精品解析：黑龙江哈尔滨市萧红中学校2025-2026学年八年级下学期3月份教与学质量监测数学

萧红中学八学年（下）·3月份教与学质量监测·数学 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 提示：请将答案作答在题卡上，否则无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 的相反数是（ ） A. 36 B. C. 6 D. 3. 如图，在中，若，则（ ） A. 110° B. 100° C. 70° D. 140° 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1=（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 6. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，直角三角形的两边长分别为和，则斜边长为（ ） A. B. C. 或 D. 9. 下列能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边平行，一组邻角互补 C. 一组对边相等，一组邻角互补 D. 一组对边平行，另一组对边也平行 10. 如图，，，，，，则的面积为（ ） A. B. 45 C. D. 18 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 化简：________． 12. 使成立的的取值范围是____． 13. 利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点为，那么点表示的无理数是 ______． 14. 正五边形的每一个内角都等于___． 15. 一个门框尺寸如图，一个长宽的薄木板______穿过此门．（填能或填不能） 16. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____． 17. 已知，则______．【提示：平方后用完全平方公式】 18. 平面直角坐标系中，，点在轴上，，则点的坐标为______． 19. 观察下列各等式，并用含n（n为整数，且）的式子表示其中体现的规律______． ；；…… 20. 如图，中，，，点、点分别在、边上，点在的延长线上，，连接、交于点，点为上一点，连接，过点作于点，交于点．以下说法正确的是______． 若，则； ； 若与交点为，，则； 若，，则； 当且时，若，则． 三、解答题（共计60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； （2）在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 23. 先化简，再求值：，其中． 24. 如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与，相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 25. 如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． （1）求梯子底端与墙角的距离； （2）如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 26. 已知，中，，（以下每一问都满足）， （1）填表： （2）如图1，，点在线段上，点在线段的延长线上，，求证：； （3）如图2，，点在线段上，作，且，若，，求的长； （4）如图3，点在的延长线上，连接，点为上一点，连接交于点，，当时，若，，求的面积． 27. 如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点在轴正半轴上，，过点作轴的垂线，点为直线上一动点． （1）求的值； （2）设的面积为，请对应写出与之间的关系式； 当点在轴上方时，______（）；当点在轴下方时，______（______）； （3）作的平分线交轴正半轴于点，是否存在这样的值，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求的值，并直接写出使得四边形为平行四边形的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萧红中学八学年（下）·3月份教与学质量监测·数学 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 提示：请将答案作答在题卡上，否则无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵最简二次根式满足两个条件： ①被开方数不含分母； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 对选项逐一判断： A、，被开方数含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式； B、满足最简二次根式的两个条件，故是最简二次根式； C、，被开方数含分母，故不是最简二次根式； D、被开方数含分母，故不是最简二次根式． 2. 的相反数是（ ） A. 36 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据算术平方根的定义计算出的值，再根据相反数的定义即可得到结果． 【详解】解：因为， 又因为的相反数是， 所以的相反数是． 3. 如图，在中，若，则（ ） A. 110° B. 100° C. 70° D. 140° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 又， ， 故选A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：、与不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意． 5. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1=（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：先根据勾股定理得出△ABC的三边关系，再根据正方形的性质即可得出S1的值． 解：∵△ABC中，∠ABC=90°， ∴AB2+BC2=AC2， ∴BC2=AC2﹣AB2， ∵BC2=S1、AB2=S2=4，AC2=S3=6， ∴S1=S3﹣S2=6﹣4=2． 故选A． 考点：勾股定理． 6. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对二次代数式配方变形，简化代入计算即可求解． 【详解】解： 又∵ ∴ 将代入变形后的式子得原式． 7. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出值，则即可求得； 【详解】解：由折叠可知： ∵矩形中， ∴ ∴  故选：B ． 8. 已知，直角三角形的两边长分别为和，则斜边长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目未说明已知边长哪条为斜边，需要分两种情况讨论计算． 【详解】解：直角三角形中斜边为最长边，分两种情况讨论： 情况1 若是斜边，则斜边长为； 情况2 若已知两边均为直角边， 根据勾股定理得， 综上斜边长为或， 故选：C． 9. 下列能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边平行，一组邻角互补 C. 一组对边相等，一组邻角互补 D. 一组对边平行，另一组对边也平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的定义和判定定理，对各选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故A不符合题意． B. 一组对边平行，一组邻角互补的四边形可能是直角梯形，不能判定是平行四边形，故B不符合题意． C. 一组对边相等，一组邻角互补，无法推出两组对边平行或相等，不能判定是平行四边形，故C不符合题意． D. 四边形一组对边平行，另一组对边也平行，即两组对边分别平行，根据平行四边形的定义，可知该四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选D． 10. 如图，，，，，，则的面积为（ ） A. B. 45 C. D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再求面积即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴的面积为. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 化简：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 使成立的的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性即可得． 【详解】由二次根式的被开方数的非负性得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握理解二次根式的被开方数的非负性是解题关键． 13. 利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点为，那么点表示的无理数是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与实数，数轴，利用勾股定理求出的长即可判断． 【详解】解：在中，， ∵， ∴点表示的无理数是， 故答案为：． 14. 正五边形的每一个内角都等于___． 【答案】108° 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）×180°求出内角和，然后除以5即可； 【详解】解：（5-2）×180°=540°，540°÷5=108°； 故答案为：108°． 15. 一个门框尺寸如图，一个长宽的薄木板______穿过此门．（填能或填不能） 【答案】不能 【解析】 【分析】连接门框的对角线，利用勾股定理求出的长度为，再通过无理数的估算，比较与的大小，进而判断木板能否通过门框． 【详解】解：连接， 在中，，，， 根据勾股定理：， ， ，，且， ， 长宽的薄木板不能穿过此门． 16. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理依次计算出，，，，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得△的面积即可得到结论． 【详解】解：，，， ． ； ； ； △的面积． ∴的面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 17. 已知，则______．【提示：平方后用完全平方公式】 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可得，进一步可得，再进一步可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ． 18. 平面直角坐标系中，，点在轴上，，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据轴上点的坐标特征设出点坐标，再结合的长度列方程求解，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵ 点在轴上， ∴ 设点的坐标为， ∵，， ∴根据两点间距离公式可得：， 等式两边平方得：， 整理得：， 开方得：或， 解得：或， ∴点的坐标为或． 19. 观察下列各等式，并用含n（n为整数，且）的式子表示其中体现的规律______． ；；…… 【答案】 【解析】 【分析】分别观察已知等式中，根号内带分数的整数部分，分子，分母的数量关系，归纳总结得到一般性规律． 【详解】解：观察已知等式： 当整数为时，带分数的整数部分与分子相等，均为，分母为，满足； 当整数为时，带分数的整数部分与分子相等，均为，分母为，满足； 当整数为时，带分数的整数部分与分子相等，均为，分母为，满足； ∴，其中为整数，且． 20. 如图，中，，，点、点分别在、边上，点在的延长线上，，连接、交于点，点为上一点，连接，过点作于点，交于点．以下说法正确的是______． 若，则； ； 若与交点为，，则； 若，，则； 当且时，若，则． 【答案】 【解析】 【分析】若，设，则，，可得，可得，可得，，根据勾股定理，可判断； 作，，连接，证明，可得，，可得，可判断；若与交点为，，作，交于点，证明，可得，设，则，，，两次利用勾股定理，可判断；若，，设，由等边对等角，结合三角形外角的性质，可得，证明，可得，由对顶角相等，结合三角形外角的性质，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，结合所得，可判断；当且时，若，作，使得，连接，，作于点，证明，可得，，可得，可得，四边形是平行四边形，可得，根据勾股定理，可判断． 【详解】解：若， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴正确； 作，，连接， ∴四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∴， ∴正确， 若与交点为，， ∵，， ∴， 作，交于点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，， 解得， ∴， ∴不正确， 若，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正确， 当且时，若， 作，使得，连接，，作于点， 又∵于点， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴，， 解得， ∴正确． 三、解答题（共计60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 22. 已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； （2）在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，四边形即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点、、，连接、、即可； （2）取格点、、、，连接、、、即可； 【小问1详解】 解：由图可知，，，， ∴，的面积为； 【小问2详解】 解：由图及勾股定理可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∵的底，边上的高为 ∴的面积为． 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； ， 原式 ． 24. 如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与，相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到、，结合对顶角相等，证明与全等，进而证得； （2）由平行四边形对边相等得，结合可知为直角三角形，用勾股定理求出的长度，再根据平行四边形面积公式计算面积。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是直角三角形． 根据勾股定理，． ∴． 25. 如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． （1）求梯子底端与墙角的距离； （2）如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，已知梯子长和墙高，利用勾股定理直接计算梯子底端到墙角的距离； （2）先根据下滑距离求出的长度，再在中利用勾股定理求出的长度，最后用减去得到梯子底端外移的距离． 【小问1详解】 解：在中，根据勾股定理得 ， 所以． 【小问2详解】 解： 在中，根据勾股定理得 ， 所以， 所以． 所以梯子底端外移． 26. 已知，中，，（以下每一问都满足）， （1）填表： （2）如图1，，点在线段上，点在线段的延长线上，，求证：； （3）如图2，，点在线段上，作，且，若，，求的长； （4）如图3，点在的延长线上，连接，点为上一点，连接交于点，，当时，若，，求的面积． 【答案】（1） 填表如下： （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角，结合三角形的内角和定理求解即可； （2）由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，可得，由三角形外角的性质，可得，由等角对等边，即可证得结论； （3）延长至点，使，连接，证明，可得，，结合已知可得，可得，根据勾股定理即可得的长； （4）在上截取，连接，设，由三角形外角的性质，结合已知可得，可得是等边三角形，，，可得，，设，作于点，根据勾股定理可得，可得，作于点，，根据勾股定理可得，即可得的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 当时，， 当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：在上截取，连接， 设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， 作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 解得， ∴，， 作于点， ∵， ∴， 在中，， ∴的面积为． 27. 如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点在轴正半轴上，，过点作轴的垂线，点为直线上一动点． （1）求的值； （2）设的面积为，请对应写出与之间的关系式； 当点在轴上方时，______（）；当点在轴下方时，______（______）； （3）作的平分线交轴正半轴于点，是否存在这样的值，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求的值，并直接写出使得四边形为平行四边形的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），， （3）存在，，；， 【解析】 【分析】（）利用点的坐标得到，在中，根据勾股定理结合，计算出的长度，从而求出的值； （）作直线于点， ，分点在轴上方时和点在轴下方时两种情况，确定底的长度，代入三角形面积公式，推导出与的关系式； （）分和两种情况，均先利用：以为底边的等腰三角形性质作垂线，得到被平分；再结合是的角平分线，通过证明三角形全等，推出；接着用勾股定理算出，再结合，分别根据在轴上方、下方的位置关系求出的长度，得到或，最后根据平行四边形的性质求出对应点的坐标． 【小问1详解】 解：由题意：， ∴； 在中，由勾股定理： ∴； 【小问2详解】 解：作直线于点， ， 当点在轴上方时，此时，即：， ， 当点在轴下方时，此时，即：， ； 【小问3详解】 解：存在， 当时，如图，作于，直线于点，则 ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形的点的坐标； 当时，如图，作于，直线于点， ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴根据勾股定理：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形的点的坐标， 综上：当或时，是以为底边的等腰三角形；分别对应或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $