, 则|QF2|=a,|PF2|=3a,|MP|=5a,|MQ|=3a,所以|PQ|=4a, 则|MP|2=|MQ|2+|PQ|2,即PQ⊥MQ. 在Rt△QMF2中,|MQ|2+|QF2|2=|MF2|2, 则(3a)2+a2=(2c)2,则5a2=2c2,即, 所以双曲线的离心率e=. 2.3　生活实践情境的数学抽象 4.☆☆☆(2025广东阳江三模)已知某水库堤坝斜面与水平面所成的二面角为60°,堤坝斜面上有一条直道CD与堤脚的水平线AB的夹角为30°,某同学沿这条直道从C处向上行走到10米时,该同学升高了 　米.  2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 如图所示,取CD上一点E,设CE=10米,过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG,垂足为G,则线段EG的长就是所求的高度. 在河堤斜面内,作EF⊥AB,垂足为F,连接FG, 由三垂线定理的逆定理有FG⊥AB, 所以∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角, 即∠EFG=60°, 所以EG=EFsin 60°=CEsin 30°sin 60°=10×. 2.3　生活实践情境的数学抽象 D组　创新性题组 题号 选题理由 1 以物理学、天文学为背景,考查分式函数的化简及三角函数的有界性 2 集合与概率相结合,综合性较高,考查学生的逻辑思维及运算能力 3 借助春晚背景,利用分类加法计数原理、乘法公式计算概率 4 考查数列中的累乘法、作差法求通项公式,列举法、反证法在数列中的创新应用,考查学生计算能力 5 概率中的创新,解决本题的关键是深入理解游戏得分的规则,找出累计得分n+1分与n分,n-1分之间的概率递推关系,从而得到G(n+1)与G(n),G(n-1)的关系式 2.3　生活实践情境的数学抽象 1.☆☆☆(2025北京丰台二模)“红移”和“蓝移”是物理学和天文学中的概念,如果接收器接收到的光波的频率小于波源发出的光波的频率,则光的谱线向红光方向移动,称为“红移”;如果接收器接收到的光波的频率大于波源发出的光波的频率,则光的谱线向蓝光方向移动,称为“蓝移”.记接收器接收到的光波的频率为正数f',波源发出的光波的频率为正数f,f'和f满足光的普遍多普勒效应公式f'=f (β∈(0,1)为波源运动速率与光速的比值,θ∈[0,π]为波源到接收器的方向与波源运动方向的夹角).某同学依据该公式利用AI工具制作了“光的普遍多普勒效应计算器”,在给定范围内输入β和θ的值,点击“计算”按钮后,运行结果显示“红移”“蓝移”或“无频移”, 2.3　生活实践情境的数学抽象 下列说法正确的是(　D　) A.输入θ=0和任意β,运行结果显示“红移” B.输入θ=和任意β,运行结果显示“蓝移” C.输入β=和任意θ>,运行结果显示“红移” D.输入β=和任意θ<,运行结果显示“蓝移” 2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 对于A,由β∈(0,1), 可知f'=f=f=f=f>f,由于接收器接收到的光波的频率f'大于波源发出的光波的频率f,则光的谱线向蓝光方向移动,称为“蓝移”,故A错误; 对于B,由β∈(0,1),可知f'=f=f<f,由于接收器接收到的光波的频率f'小于波源发出的光波的频率f,则光的谱线向红光方向移动,称为“红移”,故B错误; 2.3　生活实践情境的数学抽象 对于C,由β=,可知f'=f=f. 因为<θ≤π,则cos θ∈,即5-4cos θ∈(5-2,9], 此时, 由于>1,所以f'与f的大小关系不确定,故C错误; 2.3　生活实践情境的数学抽象 对于D,由β=,可知f'=f=f. 因为0≤θ<,则cos θ∈, 即3-2cos θ∈[3-2,1),此时∈(1,3+2], 所以f'>f, 由于接收器接收到的光波的频率f'大于波源发出的光波的频率f,则光的谱线向蓝光方向移动,称为“蓝移”,故D正确. 故选D. 2.3　生活实践情境的数学抽象 2.☆☆☆(2025广州一调)设n(n≥3)为正整数,从集合{0,1,2,…,n}的所有二元子集中任取两个,记为{s,t},{i,j},其中s<t,i<j,{s,t}与{i,j}可以相同.在平面直角坐标系xOy中,记直线y=s,y=t与直线x=i,x=j的四个交点分别为A,B,C,D,则以A,B,C,D为顶点的四边形为正方形的概率为 　. (用含n的代数式表示)附参考公式:12+22+…+n2=.  [解题过程] 由题知,边长为k的正方形有(n+1-k)2种情况, 故P=. 2.3　生活实践情境的数学抽象 3.☆☆☆(2025吉林长春三模)2025年春晚,一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作,机器人从原点O出发,每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位长度,共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过(含到达)点M(-1,0)位置的条件下,水平方向移动2次的概率为 　.  2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] 设事件A=“有且仅有一次经过M(-1,0)”, 事件B=“水平方向移动2次”,按到M(-1,0)位置需要1步,3步分类讨论. 记L=向左,R=向右,U=向上,D=向下. ①若1步到位为事件A1,则满足要求的是LU(L或U或R),LL(L或U或D),LD(L或R或D),LR(U或D或R), 所以P(A1)=4×3×; 2.3　生活实践情境的数学抽象 ②若3步到位为事件A2,则满足要求的是ULD,DLU,RLL,UDL,DUL, 所以P(A2)=5×. 所以P(A)=P(A1)+P(A2)=. 满足事件AB同时发生的情况有LU(L或R),LD(L或R),LL(U或D),LR(U或D), 所以P(AB)=4×2×, 所以P(B|A)=. 2.3　生活实践情境的数学抽象 4.☆☆☆(2025重庆九龙坡三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2, (n-2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若无穷的非常数数列{Tn}同时满足两个性质:①对于{Tn}中任意两项Ti,Tj(i>j),在{Tn}中都存在一项Tm,使得2Ti-Tj=Tm;②对于{Tn}中任意一项Tn(n≥3),在{Tn}中都存在两项Tk,Tl(k>l),使得Tn=2Tk-Tl.则称数列{Tn}为T数列. (ⅰ)判断数列{an}是否为T数列,并说明理由; (ⅱ)若数列{bn}是T数列且为单调递增数列,证明:数列{bn}是等差数列. 2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] (1)由(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,得(n-2)Sn+1+2(Sn+1-Sn)=nSn, 即nSn+1=(n+2)Sn,, ∴,…,, 累乘得,×…×,n≥2, ∴Sn=n(n+1),n≥2,又S1=a1=2符合式子,∴Sn=n(n+1),n∈N*. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n, 又a1=2符合上式,∴an=2n(n∈N*). 2.3　生活实践情境的数学抽象 (2)(ⅰ)∵∀i,j∈N*,i>j,2ai-aj=2×2i-2j=2(2i-j),∴2ai-aj=a2i-j, ∴{an}具有性质①. ∵∀n∈N*,n≥3,∃k=n-1,l=n-2,2ak-al=4(n-1)-2(n-2)=2n=an, ∴{an}具有性质②. ∴数列{an}是T数列. 2.3　生活实践情境的数学抽象 (ⅱ)证明:∵{bn}是单调递增数列, 首先利用性质②,取n=3,此时b3=2bk-bl=bk+(bk-bl)(k>l). 由数列的单调性可知bk>bl, ∴b3=bk+(bk-bl)>bk,故k<3, 此时必有k=2,l=1,即b3=2b2-b1, 即b1,b2,b3成等差数列, 不妨设b2=b1+d,b3=b1+2d(d>0). 利用性质①,取i=3,j=2, 则bm=2b3-b2=2(b1+2d)-(b1+d)=b1+3d, 即数列中必然存在一项的值为b1+3d. 2.3　生活实践情境的数学抽象 下面证明b4=b1+3d, 若b4≠b1+3d,则由数列的单调性可知b4<b1+3d. 在性质②中,取n=4,则b4=2bk-bl=bk+(bk-bl)>bk, 从而k<4,则{k,l}⊆{1,2,3}(k>l). 若k=3,l=2,则b4=2b3-b2=b1+3d,与假设矛盾; 若k=3,l=1,则b4=2b3-b1=b1+4d,与假设矛盾; 若k=2,l=1,则b4=2b2-b1=b1+2d=b3,与数列的单调性矛盾. 故不存在满足题意的正整数k,l,可见b4<b1+3d不成立,从而b4=b1+3d, 同理可得b5=b1+4d,b6=b1+5d,…, ∴{bn}为等差数列. 2.3　生活实践情境的数学抽象 5.☆☆☆☆(2025广东湛江一模)甲参加了一场智力问答游戏,每轮游戏均有两类问题(难度系数较低的A类问题以及难度系数较高的B类问题)供选择,且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题.甲遇到每类问题的概率均为,甲遇到A类问题时回答正确的概率为,回答正确记1分,否则记0分;甲遇到B类问题时回答正确的概率为,回答正确记2分,否则记0分,总得分记为X分,甲回答每个问题相互独立. (1)当进行完2轮游戏时,求甲的总分X的分布列与数学期望. (2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为G(n). (ⅰ)证明:为等比数列; (ⅱ)求G(n)的最大值以及对应n的值. 2.3　生活实践情境的数学抽象 [解题过程] (1)X可能的取值有0,1,2,3,4, 每次回答A类问题且回答正确的概率为,回答A类问题且回答不正确的概率为,每次回答B类问题且回答正确的概率为,回答B类问题且回答不正确的概率为, 2.3　生活实践情境的数学抽象 则P(X=0)=+2×, P(X=1)=×2+×2=, P(X=2)=×2+×2=, P(X=3)=×2=, P(X=4)=, 所以X的分布列为 E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1. X 0 1 2 3 4 P 2.3　生活实践情境的数学抽象 (2)(ⅰ)证明:G(1)=,G(2)=. 由题意得,甲累计得分为n分的前一轮得分只能为(n-1)分或(n-2)分, 故当n≥3时,G(n)=G(n-1)+G(n-2), 所以G(n)-G(n-1)=-G(n-1)+G(n-2)=-[G(n-1)-G(n-2)], 所以{G(n+1)-G(n)}是以为首项,-为公比的等比数列. 2.3　生活实践情境的数学抽象 (ⅱ)根据(ⅰ)可知,G(n+1)-G(n)=.① 易得G(n)+G(n-1)=G(n-1)+G(n-2)=[G(n-1)+G(n-2)], 所以{G(n+1)+G(n)}是以为首项,为公比的等比数列, 所以G(n+1)+G(n)=.② 令②-①可得G(n)=, 所以G(n)=. 2.3　生活实践情境的数学抽象 经检验,n=1,n=2时均满足上式, 故G(n)=×[], 所以G(n)=×[]≤×[], 而×[]显然随着n的增大而减小, 故G(n)≤×[]==G(2)(n≥2). 又因为G(1)>G(2),所以当n=1时,G(n)取到最大值. 2.3　生活实践情境的数学抽象 $