精品解析：2026年天津市第二十一中学九年级数学中考一模试卷

九年级数学 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面．经测算，地球跟火星最远距离千米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 估计﹣1的值在（ ） A 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 分式化简后的结果为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等腰的顶角，若将其绕点C顺时针旋转，得到，点在边上，交于E，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 平分 D. 10. 已知∠PAQ=36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交射线AP 于点D，连接 BD；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP 于点C； 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. ∠CDB=72° B. △ADB∽△ABC C. CD：AD=2：1 D. ∠ABC=3∠ACB 11. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 小明利用函数知识，设计了一个函数计算程序，其程序框图如图所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6；小华根据小明的函数特点，得出以下结论：①，，．②这个复杂函数始终保持y随x的增大而增大；③若小明设计的函数与直线有两个公共点，则；④若在函数图像上有点P、Q（P与Q不重合），P的横坐标为m，Q的横坐标为，小华对P、Q之间（含P、Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值和最小值均不随m的变化而变化时，m的取值范围是．小华的说法中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：__________． 14. 计算的结果等于__________． 15. 不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随机摸出一个，则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为_________． 16. 如图，与图中直线y＝﹣x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是 ___． 17. 如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为________ 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且． （Ⅰ）线段长等于___________； （Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是________． 20. 小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值． x … 0 1 2 y … 3 4 3 0 （1）直接写出该二次函数的顶点D的坐标为______ （2）求该二次函数的表达式； （3）若，直接写出x的取值范围_______． 21. 如图，是的直径，，分别与相切于点B，D，连接，E是的延长线上一点，连接，并延长交于点F． （1）若，求的度数 （2）若，，，求的长． 22. 项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 23. 已知学生宿舍、文具店、自习室依次在同一条直线上，文具店离宿舍，自习室离宿舍，小明从宿舍出发，先匀速步行到文具店，在文具店购买文具停留了，之后匀速骑行到达自习室，在自习室停留后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 40 75 小明离宿舍的距离 0.8 ②填空：小明从自习室到宿舍的骑行速度为______； ③当时，请直接写出小明离宿舍距离y关于时间x的函数解析式； （2）当小明离开宿舍时，同宿舍的小杰从文具店出发匀速步行直接前往自习室，如果小杰比小明晚到达自习室，那么他在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，，点P在边上（点P不与点重合）． （1）如图①，当时，求点P的坐标； （2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点为，设． ①如图②，若折叠后与重叠部分为四边形，分别与边相交于点，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； ②若折叠后与重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C． （1）已知，，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下， ①点D是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； ②将抛物线位于y轴及y轴左侧的部分记为函数，过点C作直线轴，将原抛物线位于y轴右侧的部分沿直线翻折，翻折后的部分记为函数，函数和函数形成新的函数w，在上任取点Q，过点Q作直线，当与函数w只有两个公共点时，直接写出的解析式_______． （3）已知，，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，交抛物线于点F，点F在第一象限，过点F作轴，垂足为G，当的最大值为时，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看到的图形如下： 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 2. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念． 3. 我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面．经测算，地球跟火星最远距离千米，其中用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将这个数用科学记数法表示为：． 故选：C． 【点睛】此题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的基本要求并正确确定a及n的值是解题的关键． 4. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解： ． 5. 估计﹣1的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 6. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则进行判断即可得出结论． 【详解】解：．，故本选项错误； ．，故本选项正确； ．，故本选项错误； ．，故本选项错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则的运用，关键是掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 7. 已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系． 【详解】解： 反比例函数， 反比例函数图像在第二、四象限， 观察图像：当时， 则． 故选A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 8. 分式化简后的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式通分的方法是解答本题的关键． 9. 如图，等腰的顶角，若将其绕点C顺时针旋转，得到，点在边上，交于E，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据等腰三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理，平行线的判定及角平分线的定义分析即可． 【详解】解：由旋转可知， ， 故A正确； 等腰的顶角， ， 由旋转可知， ， 在等腰中， ， ， ， 故B正确； 等腰的顶角， ， 由旋转可知， ， ， 平分， 故C正确； 等腰的顶角， ， 由旋转可知， ， 故D错误； 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理，平行线的判定及角平分线的定义；解题的关键是熟练掌握相关性质和判定定理． 10. 已知∠PAQ=36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交射线AP 于点D，连接 BD；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP 于点C； 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. ∠CDB=72° B. △ADB∽△ABC C. CD：AD=2：1 D. ∠ABC=3∠ACB 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及判定，相似三角形的判定一一判断即可． 【详解】解：由作图可知，MN垂直平分AB，AB＝BC， ∵MN垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴∠A＝∠DBA， ∵∠PAQ＝36°， ∴∠CDB＝∠A＋∠DBA＝72°，（A正确） ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB＝36°， ∴∠ABD＝∠ACB， 又∵∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC，（B正确） ∵∠A＝∠ACB＝36°， ∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝108°， ∴∠ABC＝3∠ACB，（D正确） ∵∠ABD＝36°，∠ABC＝108°， ∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝72°， ∴∠CBD＝∠CDB＝72°， ∴CD＝BC， ∵∠A＝∠ACB＝36°， ∴AB＝BC， ∴CD＝AB， ∵AD＋DB＞AB，AD＝DB ∴2AD＞AB ∴2AD＞CD，（C错误） 故选：C 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及判定、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 12. 小明利用函数知识，设计了一个函数计算程序，其程序框图如图所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6；小华根据小明的函数特点，得出以下结论：①，，．②这个复杂函数始终保持y随x的增大而增大；③若小明设计的函数与直线有两个公共点，则；④若在函数图像上有点P、Q（P与Q不重合），P的横坐标为m，Q的横坐标为，小华对P、Q之间（含P、Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值和最小值均不随m的变化而变化时，m的取值范围是．小华的说法中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据待定系数法可得的值；画出图象，根据一次函数和二次函数的增减性即可解答；利用图象，可得函数与直线的交点情况；根据函数图象，分类讨论即可解答． 【详解】解：输入x的值为时，输出y的值为1， ， 解得， 输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6， ， 解得， 故①正确； 画出函数图象，如下： 当时，， 所以当时，这个复杂函数y随x的增大而减小，故②错误； 如图，函数的顶点为， 所以小明设计的函数与直线有两个公共点，则； 故③错误； 令，解得， 令，解得，（舍去）， 当时，则， 此时复杂函数的最小值在处取到，复杂函数的最大值在处取到，不符合题意； 当时，则， 此时复杂函数的最小值在或处取到，都为，复杂函数的最大值在处取到，为，符合题意； 当时，则， 此时复杂函数的最小值和最大值都由决定，不符合题意； 当时，则， 此时复杂函数的最小值在处取到，为，复杂函数的最大值在处取到，为，符合题意； 当时，则， 此时复杂函数的最小值在处取到，复杂函数的最大值在处取到，不符合题意； 综上，当图像对应函数的最大值和最小值均不随m的变化而变化时，m的取值范围是或，故④错误； 所以小华的说法中正确的个数是1个． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据立方根和算术平方根的定义分别计算，再作减法． 【详解】解：， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握基本定义和运算法则． 14. 计算的结果等于__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得． 【详解】解：原式=（）2-（）2 =6-3 =3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键． 15. 不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随机摸出一个，则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下 第一次\第二次 红 黄 红 红红 红黄 黄 黄红 黄黄 共4种等可能结果，两次摸到的球中，其中一个红球、一个黄球的情形有2种， 则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为， 故答案为： 【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 16. 如图，与图中直线y＝﹣x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是 ___． 【答案】y=x-1 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出答案． 【详解】解：直线y＝﹣x+1与关于x轴对称的直线的函数表达式为-y=-x+1， 即y=x-1． 故答案为：y=x-1 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数）关于x轴对称，就是x不变，y变成-y：-y=kx+b，即y=-kx-b． 17. 如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为________ 【答案】 ①. 120°##120度 ②. 75°##75度 【解析】 【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′． ∵△BPP′是等边三角形， ∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE， ∴∠ABP＝∠EBP′， 在△ABP和△EBP′中， ∴△ABP≌△EBP′（SAS）， ∴∠BAP＝∠BEP′＝90°， ∴点P′在射线EP′上运动， 如图1中，设EP′交BC于点O， 当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°－60°＝120°， 当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°， ∴EO＝OB，OP′＝OC， ∴EP′＝EO＋OP′＝OB＋OC＝BC， ∵BC＝2AB， ∴EP′＝AB＝EB， ∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°， ∴∠BP′C＝45°＋90°＝135°， ∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－60°＝75°． 故答案为：120°，75°． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且． （Ⅰ）线段的长等于___________； （Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）将AC放在一个直角三角形，运用勾股定理求解； （2）取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）如图，Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC==； （Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）直接解不等式①即可解答； （2）直接解不等式①即可解答； （3）在数轴上表示出①、②解集即可； （3）数轴上表示的不等式的解集，确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ． 故答案为：． 【小问3详解】 解：把不等式和的解集在数轴上表示出来： 【小问4详解】 解：由图可知原不等式组的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和在数轴上表示不等式的解集是解答本题的关键． 20. 小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值． x … 0 1 2 y … 3 4 3 0 （1）直接写出该二次函数的顶点D的坐标为______ （2）求该二次函数的表达式； （3）若，直接写出x的取值范围_______． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由表格数据可知二次函数图象对称性可得图象顶点． （2）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （3）利用二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：由表格数据可知二次函数的对称轴为直线， 二次函数图象对称性可得图象顶点为， 【小问2详解】 解：设二次函数的表达式为， 将代入得， 解得：， 该二次函数的表达式为； 【小问3详解】 解：令，则， 解得或， 令，则， 解得或， ∵ ∴二次函数的开口向下， 结合函数图象可知，当或时，． 21. 如图，是的直径，，分别与相切于点B，D，连接，E是的延长线上一点，连接，并延长交于点F． （1）若，求的度数 （2）若，，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，根据圆周角定理，切线长定理及四边形内角和定理得到，，再证明，即可求解； （2）根据题意，结合（1）的计算，由勾股定理得到，，，，再证明，由此即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， ∵，分别与相切于点B，D， ∴，，即， 在四边形中，， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，分别与相切于点B，D，点是直径延长线上一点， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，则，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析，合理作出辅助线是关键． 22. 项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，四边形为矩形， ∴，， ∴，， 设米，则米，米， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，解得， ∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 23. 已知学生宿舍、文具店、自习室依次在同一条直线上，文具店离宿舍，自习室离宿舍，小明从宿舍出发，先匀速步行到文具店，在文具店购买文具停留了，之后匀速骑行到达自习室，在自习室停留后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 40 75 小明离宿舍的距离 0.8 ②填空：小明从自习室到宿舍的骑行速度为______； ③当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （2）当小明离开宿舍时，同宿舍的小杰从文具店出发匀速步行直接前往自习室，如果小杰比小明晚到达自习室，那么他在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①0.4；2；1．②0.2．③． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的关系和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）①根据图象以及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； ②根据路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； ③利用待定系数法求解即可，然后写成分段函数的形式； （2）根据题意，利用待定系数法求出小杰离宿舍的距离y与时间x之间的关系式，根据二人离宿舍的距离相等列方程，求解再进行计算即可． 【小问1详解】 解：①小明从宿舍到文具店过程中的速度为：， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：, 由图可知，当小明离开时，他离宿舍的距离为, 小明从自习室返回宿舍过程中的速度为：， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：． ②由①可知小明从自习室到宿舍的骑行速度为． ③当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，由图像可知，小明离宿舍的距离始终为0.8， ∴， 当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将和代入，得， 解得， ∴ 综上所述，小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：． 故答案为：①0.4；2；1．②0.2．③． 【小问2详解】 设小杰离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将和代入，得， 解得， ∴， ∵小杰在前往自习室的途中遇到了小明， ∴， 解得， 此时离宿舍的距离为：， 答：小杰在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是． 24. 将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，，点P在边上（点P不与点重合）． （1）如图①，当时，求点P的坐标； （2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点为，设． ①如图②，若折叠后与重叠部分为四边形，分别与边相交于点，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围； ②若折叠后与重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）点P的坐标为； （2）①，t的取值范围是；②． 【解析】 【分析】（1）过点P作轴，则，因为，，可得，进而得，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得，进而用勾股定理可得，点P的坐标即求出； （2）①由折叠知，，所以，；再根据，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形为菱形，所以，可得；根据点A的坐标可知，加之，从而有；而在中，， 又因为，所以得，由和的取值范围可得t的范围是；②分重叠部分为四边形和三角形两种情况，分别由①知，为等边三角形，由（1）四边形为菱形，所以,三角形为直角三角形，进而求得重叠部分面积的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：如图，过点P作轴，垂足为H，则． ， ． ． 在中，， ，． 点P的坐标为． 【小问2详解】 解：①由折叠知，， ，． 又∵， ． 四边形为菱形． ．可得． 点， ． ∴． 在中，． ， ，其中t的取值范围是． ②当重叠部分为四边形时，即 由①知，为等边三角形， ∵四边形为菱形， ∴ ∴三角形为直角三角形，， ∴，, ∴， ∵， ∴． 当重叠部分为三角形时，即 由折叠知，， ，． 又∵， ． 四边形为菱形． ． ∴． 点， ． ∴． 在中，． ∴，其中t的取值范围是． ∴，, ∴， ∵， ∴． 综上，当时，求S的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了折叠问题、菱形的判定与性质、求不规则四边形的面积等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 25. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C． （1）已知，，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下， ①点D是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； ②将抛物线位于y轴及y轴左侧的部分记为函数，过点C作直线轴，将原抛物线位于y轴右侧的部分沿直线翻折，翻折后的部分记为函数，函数和函数形成新的函数w，在上任取点Q，过点Q作直线，当与函数w只有两个公共点时，直接写出的解析式_______． （3）已知，，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，交抛物线于点F，点F在第一象限，过点F作轴，垂足为G，当的最大值为时，求b的值． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答； ②先求得直线的函数表达式为，进而可设直线的函数表达式为，由折叠性质，可画图分析，当时，只有当直线与函数的图象相切时，与函数的图象有一个交点，此时函数与函数w的图象只有两个公共点，联立方程组，令求得m值即可解答； （3）如图，设与交于点E，过P作交延长线于Q，则，利用等腰直角三角形的判定与性质，结合平行线的性质得到，则可得，当取最大值时，取得最大值，此时的最大值为；求得，则有，，再求得直线的函数解析式为，设，求得直线的函数解析式为，设直线的函数解析式为，联立方程组推导出，进而利用二次函数的性质求得的最大值，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入中，得 解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图，设抛物线的对称轴与x轴交点为H， 令，解得：， ∴，， ∴， 由翻折可得，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴； ②对于函数，图象开口向下，对称轴为直线， 当时，，则， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为， ∵直线， ∴设直线的函数表达式为， 由折叠性质，画图如下， 由图知，当时，直线与函数的图象在部分有一个交点，与函数的图象在C处相交，此时函数与函数w的图象只有两个公共点，但直线 与直线重合，不满足直线； 当时，直线与函数的图象在部分有一个交点，与函数的图象无交点； 当时，只有直线与函数的图象相切时，与函数的图象有一个交点，此时函数与函数w的图象只有两个公共点， 联立方程组，得， 由得， ∴直线函数表达式为， 故当与函数w图象只有两个公共点时，直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：如图，设与交于点E，过P作交延长线于Q，则， ∵，，轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当取最大值时，取得最大值，此时的最大值为； 由得， ∴， ∵，， ∴，则， ∴，则， ∴，， ∵，， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为， 设，代入中，得， ∴直线的函数解析式为， ∵， ∴设直线的函数解析式为， 联立方程组，整理得， ∴，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴时，取最大值， ∴， 解得或（不符题意，舍去）． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、坐标与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数形结合和转化的思想方法求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $