精品解析：上海市格致中学2025-2026学年高一下学期第一次测验数学试卷

上海市格致中学2025-2026学年高一下学期第一次测验数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，令天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本题共有12个小题，其中1-6题每小题3分，7-12题每小题4分，满分42分） 1. 关于的不等式的解集__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用绝对值不等式计算求解. 【详解】因为，所以，即， 关于的不等式的解集. 2. 设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】若是的必要条件， 则， 故可得. 故答案为： 3. 已知集合满足，则符合条件的集合个数有__________个． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则中一定含有元素，又， 所以符合条件的集合个数相当于求集合的真子集个数，故有个. 4. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先讨论的情况，结合同角三角函数的平方关系排除矛盾，再运用同角三角函数的基本关系（切弦互化），并根据两角差的正切公式化简，最后代入求解即可. 【详解】由题意得，即， （若 ，则 ，与 矛盾，故 .） 所以两边同除以 ：， 所以，即 ， 又因为， 代入 和 ： 所以. 故答案为：. 5. 若成等差数列，则________． 【答案】27 【解析】 【分析】根据等差数列性质及等差中项计算求解. 【详解】由等差数列的对称性知，b是的等差中项且． 故答案为：27. 6. 设等比数列的公比，且，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列的性质求出，，再由等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】，， 则， 因为，解得：. 又因为，则， 所以. 故答案为：. 7. 已知扇形的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的周长公式结合面积公式求出最大面积时，和的值，进而求出对应圆心角，结合勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，弧长为， 则，则， 则扇形的面积， 当时，取得最大值， 此时，则扇形的圆心角， 则， 则， 则， 故答案为：． 8. 若存在，使得函数在区间[0,1]上有零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，转化为存在，使得函数在区间[0,1]上有零点，先求出是函数的零点时，；再得不是函数的零点，则有，即在(0,1]上的值域与[0,1]有交集，分、、结合对勾函数的性质求解即可. 【详解】设，则， 则问题转化为存在，使得函数在区间[0,1]上有零点， 若是函数的零点，则有； 若不是函数的零点，则， 由，可得， 则函数在(0,1]上的值域与[0,1]有交集， 当时，由对勾函数性质可知函数在(0,1]上单调递增， 故其值域为，不满足题意； 当时，函数在(0, ]上单调递增，在上单调递减， 所以其值域为，不满足题意； 当时，函数在(0,1]上单调递减， 所以函数的值域为，所以，解得， 综上，， 所以实数的取值范围为：. 9. 已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 所以， 所以，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 10. 用表示函数在区间上的最大值，若正数满足，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理在上的单调性求解． 【详解】因为在上单调递增，所以，若，则存在，使得，且，不合题意，所以， 所以由得，所以，解得． 故答案为：， 【点睛】本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，正确理解新定义是关键． 11. 已知为奇函数，当，，且关于直线对称.设方程的正数解为，且任意的，总存在实数，使得成立，则实数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得函数是以4为周期的周期函数，作出函数的图像，结合图像可知的几何意义为函数两条渐近线之间的距离，从而可得到，进而求出的最小值. 【详解】因为为奇函数，所以，且， 又关于直线对称，所以， 所以， 则， 所以函数是以4为周期的周期函数， 作出函数和的图像如图所示： 由的正数解依次为、、、、、， 则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2， 所以. 所以得任意的，， 已知任意的，总存在实数，使得成立， 可得，即的最小值为. 故答案为：2. 12. 已知数列的通项公式是，记为在区间内的项的个数，则使得不等式成立的的最小值为_____. 【答案】12 【解析】 【分析】分别讨论为奇数和偶数时，的解，得的最小值. 【详解】由，得， 当为奇数时，； 当为偶数时，， 则当为奇数时，， 由，解得，而为奇数，则； 当为偶数时，，由，解得， 所以使得不等式成立的的最小值为12. 故答案为：12 二、选择题：（本题共有4个小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 13. 图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得. 【详解】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D 14. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14的含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（为原始量，为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期，若2025年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的，则可推断该文物属于（ ） 参考时间轴： A. 战国 B. 汉朝 C. 唐朝 D. 宋朝 【答案】C 【解析】 【分析】由半衰期为5730年，可得，再由，求出的值，即可得答案. 【详解】由题意可得当时，， 即， 解得， 所以， 由， 可得， 所以， 解得， 又， 可推断该文物属于唐朝. 15. 已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】由求得，利用辅助角公式整理，再将整理成与相同结构，比较得到结果. 【详解】已知是的零点，因此， 代入得： ，即 ，解得， 所以 又 所以将向左平移个单位长度得到函数的图象， 16. 已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在，使得是偶函数 B. 存在，使得在上单调递减 C. 存在，使得在处取极大值 D. 存在，使得的最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义对选项进行分析，利用排除法、举例法来确定正确答案. 【详解】依题意，. A选项，若是偶函数，则， 则当，时，不满足，A选项错误. B选项，若在上单调递减，则，与题意矛盾，B选项错误. C选项，若在处取极大值，则存在，使得在区间上，单调递增， 与“”矛盾，所以C选项错误. D选项，设，画出图象如下图所示， 由图可知，满足，且是的最小值，所以D选项正确. 故选：D 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分，解题时要有必要的解题步骤） 17. 已知等比数列的前n项和为，且，其中. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由： 由题设可得， 若数列中存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列， 则，因为等差数列， 故即，故， 故即，这样不同矛盾， 故数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可得，从而可得公比，故可求首项从而得到通项公式； （2）先求出的通项，再利用反证法结合等比中项的性质可得矛盾，从而得到数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列. 【小问1详解】 因为，故，故， 而为等比数列，故其公比为， 又，故，故， 故. 【小问2详解】 略 18. 2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点A处放置机器狗，在的中点B处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为v米/秒，设机器狗在点F处捕捉到足球，若点F在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别为． （1）当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ （2）已知足球与机器狗运动方向所成夹角为长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值． 【答案】（1） （2）8米 【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理和的关系可求出的值. （2）首先根据余弦定理求出的关系式，然后根据不等式的性质求出的最大值； 【小问1详解】 在中，由正弦定理知，即， 因为，，所以， 解得，因为，所以， 此时，因为，所有点在矩形内，捕捉成功． 【小问2详解】 在中，由余弦定理知， 故， 整理得， 即，当且仅当时等号成立，此时， ，点在矩形内，捕捉成功． 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为米． 19. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）求在上的单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于（2）中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据条件，求得，再利用正弦函数的性质，即可求解； （2）利用图象平移变换得，再利用正弦函数的性质，即可求解； （3）令，在同一坐标系中作出和的图象，数形结合，即可求解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，则， 所以，又，所以， 又图象的相邻两对称轴间的距离为，则，又，所以， 故，由，得到， 又，令，得到，所以在上的单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到， 所以，当时，，所以， 故函数的值域为. 【小问3详解】 因为，由，得到，即， 令，又，则， 在同一坐标系中作出和的图象，如图所示， 又，由图知与有四个交点， 且， 又，所以的值为， 且 故 . 20. 利普希茨连续条件（Lipschitz continuity）是一个关于函数光滑性的重要概念，该条件以德国数学家鲁道夫•利普希茨的名字命名．若函数的定义域为，且，若存在常数，使得内任意，都有，则称在区间上是“－利普希茨条件函数”． （1）判断函数在上是否为“2－利普希茨条件函数”，并说明理由； （2）若函数在上是“－利普希茨条件函数”，求的最小值； （3）已知任意恒成立．证明：函数是“2026－利普希茨条件函数”． 【答案】（1）函数在上是“2－利普希茨条件函数” （2） （3） 要证明是“2026－利普希茨条件函数”． 只需证在任意区间，存在常数， 使得内任意，都有. 因为 ， 且即只需恒成立即可. 因为时，，所以当时，， 当时，，即对，都有. 不妨设，则， 所以恒成立， 故存在常数，使得在内任意，，都有， 即函数是“利普希茨条件函数”. 【解析】 【分析】（1）由，判断与的大小关系即可. （2）根据定义，转化为恒成立即可. （3）根据定义，转化为，利用不等式性质结合已知计算即可得出结果. 【小问1详解】 已知且，则. 因为，，所以， 则0，即， 所以存在常数，使得在内任意，(，都有， 故函数在上是“利普希茨条件函数”. 【小问2详解】 已知且， 则. 因为，所以，则，那么， 所以，即. 因为函数在上是“利普希茨条件函数”， 所以，则的最小值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市格致中学2025-2026学年高一下学期第一次测验数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，令天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本题共有12个小题，其中1-6题每小题3分，7-12题每小题4分，满分42分） 1. 关于的不等式的解集__________． 2. 设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 3. 已知集合满足，则符合条件的集合个数有__________个． 4. 已知，则___________． 5. 若成等差数列，则________． 6. 设等比数列的公比，且，，则________. 7. 已知扇形的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于______. 8. 若存在，使得函数在区间[0,1]上有零点，则实数的取值范围为______． 9. 已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______． 10. 用表示函数在区间上的最大值，若正数满足，则的取值范围为________. 11. 已知为奇函数，当，，且关于直线对称.设方程的正数解为，且任意的，总存在实数，使得成立，则实数的最小值为______. 12. 已知数列的通项公式是，记为在区间内的项的个数，则使得不等式成立的的最小值为_____. 二、选择题：（本题共有4个小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 13. 图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ） A. B. C. D. 14. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14的含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（为原始量，为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期，若2025年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的，则可推断该文物属于（ ） 参考时间轴： A. 战国 B. 汉朝 C. 唐朝 D. 宋朝 15. 已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 16. 已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ） A. 存在，使得是偶函数 B. 存在，使得在上单调递减 C. 存在，使得在处取极大值 D. 存在，使得的最小值是 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分，解题时要有必要的解题步骤） 17. 已知等比数列的前n项和为，且，其中. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 18. 2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点A处放置机器狗，在的中点B处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为v米/秒，设机器狗在点F处捕捉到足球，若点F在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别为． （1）当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ （2）已知足球与机器狗运动方向所成夹角为长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值． 19. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）求在上的单调减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于（2）中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值． 20. 利普希茨连续条件（Lipschitz continuity）是一个关于函数光滑性的重要概念，该条件以德国数学家鲁道夫•利普希茨的名字命名．若函数的定义域为，且，若存在常数，使得内任意，都有，则称在区间上是“－利普希茨条件函数”． （1）判断函数在上是否为“2－利普希茨条件函数”，并说明理由； （2）若函数在上是“－利普希茨条件函数”，求的最小值； （3）已知任意恒成立．证明：函数是“2026－利普希茨条件函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $