精品解析：陕西汉中市西乡县第一中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

2028届高一年级下学期第一次月考试题 数学 一、单选题 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 设是定义在R上的函数，对任意的实数有，又当时，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列命题正确的是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的长度为0． A. （1） B. （2） C. （3） D. 全部错误 4. 函数的定义域为（   ） A ， B. ， C ， D. ， 5. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（　　） ①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度； ④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度． A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 6. 在平行四边形中，为的中点，点在上，且，设，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 对于函数下列说法中正确的是（ ） A. 该函数的值域是 B. 当且仅当时，函数取得最大值1 C. 当且仅当时，函数取得最小值 D. 当且仅当时， 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，且，则 二、多选题 9. 下列说法中错误的是（    ） A. 若、、、四点构成平行四边形，则 B. 若向量，则与的方向相同或相反 C. 若为非零实数，且，则向量与共线 D. 若，则 10. ，是平面内向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为一组基底的是（   ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 11. 点是函数图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 值域为 C. 是图象的一条对称轴 D. 在上单调递增 三、填空题 12. 化简：=__________. 13. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知为的中点，，，则此扇面（扇环）部分的面积是__________. 14. 若函数的图象过点，在上有且只有两个零点，则的取值范围是______． 四、解答题 15. （1）化简． （2）计算. 16. 已知函数． （1）用“五点法”作出函数在一个周期上的图象； （2）解不等式． 17. 已知点G为的重心． （1）求； （2）过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值． 18. 全国各地文化旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化．现假设某景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数，来刻画，其中正整数x表示月份且．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式． （2）一般地，当该地区从事旅游服务工作人数超过160时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 19. 已知函数，函数图象关于对称，且函数图象上相邻最高点与最低点之间的距离为4． （1）求，的值； （2）求函数的单调增区间； （3）若方程在有两个根，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一年级下学期第一次月考试题 数学 一、单选题 1. 值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求得答案. 【详解】. 故选：A 2. 设是定义在R上的函数，对任意的实数有，又当时，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得函数的最小正周期为T=6，再由时，，代入可求得答案. 【详解】因为，所以函数的最小正周期为T=6，所以， 又当时，，所以，所以， 故选：C. 3. 下列命题正确的是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的长度为0． A. （1） B. （2） C. （3） D. 全部错误 【答案】C 【解析】 【详解】向量可以由有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，（1）错误； 零向量的方向是任意的，故（2）错误； 零向量是长度为的向量，故（3）正确. 4. 函数的定义域为（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数的性质求解即可. 【详解】要使函数有意义，则需满足，即 解得， 所以函数的定义域为， 5. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（　　） ①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ③每个点横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度； ④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度． A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数图象的平移变换、周期变换进行判断. 【详解】因为， 对于①，函数的图象向左平移个单位长度，得到， 再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，故①正确； 对于②，函数的图象向右平移个单位长度，得到， 再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到，故②错误； 对于③，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到， 再向右平移个单位长度，得到，故③错误； 对于④，将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到， 再向左平移个单位长度，得到，故④正确．故B，C，D错误. 故选：A. 6. 在平行四边形中，为的中点，点在上，且，设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，求得，，再由，结合，求得的值，即可求解. 【详解】由平行四边形中，为的中点，可得为的中点， 可得，所以， 又由，可得， 因为点在上，且，可得， 又因为，则， 所以， 因为，所以，所以. 7. 对于函数下列说法中正确的是（ ） A. 该函数的值域是 B. 当且仅当时，函数取得最大值1 C. 当且仅当时，函数取得最小值 D. 当且仅当时， 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据图象判断各选项. 【详解】画出函数图象如图所示， 由图象容易看出： 该函数的值域是，故A错误； 当且仅当或，时，函数取得最大值1，故B错误； 当且仅当时，函数取得最小值，故C错误； 当且仅当时，，故D正确. 故选：D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移、伸缩变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，则， 则，故A错误； 将的图象向右平移个单位，可得的图象，再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象，即，故B错误； 令，则，即对称中心为，故C错误； 因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知， 则，则，故D正确. 故选：D 二、多选题 9. 下列说法中错误的是（    ） A. 若、、、四点构成平行四边形，则 B. 若向量，则与的方向相同或相反 C. 若为非零实数，且，则向量与共线 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】A选项：若四点构成平行四边形，并没有限制四个点顺序，所以不一定有，如形成的平行四边形为平行四边形时, 就不存在, 所以A错误. B选项：零向量与任意向量平行，零向量方向任意，故向量时，与方向不一定相同或相反，B错误. C选项：非零实数满足，由共线向量定理知与共线，C正确. D选项：若，，，但与不一定平行，D错误. 10. ，是平面内向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为一组基底的是（   ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】ACD 【解析】 【详解】一组向量能作为基底的条件是两向量不共线, 所以，不共线. A选项：设，无解，不共线，可作为基底. B选项：，共线，不可作为基底. C选项：设，无解，不共线，可作为基底. D选项：设，无解，不共线，可作为基底. 11. 点是函数图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的值域为 C. 是图象的一条对称轴 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设中函数图象的性质可得，再根据正弦型函数的性质判断各项的正误. 【详解】由题意，，且，且， 又，则，故，值域为， ，即是一个对称中心， 由，则，故在上单调递增. 所以A、B、D正确，C错误. 故选：ABD 三、填空题 12. 化简：=__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量运算的结合律和线性运算化简即得解. 【详解】原式=. 故答案为： 【点睛】本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知为的中点，，，则此扇面（扇环）部分的面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积. 【详解】. 故答案：. 14. 若函数的图象过点，在上有且只有两个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象过点，求出，再根据在上有且只有两个零点，结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数的图象过点， 所以，即， 又因，所以， 对于， 由，得， 因为在上有且只有两个零点， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）化简． （2）计算. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）（2）直接按照诱导公式化简求值即可. 【详解】（1）原式=； （2）原式= . 16. 已知函数． （1）用“五点法”作出函数在一个周期上的图象； （2）解不等式． 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用＂五点作图法＂即可得解； （2）利用整体代入法，结合正弦函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：列表如下： 0 0 1 0 0 描点作图，如图所示： 【小问2详解】 解：因为， 所以， 解得， 故不等式的解集为． 17. 已知点G为的重心． （1）求； （2）过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据已知得出与三边所在向量的关系，即可根据向量的运算得出答案； （2）根据已知得出，结合，，根据M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，即可得出答案. 【小问1详解】 点G为的重心， ，，， ， 【小问2详解】 点G为的重心， ， ， ， ， ， ， ， 与共线， 存在实数，使得， 则， 根据向量相等的定义可得， 消去可得， 两边同除，整理得. 18. 全国各地文化旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化．现假设某景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数，来刻画，其中正整数x表示月份且．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式． （2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 【答案】（1），且 （2）7，8，9月是该地区的旅游旺季，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意首先求出A，再根据周期求出，最后根据求出k，即可得到函数解析式； （2）令，结合余弦函数的性质计算可得，注意x为正整数． 【小问1详解】 由②可知，解得． 由②可得，则， 又，所以解得． 所以， ，即，解得． 所以，且． 【小问2详解】 令， 则， 则，即． 因为，所以， 又，所以， 所以一年中的7，8，9月是该地区的旅游旺季． 19. 已知函数，函数图象关于对称，且函数图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4． （1）求，的值； （2）求函数的单调增区间； （3）若方程在有两个根，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据相邻最高点与最低点的距离为4求得，根据图象关于对称求得. （2）由解得的单调增区间； （3）作出时的图象，观察图象得的取值范围． 【小问1详解】 ∵图象上相邻的最高点与最低点的距离为4．且， ∴，∴即，∴， 又图象关于对称， ∴，，∴，， 又∵，∴． 【小问2详解】 ， 由解得， ∴的单调增区间为． 【小问3详解】 当时， 作出时的图象如下图： 若方程在有两个根，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $