简单几何体的表面积与体积练习-2025--2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

简单几何体的表面积与体积 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题：本题共8小题，每小题6分，共48分. 1.若圆锥的轴截面（过圆锥轴的一个截面）是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A. B. C. D. 2.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为( ) A. B. C. D. 3.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）( ) A. B. C. D. 5.已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积是( ) A. B. C. D. 6.已知一个圆锥的顶点和底面的圆周在同一个球面上，若球的体积为，圆锥的体积为，且圆锥的高为正整数，则该圆锥的侧面积为( ) A. B. C. D. 7.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图①，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）.如图②，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫作球冠的高，若球冠所在球的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积.已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼所需布料的面积为( ) A. B. C. D. 8.如图所示，等腰梯形ABCD中，，，圆O为梯形ABCD的内切圆，并与AB，CD分别切于点M，N，与AD，BC分别切于点E，F，则图中阴影部分以MN所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 9.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，它常以字画的形式体现我国的传统文化（如图①），图②是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是( ) A.高为 B.母线长为3 C.表面积为 D.体积为 10.如图，在直三棱柱中，，，，且，P为的中点，则( ) A.三棱锥的体积为4 B.三棱锥的体积为 C.四棱锥的体积为8 D.三棱锥的表面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分. 11.降水量是指水平地面上单位面积的降水深度.用上口径为、底面直径为、深度为的圆台形水桶（轴截面如图）来测量降水量，如果在一次降水过程中用此桶接得的雨水恰好是桶深的，则本次降雨的降水量是_________mm.（精确到） 12.陀螺是我国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图①是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图②所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是____________. 13.如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下层的底面周长均为，高为.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于.则该模型的侧面积至少为____________. 14.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为______. 四、解答题：本题共1小题，共16分. 15.如图，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去（剪去部分和接头忽略不计），已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为. （1）求这种“笼具”的体积. （2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 参考答案 1.答案：B 解析：由题意，圆锥的母线长为2，底面半径为1，底面周长为，则该圆锥的侧面积为. 2.答案：C 解析：依题意，正四棱锥的底面正方形面积为4，四个侧面是全等的正三角形，每个正三角形面积为，所以四棱锥的表面积为.故选C. 3.答案：B 解析：设圆柱、圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为.又圆柱与圆锥的侧面积相等，所以，解得，所以圆锥的体积，故选B. 4.答案：C 解析：由题意知棱台的两底面面积分别为和，高为， 所以棱台的体积 ，故选C. 5.答案：A 解析：因为圆柱的轴截面是边长为的正方形，且圆柱上、下底面圆的圆周都在球O的球面上，所以球O的半径，所以球O的表面积是.故选A. 6.答案：C 解析：设球的半径为R，则，解得. 设圆锥的底面圆半径为r，高为.因为圆锥的体积为，所以①. 又由题意可得，②，由①②解得，，所以该圆锥的侧面积.故选C. 7.答案：B 解析：由题意得，得，，所以两个球冠的表面积之和为，灯笼中间球面的表面积为.因为上下两个圆柱的侧面积之和为， 所以围成该灯笼所需布料的面积为.故选B. 8.答案：C 解析：梯形ABCD以MN所在直线为轴旋转一周形成的几何体为圆台，AB，CD分别为上、下底面直径，则该圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，由圆O与梯形ABCD相切可得，圆台的高， 则圆台的体积. 圆O以MN所在直线为轴旋转一周形成球，得球O的半径，则球O的体积为.故图中阴影部分以MN所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为.故选C. 9.答案：ABC 解析：设圆台的上、下底面半径分别为r，R， 依题意，，解得，，解得， 又圆台的母线长为， 故圆台的高，故A，B正确； 圆台的侧面积， 所以圆台的表面积为，故C正确； 圆台的体积，故D错误. 故选ABC. 10.答案：ACD 解析：对A：，故A正确； 对B：，而三棱锥与三棱锥有共同的高，为的中点，，，故B错误； 对C：.，故C正确； 对D：由题可知，，，，， 是直角三角形，， ∴三棱锥的表面积为，故D正确. 故选ACD. 11.答案：22 解析：设雨水的半径为x，则，解得， 所以， 所以降水量是. 12.答案： 解析：由，，得，即圆柱的母线长， 因为陀螺的底面圆的半径，所以圆锥的母线长， 则圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为，圆柱的底面积为， 所以该陀螺的表面积. 13.答案： 解析：依题意，上、下两层均为底面周长为，高为的正六棱柱， 其侧面积，当球形灯球心到各面的距离等于时， 中层正六棱柱的高. 由球心与各侧面的距离为，得中层正六棱柱底面边长为， 因此中层正六棱柱的侧面积， 所以该模型的侧面积至少为. 14.答案： 解析：正八面体的表面由8个全等的正三角形组成，其中正三角形ABE的边长为2， 则正八面体的表面积.又正八面体可视为两个共底面的、侧棱长与底面边长相等的正四棱锥与拼接而成，正四棱锥的高，则正八面体的体积， 于是可得，所以正八面体的体积与表面积之比为. 15.答案：（1） （2）元 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为. （1），，， “笼具”的体积. （2）圆柱的侧面积， 圆柱的上底面面积， 圆锥的侧面积， “笼具”的表面积， 故制作50个“笼具”的总造价为（元）. $