精品解析：2026年江西吉安市泰和县水槎初级中学中考模拟训练(一)数学试题

2026年中考模拟训练・数学（一） 说明： 1.本试题卷满分120分，考试时间为120分钟. 2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效. 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置.错选、多选或未选均不得分. 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背与地面垂直，小桌板与地面平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 某校开展“阳光体育”活动，对爱好篮球，排球，足球，羽毛球的学生人数进行统计，根据统计数据绘制了如图所示的扇形统计图.已知爱好排球的有46人，则爱好篮球的人数为（ ） A. 138 B. 115 C. 161 D. 92 6. 晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点．如图所示的是某晶体在加热时的温度随时间变化的图象，下列说法错误的是（ ） A. 这一变化过程中，自变量是时间 B. 该晶体的熔点是 C. 该晶体在第时全部为液态 D. 熔化过程大约持续了 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：________． 8. 分解因式：______． 9. 据悉，我国每年培养科学、技术、工程和数学（）专业毕业生超过500万人，全球领先、数据“500万”用科学记数法表示为______． 10. 大衍数列：0，2，4，8，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，已知大衍数列可按如下方式排列：，，，，….则大衍数列的第9个数是______． 11. 如图，菱形的面积为24，对角线，相交于点，且，过点作的平行线交的延长线于点，连接，则的长为______． 12. 如图，在直角中，，，，将直角边绕点顺时针旋转得到，旋转角为（），连接，.若是以边为直角边的直角三角形，则此时线段的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算与解不等式组 （1）计算：． （2）解不等式组： 14. 如图，与相交于点，，，求证：． 15. 如图所示的是的正方形网格，已知，，三点均在格点上，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作，使得． （2）在图2中作，使得． 16. 为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校劳动实践基地共开设四门劳动实践课程，分别是：绿植栽培，：衣物清洗，：手工制作，：简单烹饪，且每人只能参加一门实践课程． （1）九年级一班的王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“：绿植栽培”的概率为________； （2）九年级一班的甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，请用画树状图或列表的方法，求他们选择的实践课程相同的概率． 17. 如图，为的直径，与相切于点，过点作于点，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线经过点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）连接，，求的面积． 19. 科技改变生活，某厂家上市了两款新型智能助听眼镜，它将开放式听力技术集成到眼镜，适合听力为轻度至中度损失的人群.某商家获取到相关信息；购进1副甲品牌智能助听眼镜和4副乙品牌智能助听眼镜共需5200元，购进2副甲品牌智能助听眼镜和3副乙品牌智能助听眼镜共需5400元． （1）求甲、乙两种品牌智能助听眼镜每副的进货价格． （2）若该商家准备购进甲、乙两种品牌智能助听眼镜共20副，且进货总费用不超过23500元，则至多可购进甲品牌智能助听眼镜多少副？ 20. 如图1所示的是正六边形组合的玻璃笔筒，其俯视图是如图2所示的图形，每个正六边形的边长均为，点，，，，，均为正六边形的顶点，为的中点． （1）的度数为______，线段与的位置关系是______． （2）连接，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 赣南脐橙因赣南红壤土富含稀土元素，赋予脐橙独特甘甜风味，被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号．脐橙成熟季，数学小组成员想了解甲、乙两片果园的脐橙质量，随机从甲、乙两片果园各抽取了20个脐橙，从果径大小、甜度、水分三个方面进行考察，统计结果如下： 数据处理 甲、乙果园的脐橙果径大小分布表 果径 等级 甲果园频数 乙果园频数 小果 2 4 中果 8 5 大果 8 10 特大果 2 1 各方面平均分统计表 果径平均值 甜度平均值 水分平均值 甲 乙 数据应用 （1）乙果园的脐橙果径的中位数落在______区间．（填正确结论的选项） A. B. C. D. （2）补全甜度得分统计图，并指出甲果园中甜度得分的众数为______． （3）若从甲果园随机摘下600个脐橙，估计大果的数量． （4）若某水果商想选择承包其中一片果园的脐橙，按照果径、甜度、水分分别占比计算综合评分，且综合评分越高越好．请通过计算说明该水果商应该选择哪片果园． 22. 问题背景 如果一条抛物线（）与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，称为“抛物线三角形系数”．某数学兴趣小组围绕该定义，结合抛物线的性质进行了相关探究． 探究条件 已知抛物线与轴的交点从左到右依次为，，且“抛物线三角形系数”为． 初步探究 （1）求的取值范围． （2）若抛物线的顶点与点，组成的“抛物线三角形”为等腰直角三角形，求的值． 深入探究 （3）在（2）条件下，现将抛物线向右平移，平移后得到的抛物线与轴的交点从左到右依次为，，且，求抛物线的解析式． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 折纸是一种常见的游戏，综合实践小组以“正方形的折叠”为主题开展活动． 操作判断 操作一：如图，将正方形纸片折叠，使得折痕，把纸片展平． 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，连接，把纸片展平． 操作三：连接并延长交于点，连接交于点，若． 根据以上操作，回答下列问题： （1）下列结论正确的是______． ①平分； ②； ③是等腰三角形． （2）如图1，当时，的度数为______，与的数量关系为______． （3）如图2，当时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展应用 （4）如图3，在矩形中，点在边上，把沿翻折得，点在边上，平分，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟训练・数学（一） 说明： 1.本试题卷满分120分，考试时间为120分钟. 2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效. 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置.错选、多选或未选均不得分. 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D都不是轴对称图形， 选项C，该图形沿着中间横直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形． 3. 计算的结果为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】解：． 4. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背与地面垂直，小桌板与地面平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，先由平行线的性质求解，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，由题意得 ∵， ∴， ∵， ∴． 5. 某校开展“阳光体育”活动，对爱好篮球，排球，足球，羽毛球的学生人数进行统计，根据统计数据绘制了如图所示的扇形统计图.已知爱好排球的有46人，则爱好篮球的人数为（ ） A. 138 B. 115 C. 161 D. 92 【答案】C 【解析】 【分析】根据爱好排球的人数和所占的百分比求出总人数，再根据爱好篮球的人数所在百分数列式，即可得出答案． 【详解】解：依题意得：被调查的学生人数为：（人）， ∴爱好篮球的学生人数为：（人）． 6. 晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点．如图所示的是某晶体在加热时的温度随时间变化的图象，下列说法错误的是（ ） A. 这一变化过程中，自变量是时间 B. 该晶体的熔点是 C. 该晶体在第时全部为液态 D. 熔化过程大约持续了 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、这一变化过程中，自变量是时间，原说法正确，不符合题意； B、该晶体的熔点是，原说法正确，不符合题意； C、该晶体在第时全部为液态，原说法错误，符合题意； D、熔化过程大约持续了，原说法正确，不符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得到正确的结果． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 8. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法分解因式是解题的关键．提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9. 据悉，我国每年培养科学、技术、工程和数学（）专业毕业生超过500万人，全球领先、数据“500万”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据科学记数法的定义确定和的值，即可得到结果． 【详解】解：500万． 10. 大衍数列：0，2，4，8，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，已知大衍数列可按如下方式排列：，，，，….则大衍数列的第9个数是______． 【答案】40 【解析】 【分析】观察已知等式，总结大衍数列第个数的通项规律，判断为奇数，代入对应公式计算即可得到结果． 【详解】解：当为奇数时，大衍数列的第个数为， 当为偶数时，大衍数列的第个数为， 因为所求为第个数，是奇数，将代入，得． 11. 如图，菱形的面积为24，对角线，相交于点，且，过点作的平行线交的延长线于点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得、互相垂直平分，利用菱形的面积为24，建立方程可求出，由平行四边形的性质和判定可得四边形是平行四边形，进而得到，，最后在中利用勾股定理即可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即是直角三角形， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理． 12. 如图，在直角中，，，，将直角边绕点顺时针旋转得到，旋转角为（），连接，.若是以边为直角边的直角三角形，则此时线段的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】随着旋转角度的增大，对中点P的位置进行分类讨论，结合勾股定理计算的长度． 【详解】解：在直角中，，，， ∴， ， ①如图1，当时，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； ②如图2，当时，过点作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； ③如图3，当时，， ∴； 综上所述，线段的长为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算与解不等式组 （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 14. 如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】证明：在△AOC和△BOD中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用“”证明即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】略 15. 如图所示的是的正方形网格，已知，，三点均在格点上，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作，使得． （2）在图2中作，使得． 【答案】（1） 解：如图1，为所求．（答案不唯一） 理由：连接，设交于点， 根据网格的特征知：，，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：如图2，为所求．（答案不唯一） 理由：取格点F，连接，取格点D，连接， 根据网格的特征知：，，， ∴，， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）取格点E，连接即可； （2）取格点F，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校劳动实践基地共开设四门劳动实践课程，分别是：绿植栽培，：衣物清洗，：手工制作，：简单烹饪，且每人只能参加一门实践课程． （1）九年级一班的王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“：绿植栽培”的概率为________； （2）九年级一班的甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，请用画树状图或列表的方法，求他们选择的实践课程相同的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率，注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据“概率=所求情况数与总情况数之比”求解即可； （2）画出树状图求解即可； 【小问1详解】 解：王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“：绿植栽培”的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们选择的实践课程相同的结果有4种，即，， ∴他们选择的实践课程相同的概率． 17. 如图，为的直径，与相切于点，过点作于点，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线经过点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）连接，，求的面积． 【答案】（1）， （2）9 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，坐标系中点的坐标的特点，三角形的面积公式； （1）将点代入直线解析式可求出，把代入直线解析式可求出，再代入即可求出； （2）过点作轴于点，交于点，利用反比例函数解析式先求出点坐标，再由三点坐标可求出的底和高，最后利用三角形的面积公式即可求出面积． 【小问1详解】 解：将点代入直线，得， ， 一次函数的表达式为， 把代入，得， ， 把代入，得， ， 反比例函数的表达式为． 综上所述：一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点，交于点， 点在反比例函数的图象上， ， ， 轴，， ， ，即， . 19. 科技改变生活，某厂家上市了两款新型智能助听眼镜，它将开放式听力技术集成到眼镜，适合听力为轻度至中度损失的人群.某商家获取到相关信息；购进1副甲品牌智能助听眼镜和4副乙品牌智能助听眼镜共需5200元，购进2副甲品牌智能助听眼镜和3副乙品牌智能助听眼镜共需5400元． （1）求甲、乙两种品牌智能助听眼镜每副的进货价格． （2）若该商家准备购进甲、乙两种品牌智能助听眼镜共20副，且进货总费用不超过23500元，则至多可购进甲品牌智能助听眼镜多少副？ 【答案】（1）甲品牌智能助听眼镜每副的进货价格为1200元，乙品牌智能助听眼镜每副的进货价格为1000元 （2）17副 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设甲品牌智能助听眼镜每副的进货价格为元，乙品牌智能助听眼镜每副的进货价格为元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购进甲品牌智能助听眼镜a副，则购进乙品牌智能助听眼镜副，根据题意列出不等式，结合为整数，进行解答即可． 【小问1详解】 解：设甲品牌智能助听眼镜每副的进货价格为元，乙品牌智能助听眼镜每副的进货价格为元， 根据题意得 解得 答：甲品牌智能助听眼镜每副的进货价格为1200元，乙品牌智能助听眼镜每副的进货价格为1000元； 【小问2详解】 解：设购进甲品牌智能助听眼镜a副，则购进乙品牌智能助听眼镜副， 根据题意得， 解得， 为整数， 的最大值为17， 答：至多可购进甲品牌智能助听眼镜17副． 20. 如图1所示的是正六边形组合的玻璃笔筒，其俯视图是如图2所示的图形，每个正六边形的边长均为，点，，，，，均为正六边形的顶点，为的中点． （1）的度数为______，线段与的位置关系是______． （2）连接，求的长． 【答案】（1）；平行 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正多边形内角度数为，将边数代入即可求解； （2）连接并延长交的延长线于点，作于点，先求出， ，过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，，可得，，再根据勾股定理求出结论． 【小问1详解】 解：∵多边形为正六边形， ∴，且每个内角都为， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接并延长交的延长线于点，作于点， 笔筒是边长均为的三个正六边形， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 过点作，垂足为， 在中，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴的长为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 赣南脐橙因赣南红壤土富含稀土元素，赋予脐橙独特甘甜风味，被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号．脐橙成熟季，数学小组成员想了解甲、乙两片果园的脐橙质量，随机从甲、乙两片果园各抽取了20个脐橙，从果径大小、甜度、水分三个方面进行考察，统计结果如下： 数据处理 甲、乙果园的脐橙果径大小分布表 果径 等级 甲果园频数 乙果园频数 小果 2 4 中果 8 5 大果 8 10 特大果 2 1 各方面平均分统计表 果径平均值 甜度平均值 水分平均值 甲 乙 数据应用 （1）乙果园的脐橙果径的中位数落在______区间．（填正确结论的选项） A. B. C. D. （2）补全甜度得分统计图，并指出甲果园中甜度得分的众数为______． （3）若从甲果园随机摘下600个脐橙，估计大果的数量． （4）若某水果商想选择承包其中一片果园的脐橙，按照果径、甜度、水分分别占比计算综合评分，且综合评分越高越好．请通过计算说明该水果商应该选择哪片果园． 【答案】（1）C （2）9 补全统计图如下： （3）估计大果的数量为240 （4）该水果商应该选择乙果园 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义，即可求解； （2）根据平均值结合条形统计图，众数的定义，即可求解； （3）根据样本估计总体，即可求解； （4）计算加权平均数，得出综合评分，比较大小即可求解． 【小问1详解】 解：，， 乙果园的脐橙果径的中位数落在区间． 【小问2详解】 解：∵甲果园的脐橙甜度平均值为，设分的有个， ∴， 解得：． ∵乙果园的脐橙甜度平均值为，设分的有个 ∴， 解得：． 甲果园中甜度得分的众数为． 【小问3详解】 解：． 答：估计大果的数量为． 【小问4详解】 解：． ． 因为，所以该水果商应该选择乙果园． 22. 问题背景 如果一条抛物线（）与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，称为“抛物线三角形系数”．某数学兴趣小组围绕该定义，结合抛物线的性质进行了相关探究． 探究条件 已知抛物线与轴的交点从左到右依次为，，且“抛物线三角形系数”为． 初步探究 （1）求的取值范围． （2）若抛物线的顶点与点，组成的“抛物线三角形”为等腰直角三角形，求的值． 深入探究 （3）在（2）条件下，现将抛物线向右平移，平移后得到的抛物线与轴的交点从左到右依次为，，且，求抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意可知，抛物线的解析式为，令，可得其与轴的两个交点横坐标为和，根据题设“交点从左到右依次为，”，可知，解此不等式即可求出的取值范围； （2）抛物线与轴的交点坐标为，，顶点坐标为，得到，根据“抛物线三角形”为等腰直角三角形推出，即可求解； （3）由（2）知抛物线的解析式为，，，设将抛物线向右平移个单位长度，得到，，抛物线的解析式为，结合列方程求出，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的“抛物线三角形系数”为， 抛物线的解析式为， 令，则， 抛物线与轴的交点坐标为，， ， 即； 【小问2详解】 由（1）知抛物线的解析式为，开口向上， 抛物线与轴的交点坐标为，， 顶点坐标为， ，在的左边， ， ， “抛物线三角形”为等腰直角三角形， ， 抛物线开口向上， ， ， 解得或（舍去）， 的值为； 【小问3详解】 由（2）知抛物线的解析式为，，， 设将抛物线向右平移个单位长度， ，，抛物线的解析式为， ，， ， ， 或， 抛物线的解析式为或． 【点睛】理解题意，结合抛物线的图象与性质，列方程求解是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 折纸是一种常见的游戏，综合实践小组以“正方形的折叠”为主题开展活动． 操作判断 操作一：如图，将正方形纸片折叠，使得折痕，把纸片展平． 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，连接，把纸片展平． 操作三：连接并延长交于点，连接交于点，若． 根据以上操作，回答下列问题： （1）下列结论正确的是______． ①平分； ②； ③是等腰三角形． （2）如图1，当时，的度数为______，与的数量关系为______． （3）如图2，当时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展应用 （4）如图3，在矩形中，点在边上，把沿翻折得，点在边上，平分，若，请直接写出的值． 【答案】（1）①②③ （2）30； （3） 猜想为，理由如下： 由（2）得，， ∴， ∵、， ∴，即； ∵， ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）由正方形与折叠性质得，，用证，得平分、，结合折叠得；由推等角得，进而即可判断①②③； （2）当时，，在中，，得；由得，结合，即可得解； （3）由（2）得，故；由折叠得，结合得，再根据，即可求解． （4）过点作于点，由折叠得，由得，设、；由角平分线性质与相似得，结合勾股定理得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③正确； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形； 在中，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、， ∴，即； ∵， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴， ∵，且， ∴， 设，则， 设， 过点作于点，如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、、， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴ ； ∵x、y为线段长度，均为正数， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 【点睛】本题以正方形、矩形的折叠为核心载体，融合折叠性质、全等与相似三角形判定、角平分线性质、勾股定理等知识，通过线段与角度的转化推导结论，体现了转化化归、数形结合的核心数学思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $