精品解析：华斯达学校2025-2026年第二学期高二数学第一次月考试题

华斯达学校2025-2026年第二学期高二数学第一次月考试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l经过两点，，那么直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 3 2. 已知是等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 3. 已知在边长为的正三角形中，､分别为边､上的动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程＝0有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若，请你根据这一发现判断函数的对称中心为(　　) A. (,1) B. (－,1) C. (,－1) D. (－,－1) 6. 是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，，若，则必有（ ） A. B. C. D. 7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和，则（     ） A B. C. 当或6时，数列有最小项 D. 是等差数列 10. 如图，已知正方体边长为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成角为 B. 平面 平面 C. 三棱锥的体积是正方体的 D. 直线与平面所成角的正弦值为 11. 丹麦数学家琴生（Jensen）在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．若为上任意个实数，满足，则称函数在上为＂上凸函数＂．设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“上凸函数”．下列结论正确的是（ ） A. 函数在上为“上凸函数” B. 函数在上为“上凸函数” C. 在中， D. 已知函数在上为“上凸函数”，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则___________． 13. 如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________. 14. 已知函数.给出下列四个结论： ①当时，偶函数； ②当时，对任意，都有； ③当时，在上单调递减； ④存在实数，使得有2个零点. 其中正确结论序号为__________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点. （I）证明：CE∥平面PAB； （II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值 16. 已知内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若且的面积为，求边. （3）若，且，求的值. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值； （3）若对于任意，都有，求实数a的取值范围． 18. 记数列的前项和为，满足．记数列的前项和为，满足， （1）求数列的通项公式： （2）求数列的通项公式： （3）求数列的前项和． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求使恒成立最大偶数． （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华斯达学校2025-2026年第二学期高二数学第一次月考试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l经过两点，，那么直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率公式求得直线的斜率. 【详解】， 故选：C 2. 已知是等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 3. 已知在边长为的正三角形中，､分别为边､上的动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立直角坐标系由数量积坐标运算公式可得答案. 【详解】如图建系，则､､， 则，，设()， 则()，则，， ∴，， ∴， 当时取最大值， 故选：B. 4. 已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据棱锥及棱柱的体积公式计算求解. 【详解】如图所示，几何体为正三棱柱，且所有棱长均为， 底面ABC为正三角形，侧面为正方形， 则 ． 故选:A． 5. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程＝0有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若，请你根据这一发现判断函数的对称中心为(　　) A. (,1) B. (－,1) C. (,－1) D. (－,－1) 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设定义求的拐点，即可得对称中心. 【详解】依题意，，， 由，得x＝，又f()＝1， ∴函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为(,1)． 故选：A 6. 是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，，若，则必有（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数确定函数的单调性，进而比较大小. 【详解】令，则， 又，，所以，函数在上单调递减， 由，得，即，所以. 7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件分析得到数列的通项公式,并利用等差数列前n项和公式化简，进而求得数列的通项公式,再利用裂项相消求和法求得结果. 【详解】由题意可得，,…… 所以，. 所以， 所以，+++…+ 故选：D 8. 如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算结合椭圆的性质可得，再由离心率的定义计算可得. 【详解】因为， 则， 即，可得， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和，则（     ） A. B. C. 当或6时，数列有最小项 D. 是等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】对于A：因为，当时，故A正确； 对于B：当时， 所以， 经检验时也成立，所以，故B正确； 对于C：因为，所以当或时取得最大值，且，即数列有最大项，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确. 故选：ABD 10. 如图，已知正方体边长为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成角为 B. 平面 平面 C. 三棱锥的体积是正方体的 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量法计算可判断ABD，根据三棱锥体积公式计算可判断C. 【详解】以D点为坐标原点，DA为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，， 所以，， 因为， 所以，即直线与所成角为，故A正确； ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，即， 在正方体中，平面的法向量可以为， 因为， 所以平面 平面不成立，故B错误； ，故C正确； 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D错误. 故选：AC 11. 丹麦数学家琴生（Jensen）在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．若为上任意个实数，满足，则称函数在上为＂上凸函数＂．设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“上凸函数”．下列结论正确的是（ ） A. 函数在上为“上凸函数” B. 函数在上为“上凸函数” C. 在中， D. 已知函数在上为“上凸函数”，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数新定义结合导函数的正负得出函数单调性计算判断各个选项即可. 【详解】对于A项，在上恒成立，在上不成立，故在上不是“上凸函数”，A项错误； 对于B项，的导函数，，当时，， 所以，所以函数在上“上凸函数”，B项正确； 对于C项，对于函数，在上恒成立， 所以在上为“上凸函数”，又为的内角， 所以，即，C项正确； 对于D项，函数，求导得，， 依题意，恒成立， 又函数在上单调递增，所以，则，所以实数的取值范围是，D项正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】求得导数，代入列式求解即得. 【详解】， ，∴，解得或 故答案为：或. 13. 如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参. 【详解】由题意知， 因为， 所以，则. 故答案为：. 14. 已知函数.给出下列四个结论： ①当时，为偶函数； ②当时，对任意，都有； ③当时，在上单调递减； ④存在实数，使得有2个零点. 其中正确结论的序号为__________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用偶函数定义判断①；利用导数确定单调性判断②③；确定零点个数判断④. 【详解】函数的定义域为， 对于①，当时，，，为偶函数，①正确； 对于②，当时，，求导得， 函数在上单调递减，恒有，②正确； 对于③，当时，， 当时，；当 时，， 函数在上单调递减，在上单调递减，因此在上单调递减，③正确； 对于④，函数的零点即为方程的根， 亦即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内画出函数的图象及直线，如图： 直线过定点，令与函数相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 则当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点， 因此当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，函数的图象与直线没有交点； 当时，由对称性得函数的图象与直线有1个交点， 所以不存在实数，使得有2个零点，④错误. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点. （I）证明：CE∥平面PAB； （II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值 【答案】（I）见解析；（II）. 【解析】 【详解】试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．满分15分． （Ⅰ）取PA中点F，构造平行四边形BCEF，可证明；（Ⅱ）由题意，取BC，AD的中点M，N，可得AD⊥平面PBN，即BC⊥平面PBN，过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH．可知MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．依此可在Rt△MQH中，求∠QMH的正弦值． 试题解析： （Ⅰ）如图，设PA中点为F，连接EF，FB． 因为E，F分别为PD，PA中点，所以且， 又因为，，所以且， 即四边形BCEF为平行四边形，所以， 因此平面PAB． （Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N．连接PN交EF于点Q，连接MQ． 因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点， 在平行四边形BCEF中，MQ//CE． 由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD． 由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD． 所以AD⊥平面PBN， 由BC//AD得BC⊥平面PBN， 那么平面PBC⊥平面PBN． 过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH． MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角． 设CD=1． 在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=， 在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=， 在Rt△MQH中，QH=，MQ=， 所以sin∠QMH=， 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是． 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的．另外，本题也可利用空间向量求解线面角． 16. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若且的面积为，求边. （3）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式化简已知得，然后利用同角函数基本关系及特殊角的函数值求解即可. （2）直接利用三角形面积公式列方程求解即可. （3）结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得，然后利用两角差的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由得：， ， ，即， ，，即， 又，. 【小问2详解】 由及得：，解得：. 【小问3详解】 ，， 所以由得：， 所以 . 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值； （3）若对于任意，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）见详解； （3）. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义计算即可； （2）利用导函数判断单调区间及极值即可； （3）分离参数结合导数研究函数的最值计算即可. 【小问1详解】 由题意可知， 所以，故曲线在点处切线方程为； 小问2详解】 由（1）知， 令可得，即在上单调递增； 令可得，即在上单调递减， 令可得，函数在上取得极小值，极小值为，无极大值； 综上函数在上单调递增，在上单调递减，无极大值，极小值为； 【小问3详解】 原式对恒成立， 令， 当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 所以，即， 故. 18. 记数列的前项和为，满足．记数列的前项和为，满足， （1）求数列的通项公式： （2）求数列的通项公式： （3）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用，的关系可求得； （2）由，可得递推关系，进而可得，可求通项公式； （3）利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 当时， 当时，， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， 【小问2详解】 由得， 整理得①， ② ②-①得，即 即数列是等差数列， ，，， 【小问3详解】 由（1）（2）得 ， ， 两式相减， 即数列的前项和. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求使恒成立的最大偶数． （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）参变分离利用导数求函数的单调性与最值即可 （3）结合（2）的结论先推出，再令，化简得，利用累加法计算即可. 【小问1详解】 当时，，，且的定义域为， 所以， 曲线在点处切线的斜率为， 所以切线方程为； 【小问2详解】 当时，使等价于， 令，所以， 令，所以， 所以在上单调递增， 又因为， 所以在上，使， 即，，，；，，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 因为，所以， 所以，且， 所以使恒成立最大偶数为； 【小问3详解】 由（2）知当时，恒成立， 得，即， 令， 所以， 即 当时，， 当时，， …… 当时，， 相加整理得， 所以． 【点睛】本题第二问在于参变分离构造函数，结合隐零点求恒成立问题即可，第三问在于利用上面结论得出，再令，累加即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $