8.3简单几何体的表面积与体积 练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3简单几何体的表面积与体积 练习 一、单选题 1．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 4．如图，正方体的棱长为4，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（   ） A．16 B．18 C． D．24 5．如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥底面与圆台下底面半径相等，高相等.若圆台体积为圆锥体积的倍，则圆台上，下底面积的比值为（    ） A． B． C． D． 7．在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是（    ） A． B．2 C． D． 8．已知在直角梯形中，，若将梯形绕所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）    A． B． C． D． 10．如图，在正方体中，是上底面内一动点，则（   ） A．的面积为定值 B．三棱锥的体积为定值 C．满足的点有且只有一个 D．的取值范围为 11．如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题 12．已知正四棱台的高为，则该棱台的侧面积为_________． 13．如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 14．花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．现有一花灯（如图1所示），其直观图如图所示，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，其侧面积为，则该花灯中的正六棱台的体积为_____． 四、解答题 15．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 16．如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC. (1)求三棱锥的表面积； (2)求球的体积. 17．如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 18．如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D C A C B CD BD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径． 【详解】设圆柱的上底面圆周与分别交于点中点为交于点， 因为四边形是边长为2的正方形，所以， 由，得. 由题意，圆柱的底面圆与正方形的四边都相切，故其半径. 又， 所以，圆柱的高， 所以圆柱的体积为. 2．A 【分析】作出圆锥侧面展开图，根据最短路程和母线长，利用余弦定理可求得侧面展开图扇形的圆心角，结合扇形弧长公式和勾股定理可求得圆锥底面半径和高，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥的顶点为，以母线为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示， 小虫爬行的最短路程为，，又， ，， 设圆锥底面半径为，高为， 则，解得，， 圆锥体积. 3．B 【分析】过作底面，交底面于，过作交于，根据二面角的概念可知即为侧面与底面夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的高，再根据台体的面积公式求解即可． 【详解】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以， 所以该棱台的表面积． 故选：B． 4．D 【分析】取的中点，连接过点作直线，分别交于点，先证明，推得平面即过点的截面，所求即为多面体的体积，利用棱柱的体积公式计算即得. 【详解】 如图，取的中点，连接过点作直线，分别交于点，连接， 因为正方形的中心，则，因，则易得. 又因为棱的中点，则易得，即四边形为平行四边形， 则得，故，于是，平面即过点的截面， 显然正方体被截面分成的较小的部分为多面体，记其体积为， 则. 5．C 【分析】利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比． 【详解】设棱台的高为，，则， ， ， 又， ， ，故C正确． 故选：C． 6．A 【分析】根据条件的几何关系，代入圆锥和圆台的体积公式，即可求解. 【详解】设圆台的上､下底面圆的半径分别为，高为,则由圆台体积为圆锥体积的倍， 得到，解得. 故选：A 7．C 【分析】根据该正八面体是由底面边长为，高为1的两个同底的正四棱锥组成求解. 【详解】由题意得：该正八面体是由底面边长为，高为1的两个同底的正四棱锥组成， 所以该正八面体配位多面体模型的体积为， 故选：C 8．B 【分析】作出合理辅助线，求出相关边长，最后利用锥体体积公式即可得到答案. 【详解】过点作，垂足为，延长交延长线于点， 因为，则为等腰直角三角形， 又易得四边形为正方形，则，， 因为，则，则也为等腰直角三角形，且， 连接，过点作，易得， 若将梯形绕所在直线旋转一周得到一个几何体， 则形成的空间几何体为两个同底的大圆锥去掉两个同底的小圆锥，其中大圆锥的底面半径长为，高为， 小圆锥的底面半径为，高为， 其体积为. 故选：B. 9．CD 【分析】设，则.根据棱锥的体积公式分别计算出，将题中多面体补成正方体，可求得，然后依次判断各选项即可. 【详解】因为平面，，所以平面. 设，则. 所以，. 把多面体补成如图正方体：    则. ，. 所以. 所以，，，. 故选：CD. 10．BD 【分析】根据三角形的面积、锥体体积公式、线线垂直、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】点P到CD的距离不确定，但CD的长是定值，所以的面积不是定值，A错误. 点P到底面的距离等于棱长，是定值，的面积是定值， 所以三棱锥的体积是定值，B正确. 满足的点P的轨迹是以AC为直径的球面， 设正方体的边长为，则，以为直径的球的半径为， 所以这个球面与上底面没有公共点，C错误. 当点P与点重合时，， 当点P与点重合时，， 当点P为正方形的中心时，设，， 连接，由于，是的中点，所以平分， ，则， 根据正方体的对称性，可知的取值范围为，D正确. 故选：BD 11．BCD 【分析】利用条件求出圆锥的母线长和底面半径，对于A，根据圆锥侧面积公式求结论即可判断，对于B，先求的面积的最大值，结合体积公式求体积最大值即可判断，对于C，先求，确定的范围，再根据等腰三角形性质和内角和公式求的范围即可判断，对于D，将以为轴旋转到与共面的位置，结合平面几何知识求结论即可判断. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为：，B正确； 对于C，是等腰三角形，，又因为，则， 依题意，，而，因此，C正确； 对于D，由，，得， 有为等腰三角形，将以为轴旋转到与共面的位置， 得到为等腰三角形，，， ， 于是， 所以，D正确． 12．80 【分析】由正四棱台的结构特征，结合已知数据求出侧棱和斜高的长，即可计算正四棱台的侧面积． 【详解】正四棱台中，连接，则平面平面， 过作，垂足为，则平面， 由，得， 在中，，， 所以， 过点作，垂足为，则，得， 所以该正四棱台的侧面积为. 13． 【分析】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故答案为： 14． 【详解】设正六棱台的斜高为，高为，则由其侧面积为， 可得，解得， 则正六棱台的侧棱长为， 则，解得， 该正六棱台的两底面面积分别为，， 所以该正六棱台的体积为 ． 15．(1) (2)侧面积；表面积. 【分析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比； （2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积. 【详解】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为， 所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为， 棱台的侧面积为， 所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比. （2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm， 因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm， 所以大棱锥的侧面积为， 所以棱台的侧面积为， 棱台的上，下底面的面积和为， 所以棱台的表面积为. 16．(1) (2) 【分析】（1）首先根据余弦定理求出，然后求出底面三角形的面积，然后根据垂直关系求出其它三角形的面积，进而得到三棱锥的表面积. （2）首先求出球的半径，然后根据球的体积公式进而可求出球的体积. 【详解】（1）在底面中，由，可得， 又，由余弦定理可得，， 所以，即， 故. 又，侧棱底面， 所以， . 又，且， 则为等腰三角形，设边上的高为， 则， 所以三棱锥的表面积为. （2）设球的半径为.因为，，， 所以三棱锥外接球与以为棱的长方体的外接球是同一个球， 即球O的直径恰好是以为棱的长方体的体对角线， 故，故球的半径， 所以球的体积为. 17．(1) (2) 【分析】（1）求出正四面体和正方体的表面积即可； （2）计算三棱锥的体积，利用割补法计算. 【详解】（1）因为是正方体， 所以， 所以三棱锥的表面积为， 而正方体的表面积为， 故三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值． （2）三棱锥，，，是完全一样的． 因为三棱锥的体积为，正方体的体积为， 所以三棱锥的体积为 18．(1) (2) 【分析】（1）作出辅助线，求出棱台的斜高，从而求出侧面积，再与底面积相加即可求出表面积； （2）根据已知条件求出斜高，再算出正棱台的高即可． 【详解】（1）如图，设分别为上，下底面的中心， 分别取的中点，连接，则为正四棱台的斜高， ， 则棱台的表面积． （2）两底面面积之和为， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高． 故． 学科网（北京）股份有限公司 $