精品解析：福建厦门市思明区观音山音乐学校2025-2026学年下学期4月份适应性练习九年级数学试卷

厦门市思明区观音山音乐学校2025－2026学年初三下4月份适应性练习 数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 五个有理数在数轴上的对应点 ，，，，的位置如图所示，则点 表示数的相反数所对应的点是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由数轴可知，点表示的数为，的相反数为，而对应的点是点． 2. 中国四大白瓷系列之一的衢州莹白瓷被誉为瓷中珍品，下图是衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）． A.     B.     C.     D.     【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的特点，理解立体图形特点，掌握三视图的特点是关键． 根据立体图形，三视图的特点分析即可求解． 【详解】解：衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是， 故选：A ． 3. 如图所示，在四边形中，，射线与交于点，连接．下列角中，与相等的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 4. 下列与算式的运算结果相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可. 【详解】解：. 5. 某商场有、、三个楼层，为了了解顾客在商场的消费情况，工作人员进行了抽样调查，下列选取调查对象的方式中，较为合理的是（ ） A. 从楼层随机选取50名顾客 B. 从三个楼层随机选取两个楼层的顾客 C. 从三个楼层各随机选取20名顾客 D. 从三个楼层各随机选取20名男性顾客 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项仅抽取A楼层顾客，样本覆盖不全，不合理； B选项仅抽取两个楼层顾客，样本缺失一个楼层的数据，覆盖不全，不合理； C选项在三个楼层各随机抽取顾客，覆盖全部楼层，抽样随机，样本具有代表性，合理； D选项仅抽取男性顾客，样本群体单一，不具有代表性，不合理. 6. 如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，当时，则可求得的长为，则所应用的数学知识是（ ） A. 勾股定理 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 三角形的中位线等于第三边的一半 D. 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：，点D为的中点， ∴， ∴所应用的数学知识是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 7. 若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化三个单位，其解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，自变量每变化一个单位，函数值随之变化三个单位，可知该函数为一次函数，且，即解析式为（为常数），即可得出结果. 【详解】解：由题意，该函数为一次函数，且，即解析式为或（为常数）的形式， 故只有符合题意. 8. 飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（ ） A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列举即可． 【详解】解：根据题意，投掷一次6点， 投掷两次，， 综上共6种． 二．填空题（本大题有8小题，每题4分，共32分） 9. 古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为“114514”，在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“5”的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式求解即可. 【详解】解：∵共有6个数字，其中数字“5”有1个. ∴在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“5”的概率为. 10. 因式分解：_______________． 【答案】(x+3y)(x-3y) 【解析】 【详解】根据平方差公式可求得，原式=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y) 11. 如图，在菱形中，点E，F分别是边的中点，若，则长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可求，由菱形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵点E，F分别是边的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，掌握菱形的四边相等是解题的关键． 12. 点在双曲线上，若点也在此双曲线上，则点的坐标可以是_________（写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据点在双曲线上求出的值，再根据反比例函数中为定值的特点，找出符合条件的一组、的对应值即可. 【详解】解：点在双曲线上， ， 解得， 反比例函数中为定值， 只要点的横纵坐标乘积为，该点就在此双曲线上， 点的坐标可以是. 13. 如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形，如果一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，根据题意得出图中阴影部分的面积之和等于三叶片的面积和的三分之一，计算即可得解． 【详解】解：∵图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 14. 如图，在中，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，若，，则的度数是__________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】由作图可知是的垂直平分线，可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， ，， ， ∴． 15. 某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】用原行驶时间减去提速后的行驶时间计算即可. 【详解】解：. 16. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若对于，都有，则的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征． 由函数解析式可得其对称轴为直线，且开口向上，从而得出对称轴右侧，y随x的增大而增大，根据对于，得出，由，当时，，即，从而可求出，对于，都有，可得出，两边平方并整理求出，最后取其公共解即可． 【详解】解：该函数解析式为， 其图象开口向上，对称轴为直线， 在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵，， ∴点B在点A右侧， ∵，，都有， ∴当时，，即，解得， 对于，都有， ∴，两边平方得：， ∴， ∴，即，综上所述： 故答案为． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 计算、解不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为． 18. 已知：如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵AC＝DB， ∴AC－BC＝DB－BC， ∴AB＝DC， ∵， ∴∠A＝∠D， 在△ABE和△DCF中，， ∴△ABE≌△DCF（SAS）． 【解析】 【分析】根据线段和差求出AB＝DC，根据平行线的性质求出∠A＝∠D，然后利用SAS可证得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化；运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键．先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 当时， 上式， ． 20. 已知整式． （1）化简该整式； （2）若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 【答案】（1） （2） 方程没有实数根；理由如下： 由题意，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程没有实数根． 【解析】 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则和单项式乘以多项式的法则进行计算即可； （2）求出判别式的符号，进行判断即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 略 21. 校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度作为样本数据，并将数据分为以下组别： 组别 （单位：） 整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： （1）补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为__________； （2）结合植物生理学标准，将、两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由． 【答案】（1） 补全的频数分布直方图如图所示； 4.65 （2） ②区叶片发育品质更优． 理由：①区“优质发育叶片”所占比例为； ②区“优质发育叶片”所占比例为， ②区比例高于①区，故②区叶片发育品质更优． 【解析】 【分析】（1）根据题意及①区样本数据频数分布直方图提供的数据求出C组对应的样本数据，再画图即可；找到②区样本数据频数分布直方图提供的数据及对应组内每片叶片的长度x的中间值，代入平均数计算公式计算平均数即可； （2）根据题意分别求出①、②区“优质发育叶片”所占比例，然后，再进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据题意知，C组对应样本数据为 ②区E组频数为， 样本数据的平均数为； 【小问2详解】 略 22. 学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于的一元二次方程开展探究． （1）若实数，满足，，且，求的值； （2）若两个不相等的实数，满足，，求的值． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）将，化为，，进而得到是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）两式相减并进行因式分解推出，进而得到，，代入两式，得到，，进而得到为方程的两个实数根，得到，即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴是方程的两个根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵实数，不相等， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴为方程的两个实数根， ∴， ∴． 23. “裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行次裁剪，则记载剪次数为．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为，宽为的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，②原矩形卡纸的每一条对称轴都是该八边形的对称轴． （1）为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）； （2）当，时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图3，求得到的该八边形卡纸的面积； （3）该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长和宽之间的数量关系；若不正确，请说明理由． 【答案】（1）裁剪次数为1．裁剪方案：将矩形卡纸沿竖直方向对称轴对折，再沿水平方向对称轴对折，在原矩形四个内角重叠处的适当位置（在原长与宽的位置小于原长与宽的一半处）裁剪1次，展开即可得到符合要求的八边形卡纸． （2）476 （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质及折叠的性质得出裁剪方案即可； （2）由勾股定理求出，则可得出答案； （3）由全等的等腰直角三角形得出，即，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，得裁剪掉的4个三角形是全等的直角三角形．设这些直角三角形在宽上的直角边长为m，在长上的直角边长为n， ∵八边形的各边长相等， ∴， 即， ∴八边形的边长为， 根据勾股定理，得， 化简，得． ∵， ∴， ∴， ∴得到的八边形卡纸的面积是． 【小问3详解】 解：∵正八边形的八条边相等， ∴若能裁剪得到，可同理（2），得， 又∵正八边形的八个角都相等，都为， ∴裁剪掉的4个全等的直角三角形的两个锐角都为， 即这4个三角形是全等的等腰直角三角形， 此时，，即， 综上，当时，能够经裁剪得到的八边形卡纸的形状是正八边形． 24. 如图1，已知矩形ABCD，E为AD边上一动点，过A，B，E三点作⊙O，P为AB的中点，连接OP， （1）求证：BE是⊙O的直径且OP⊥AB； （2）若AB=BC=8，AE=6，试判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）如图2，若AB=10，BC=8，⊙O与DC边相交于H，I两点，连结BH，当∠ABE=∠CBH时，求△ABE的面积． 【答案】（1）证明：如图1， ∵矩形ABCD，∴∠A=90°，∴BE为直径， ∴OE=OB， ∵AP=BP， ∴OP∥AE，AE=2PO， ∴∠OPB=∠A=90°， 即OP⊥AB． （2）直线CD与⊙O相切． 理由：如图1，延长PO交CD于M， 在Rt△ABE中，AB=8，AE=6， 则BE2=62+82=100， ∴BE=10， ∴此时⊙O的半径r=5，∴OM=r=5， ∵在矩形APMD中，PM=AD=8， ∴OM=PM﹣OP=5=r， ∴直线CD与⊙O相切． （3）25 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用矩形的性质以及平行线分线段成比例定理得出OP∥AE，AE=2PO，即可得出答案； （2）首先延长PO交CD于M，求出MO的长等于半径，进而得出答案； （3）根据题意当∠1=∠2时，可得出tan∠1=tan∠2=tan∠4，设AE=x，CH=y，则DE=8﹣x，DH=10﹣y，可得==，求出x的值，即可得出答案． 解：（1）略 （2）略 （3）如图2， 方法I： ∵BE为直径， ∴∠EHB=90°， ∴∠3+∠4=90°， ∵∠C=90°， ∴∠3+∠2=90°， ∴∠2=∠4， ∴当∠1=∠2时，有 tan∠1=tan∠2=tan∠4， 设AE=x，CH=y，则DE=8﹣x，DH=10﹣y， ∴==， 解得，x=20，或x=5， ∵AE=x＜8，∴x=20，不合题意，舍去，取AE=x=5， Rt△ABE的面积=AE×AB=×5×10=25 方法II：如图3，延长PO交CD于点F，连接OH， 在矩形FPBC，OP⊥AB，且FC=PB=AB=5， OP=AE，OF=8﹣AE，BE=2HO， 当∠ABE=∠CBH时，设tan∠ABE=tan∠CBH=k时， 在Rt△ABE中，则AE=10tan∠ABE=10k， 在Rt△HBC中，则HC=8tan∠ABE=8k， ∴OP=5k，OF=8﹣5k，FH=5﹣8k， 在Rt△ABE中，BE2=AE2+AB2=100（1+k2）， 在Rt△OFH中，HO2=FH2+OF2=（5﹣8k）2+（8﹣5k）2， ∵BE=2HO，∴BE2=4 HO2 ∴100（1+k2）=4[（5﹣8k）2+（8﹣5k）2]， 整理得，2 k2﹣5k+2=0， 解得，k=2，或k=， 当k=2时，AE=10k=20＞8，不合题意，舍去； 当k=时，AE=10k=5＜8，符合题意， 此时，Rt△ABE的面积=AE×AB=×5×10=25． 点睛：本题是关于圆的综合题，考查的知识点有矩形的性质、切线的判定、锐角三角形函数的应用有相似的性质，利用数形结合的思想并综合运用所学是解题的关键. 25. 为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1），为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： （1）求水柱所在抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； （3）河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； 河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为米，喷水口离地面的最小高度随着的变化而变化，求与的关系式． 【答案】（1）； （2）水柱不能喷射到护栏上， 理由如下： 当时，， ， 水柱不能喷射到护栏上； （3）河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上； 与的关系式为：． 【解析】 【分析】根据当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米，所以二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，因为二次函数经过原点，所以把原点的坐标代入，可得：，解方程求出的值即可； 因为绿道路面宽米，当时，可得水柱的高度为米，而护栏的高度为米，所以水柱不能喷射到护栏上； 根据坡比和的长度求出的长度，从而可得点的坐标为，点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，解方程求出抛物线与直线的交点即可； 将抛物线向上平移米，则可得新的抛物线解析式为，当坝中水面离地平面距离为米，则坝面截线与水面截线的交点的坐标为，因为点在抛物线的图象上，所以可得与的关系式为． 【小问1详解】 解：当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米， 二次函数的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 二次函数经过原点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中）， ， ， 则点与原点的水平距离为， 点的坐标为， 又点的坐标为， 设的解析式为， 解得：， ， 解方程：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，， 即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上； 将抛物线向上平移米，则可得新的抛物线解析式为， 当坝中水面离地平面距离为米，则坝面截线与水面截线的交点的纵坐标为， 如下图所示， 坝面的坡比为， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 点在抛物线的图象上， ， 整理得：， 即与的关系式为． 【点睛】本题主要考查了坡比、二次函数的实际应用、用待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、解直角三角形，本题的综合性质较强，需要借助坡比求出点的坐标，再根据点与抛物线的关系列出关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市思明区观音山音乐学校2025－2026学年初三下4月份适应性练习 数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 五个有理数在数轴上的对应点 ，，，，的位置如图所示，则点 表示数的相反数所对应的点是（ ）． A. B. C. D. 2. 中国四大白瓷系列之一的衢州莹白瓷被誉为瓷中珍品，下图是衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）． A.     B.     C.     D.     3. 如图所示，在四边形中，，射线与交于点，连接．下列角中，与相等的是（） A. B. C. D. 4. 下列与算式的运算结果相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 某商场有、、三个楼层，为了了解顾客在商场的消费情况，工作人员进行了抽样调查，下列选取调查对象的方式中，较为合理的是（ ） A. 从楼层随机选取50名顾客 B. 从三个楼层随机选取两个楼层的顾客 C. 从三个楼层各随机选取20名顾客 D. 从三个楼层各随机选取20名男性顾客 6. 如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，当时，则可求得的长为，则所应用的数学知识是（ ） A. 勾股定理 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 三角形的中位线等于第三边的一半 D. 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 7. 若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化三个单位，其解析式可以是（ ） A. B. C. D. 8. 飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（ ） A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 二．填空题（本大题有8小题，每题4分，共32分） 9. 古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为“114514”，在这一组数中随机选择一个数字，选到数字“5”的概率为_________． 10. 因式分解：_______________． 11. 如图，在菱形中，点E，F分别是边的中点，若，则长为________． 12. 点在双曲线上，若点也在此双曲线上，则点的坐标可以是_________（写出一个即可）． 13. 如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图，在中，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，若，，则的度数是__________． 15. 某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 16. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若对于，都有，则的取值范围是_______ 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 计算、解不等式组： （1） （2） 18. 已知：如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知整式． （1）化简该整式； （2）若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 21. 校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度作为样本数据，并将数据分为以下组别： 组别 （单位：） 整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： （1）补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为__________； （2）结合植物生理学标准，将、两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由． 22. 学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于的一元二次方程开展探究． （1）若实数，满足，，且，求的值； （2）若两个不相等的实数，满足，，求的值． 23. “裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行次裁剪，则记载剪次数为．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为，宽为的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，②原矩形卡纸的每一条对称轴都是该八边形的对称轴． （1）为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）； （2）当，时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图3，求得到的该八边形卡纸的面积； （3）该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长和宽之间的数量关系；若不正确，请说明理由． 24. 如图1，已知矩形ABCD，E为AD边上一动点，过A，B，E三点作⊙O，P为AB的中点，连接OP， （1）求证：BE是⊙O的直径且OP⊥AB； （2）若AB=BC=8，AE=6，试判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）如图2，若AB=10，BC=8，⊙O与DC边相交于H，I两点，连结BH，当∠ABE=∠CBH时，求△ABE的面积． 25. 为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1），为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： （1）求水柱所在抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； （3）河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； 河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为米，喷水口离地面的最小高度随着的变化而变化，求与的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $