2026届高考二轮复习讲义：动量守恒中的四类模型

动量守恒中的四类模型 突破点一　“子弹打木块”模型 1.模型图示 2.模型特点 （1）子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。 （2）系统的机械能有损失。 3.两种情境 （1）子弹嵌入木块中，最后两者速度相等，机械能损失最多（完全非弹性碰撞）； 动量守恒：mv0＝（m＋M）v； 能量守恒：Q＝Ff·s＝m－（M＋m）v2。 （2）子弹穿透木块 动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2； 能量守恒：Q＝Ff·d＝m－。 突破点二　“滑块—木板”模型 1.模型图示 2.模型特点 （1）系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。 （2）若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大。 3.求解方法 （1）求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统。 （2）求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体。 （3）求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q＝FfΔx或Q＝E初－E末，研究对象为一个系统。 突破点三　“滑块—曲面”模型 1.模型图示 2.模型特点 （1）上升到最大高度：m与M具有共同水平速度v共，此时m的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，mv0＝（M＋m）v共；系统机械能守恒，m＝（M＋m）＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于弧形轨道的高度（相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能）。 （2）返回最低点：m与M分离点。水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，m＝m＋M（相当于弹性碰撞）。 突破点四　“滑块—弹簧”模型 1.模型图示 2.模型特点 （1）动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。 （2）机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 （3）弹簧处于最长（或最短）状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小（相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能），即 m1v0＝（m1＋m2）v，ΔEp＝m1－（m1＋m2）v2。 （4） 弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能无损失（相当于刚完成弹性碰撞），即 m1v0＝m1v1＋m2v2，m1＝m1＋m2。 强化训练： 一、多选题 1．如图甲，物块A与质量为m的物块B之间用轻弹簧连接，放在光滑水平面上，弹簧处于原长状态。时刻，给A、B以相同大小的初速度相向运动，取A的初速度方向为正方向，在到的时间内A、B的图像如图乙所示。已知在到的时间内物块A的位移为，弹簧始终处于弹性限度内，则（　　） A．物块A的质量为3m B．时刻弹簧的弹性势能为 C．时刻物块B的速度为 D．时刻弹簧的压缩量为 2．一质量为的长木板静置于光滑水平地面上，左端固定一根水平轻质弹簧，弹簧处于原长，其右端恰好与木板上的点对齐，木板上表面点左侧光滑，右侧粗糙。质量为可视为质点的滑块，以水平向左的初速度从木板最右端滑上木板，滑块与木板粗糙段的动摩擦因数为，木板粗糙段长度为为重力加速度，则（　　） A．当滑块刚滑上木板时，滑块与木板的加速度大小之比为 B．当滑块与木板第一次共速时，弹簧的最大弹性势能为 C．从滑块滑上木板到两者第一次共速的过程中，摩擦力对滑块的冲量大小为 D．当滑块与木板最终相对静止时，滑块距木板最右端 3．如图（a），质量分别为mA、mB的A、B两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力F作用在A上，使系统靠墙静止在光滑水平面上。当撤去外力时开始计时，A、B物体运动的图像如图（b）所示，、、分别表示对应时段图线与坐标轴所围面积的大小。下列说法正确的是（　　） A．撤去外力F后，系统的动量和能量均守恒 B．弹簧时刻的伸长量小于0时刻的压缩量 C．时刻A物体的速度为 D． 二、解答题 4．如图所示，质量为、半径为的四分之一光滑圆弧轨道放在光滑水平地面上，下端与水平地面相切，质量为的木块静止在轨道左侧，质量为的子弹以的速度水平向右射入木块并留在其中。已知子弹与木块作用时间极短，木块的尺寸远小于圆弧轨道的半径，重力加速度大小g取，不计空气阻力。求： (1)子弹射入木块后的共同速度的大小以及此过程中产生的内能； (2)木块沿圆弧轨道上升的最大高度； (3)圆弧轨道的最大速度。 5．如图所示，一端带有四分之一圆弧轨道的长木板固定在水平面上，点为圆弧轨道的最低点，段为长木板的水平部分，长木板的右端与平板车上表面平齐并紧靠在一起，但不粘连。现将一质量为的物块在圆弧的最高点由静止释放，经过点时对长木板的压力为。物块经点滑到平板车的上表面，若平板车固定不动，物块恰好停在平板车的最右端。已知圆弧轨道的半径为，段的长度为，平板车的质量为、长度为，物块与段之间的动摩擦因数为，平板车与水平面间的摩擦力可忽略不计，重力加速度大小为。求∶ (1)物块从点运动到点过程中克服摩擦力做的功； (2)物块在段滑动的时间； (3)若平板车不固定，求物块最终距平板车左端距离。 6．如图所示，竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于A点，另一端经光滑孔钉B连接质量为可视为质点的物块。点A、B和静止的物块在同一竖直线上，A、B间距等于弹力绳原长，B点离地高度为L。一质量为m的子弹以速度向右射入物块，且未击穿物块。已知物块与地面的动摩擦因数为，弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为，重力加速度大小为g，求： (1)子弹射入物块后，物块的速度大小； (2)物块向右运动过程中，当弹力绳偏离竖直方向角度为时，物块所受的滑动摩擦力大小f。 7．如图所示，质量为3m的小车C静止于光滑水平面上，小车上表面由长为2L的粗糙水平轨道与半径为L的光滑圆弧轨道平滑连接组成。一个质量为m的小物块B静止在小车的左端，用一根不可伸长、长度为2L的轻质细绳悬挂一质量也为m的小球A，现将小球A向左拉到与悬点同一高度处（细绳处于伸直状态）由静止释放，当小球A摆到最低点时与小物块B刚好发生对心弹性碰撞，小物块B与小车C上水平轨道间的动摩擦因数为，不计空气阻力，A和B均视为质点，重力加速度为g。求： (1)A与B碰后瞬间B的速度大小； (2)B在C上能上升的最大高度； (3)判断B能否从小车左端离开小车，若能，求出B离开小车时的速度；若不能，求B最终在小车上的位置距小车左端的距离。 8．如图所示，光滑水平面上静置一小车，小车的左侧部分AB为一光滑圆弧轨道，半径R=4m，其对应的圆心角θ=53°，右侧部分为长l=3.2m的粗糙水平轨道BC，小车质量为M=2kg。现将一可视为质点、质量为m=1kg的物块P从空中某位置以v0=3m/s的初速度水平抛出，物块P恰好能从A点沿切线方向滑上圆弧轨道。已知物块从抛出到BC中点的时间为1.0s，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2。求： (1)物块抛出点距离A点的高度； (2)物块滑到B点时速度大小； (3)物块从抛出到BC中点的过程中，小车相对地面的位移大小。 试卷第1页，共3页 参考答案 题号 1 2 3 答案 ABD AD BD 1．ABD 【详解】A．物块A、B与弹簧组成的系统满足动量守恒，根据动量守恒定律有 解得，故A正确； B．根据能量守恒，时刻弹簧的弹性势能 故B正确； C．根据动量守恒定律有 解得时刻物块B的速度为，故C错误； D．在到的时间内物块A的位移为 该过程，根据动量守恒定律有 等式两边同乘时间并求和可得 其中 解得 则此时弹簧的压缩量，故D正确。 故选ABD。 2．AD 【详解】A．滑块刚滑上木板时，滑块受滑动摩擦力，加速度大小 木板受滑块的摩擦力大小也为，加速度大小 因此加速度大小之比 ，故A正确； B．系统水平方向动量守恒，设第一次共速时共同速度为 ，由动量守恒 滑块从最右端到O点（弹簧原长位置），粗糙段长度，摩擦力做功生热 由能量守恒，弹性势能，故B错误； C．对滑块，从滑上到第一次共速，由动量定理，合冲量（摩擦力冲量+弹簧弹力冲量） 因此摩擦力冲量大小小于 ，故C错误； D．最终滑块和木板相对静止，共同速度仍为，总动能损失全部转化为摩擦生热 设滑块在粗糙段的总相对滑动路程为，则 滑块向左滑完整个粗糙段长度 被弹簧弹回后向右在粗糙段滑动的距离为 因此滑块最终距木板最右端的距离为，故D正确。 故选AD。 3．BD 【详解】A．撤去外力后，弹簧恢复原长前，墙壁对有弹力作用，系统（、和弹簧）合外力不为零，因此系统动量不守恒；只有弹簧弹力做功，系统机械能（能量）守恒，故A错误； B．时刻弹簧被压缩，弹性势能为，时刻加速度最大，对应弹簧伸长量最大，此时、共速，系统动量守恒，总动量不为零，因此总动能不为零。根据能量守恒，此时弹性势能 由弹性势能公式 得形变量 即时刻伸长量小于0时刻压缩量，故B正确； C．图像的面积表示速度变化量，初速度为0：加速度为正，面积大小为 加速度为负，面积大小为，因此时刻的速度，故C错误； D．末（弹簧恢复原长），的速度，速度为 时刻共速，由动量守恒： 对，速度从0增加到， 因此 故D正确。 故选BD。 4．(1) (2) (3)，方向水平向右 【详解】（1）设子弹射入木块后与木块的共同速度为，对子弹和木块组成的系统，取子弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 解得子弹射入木块后的共同速度 根据能量守恒，可得此过程系统所产生的内能 解得产生的内能 （2）设木块（含子弹）在圆弧轨道上升到最大高度时，两者的速度大小为，木块沿圆弧轨道上升的最大高度为h，取子弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 解得木块沿圆弧轨道上升的最大高度 因，所以木块未从圆弧轨道最高点飞出 （3）设木块（含子弹）在圆弧轨道上时，圆弧轨道一直做加速运动，木块（含子弹）在圆弧轨道底端与轨道分离时，圆弧轨道的速度最大，设此时木块（含子弹）的速度为，圆弧轨道的速度为，取子弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 解得圆弧轨道的最大速度 方向水平向右。 5．(1) (2) (3) 【详解】（1）已知物块经过点时对长木板的压力为，则长木板对物块的支持力，根据牛顿第二定律有 解得 物块从点运动到点，根据动能定理有 解得 （2）物块从B点运动到C点，根据牛顿第二定律有 解得 根据位移时间公式有 解得（另一值舍弃） （3）物块从B点运动到C点做匀减速直线运动，则物块在C点的速度为 设物块与平板车的动摩擦因数为。当平板车固定时，物块从C点滑上平板车，刚好到达平板车的右端停止，根据动能定理有 解得 当平板车不固定时，物块从C点滑上平板车，因水平面光滑，故物块与平板车组成的系统满足动量守恒，设物块与平板车共速时，物块相对平板车的位移为，根据动量守恒定律有 解得 根据动能定理有 解得 说明物块不会滑离平板车，则物块最终距平板车左端距离 6．(1) (2) 【详解】（1）子弹射入物块的过程，由动量守恒得 解得 （2）对物块和子弹整体受力分析，竖直方向有 由胡克定律 滑动摩擦力 联立解得 7．(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）A由静止释放至摆到最低点的过程，由动能定理得 解得 A、B碰撞过程中由动量守恒和机械能守恒可得， 解得， （2）设B在C上能上升的最大高度为，此时B、C具有相同的速度，根据系统水平方向动量守恒可得 解得 根据能量守恒可得 解得 （3）设B不能从小车左端离开小车，则最终B、C具有相同的速度，由 解得 根据能量守恒可得 解得B在小车上表面粗糙水平轨道上通过的总路程为 假设成立；B最终在小车上的位置距小车左端的距离为 8．(1) (2) (3) 【详解】（1）物块恰好沿A点切线进入圆弧，A点切线与水平方向夹角为 平抛运动水平速度不变 由速度方向关系可得 代入 得竖直分速度 平抛竖直方向有 解得 （2）物块在A点的速度大小为 A点相对于B点的高度为 系统水平方向动量守恒，机械能守恒，设物块到达B点时速度为，小车速度为，向右为正方向，水平方向根据动量守恒有 根据机械能守恒有 代入数据解得，（负号表示小车向左运动），因此物块在B点速度大小为。 （3）平抛阶段小车静止，平抛时间为 因此物块在小车上的总运动时间 AC过程中物块相对小车水平位移为 由动量积分得 结合 得 因此物块从抛出到BC中点的过程中，小车相对地面的位移大小为。 学科网（北京）股份有限公司 $