精品解析：安徽滁州市定远育才学校2026届高三第二次模拟检测数学试题

定远育才学校2026年高三第二次模拟检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是复数z的共轭复数，若，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法运算及共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，得， 即， 所以，则． 故选：C． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求集合，再由集合的交补运算求集合. 【详解】由，则，即，故， 所以，则或， 所以. 故选：C 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4. 4. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知奇偶性质得到的周期性与对称性，借助已知条件与待定系数，再利用周期性得，由对称性转化为，代入解析式求解即得. 【详解】由为奇函数，得， 故①，函数的图象关于点对称； 由为偶函数，得②， 则函数的图象关于直线对称； 由①②得， 则， 故的周期为，所以， 由，令得，即③， 已知， 由函数的图象关于直线对称，得， 又函数的图象关于点对称，得 所以，即， 所以④，联立③④解得 故时，， 由关于对称，可得. 故选：A. 5. “……《春天21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】集合A中有1个奇数和4个偶数，因此每次选择奇数的概率为，选择偶数的概率为，利用马尔科夫链可以建立起的递推公式，即可得到答案. 【详解】 中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为 ，取到偶数的概率为 ，  的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性. 设 ，，有 ； 考虑递推关系： 代入 ，， ， 当时， ，为奇数的概率为 ，故 . 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以， 当时，， 当时，. 故选：A 6. 函数部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据附近的函数值即可排除BC；根据的符号即可排除D. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数为奇函数， 当且时，，故排除BC； 又，故排除D. 故选：A. 7. 规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求得的值，即可得到的值，，化简整理，取以10为底的对数，计算即可得到所求最小值． 【详解】因为过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的， 根据题设，得，，可得，所以，， 由，得， 两边取10为底对数，整理得， ，， 因此，至少还需过滤20小时， 故选：B. 8. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，将三棱锥补形成长方体，利用长方体与该三棱锥的相同的外接球求解. 【详解】 设棱的中点分别为，连接， 构造长方体，则长方体外接球的表面积 即为三棱锥外接球的表面积．依题意，， 设长方体外接球的半径为R，则， 所以其外接球的表面积． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点，圆，则（ ） A. 圆与圆公共弦所在直线的方程为 B. 直线与圆总有两个交点 C. 圆上任意一点都有 D. 是的等差中项，直线与圆交于两点，当最小时，的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A通过圆的方程相减即可判断，B通过直线过定点，点在圆内即可判断；C：求得的轨迹方程即可判断；D通过等差中项得到，确定直线过定点，由最小，得到圆心和弦中点的连线与直线，即可求解. 【详解】对于A:两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程：；错误 对于B：过定点，而在圆的内部，所以直线与圆总有两个交点，正确； 对于C:设，由可得：化简可得： ，所以满足条件的轨迹就是圆，正确； 对于D：因为是的等差中项，所以（不同时为0） 所以可化为，即 可令， 解得，则直线过定点， 设的圆心为， 当与直线垂直时，最小，此时， 即，得，结合 所以，解得 直线的方程为.正确 故选：BCD 10. 如图，函数的图象与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，为线段的中点，，，，则（ ） A. 的图象不关于直线对称 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于原点对称 D. 在单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】先写出关键点坐标，得到方程，后根据构造方程组解出，得到解析式，最后按照正弦型三角函数特征，结合对称性，周期性，奇偶性和单调性逐个验证即可. 【详解】由题可，，，则， 有， ，， 把代入上式，得，解得（负值舍去）， ，，由，解得， 解得，， 对A，，故A正确； 对B：的最小正周期为，故B错误； 对C：，为奇函数，故C正确； 对D：当时，，在单调递减，为奇函数，故D正确. 故选：ACD. 11. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ） A. 若直线的斜率存在，则的取值范围为 B. 当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C. 当时，的面积为12 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A正确；根据双曲线的定义，求得由经过点到达点所经过的路程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算，得到，得到，设，列出方程，求得，进而可判定C错误；在直角中，结合，可判定D正确． 【详解】如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和， 对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确； 对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为 ，所以B正确； 对于C中，由，得，即，所以， 设，则， 因为，所以，整理得， 解得或（舍去），所以，， 所以的面积，所以C错误； 对于D项，在直角中，， 所以，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由并写出展开式通项公式，结合已知求对应项的系数即可. 【详解】由，则展开式通项为且， 当，则，故. 故答案为： 13. 空间中，向量满足：，且的两两夹角都是，对于向量，若，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知条件求出相关向量的模及数量积，分析可知点的轨迹是与垂直的平面，记为平面，点的轨迹是以线段为直径的球，且即为平面上的点与球上的点之间的距离，求球心到平面的距离，结合球的性质运算求解即可． 【详解】设， 因为，的两两夹角都是， 则， 可得， 若，即， 可知点的轨迹是与垂直的平面，记为平面，且向量在方向上的投影为， 又因为， 若，即，则， 可知点的轨迹是以线段为直径的球， 设球心为的中点，则，半径， 可知平面的法向量为，且， 则即为平面上的点与球上的点之间的距离， 因为， 则， 可得球心到平面的距离为：， 且，所以的最小值为． 故答案为：． 14. 在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用该直三棱柱的外接球的体积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的体积，其体对角线为外接球直径，再由球的体积公式可得. 【详解】由题意可得， 该直三棱柱的外接球的体积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的体积，其体对角线为外接球直径， 设外接球半径为，则， 所以外接球的体积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案； （2）由等面积法得出，，利用余弦定理得出，三式联立即可求得边； （3）结合题设，分别在，和中，由正弦定理推出边的关系式，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【小问1详解】 在中，由， 可得，所以，即， 因，则． 【小问2详解】 由（1）知，则，即：， 所以①，②， 在中，由余弦定理得， 即③， 由①②③得：，解得； 【小问3详解】 如图，因平分，由（1）知， 故， 在中，设，则， 在中，，由正弦定理，得，则， 在中，由正弦定理，得，则， 故有（*）． 在中，由正弦定理，得，则， 得，代入（*）式，可得，即． 由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“”． 于是．即的面积的最小值为． 16. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； （2）将网购消费金额不少于20千元的人称为网购迷，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“是否为网购迷与性别有关系”； 网购人群类别 性别 合计 男 女 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 （3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望. 附：. 0.1 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）17.5 （2）表格见解析，有97.5%的把握认为“是否为网购迷与性别有关系”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中位数的求解方法计算即可； （2）先补全列联表，再计算值，并结合独立性检验思想求解即可； （3）先根据频率估计概率得甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为，再求对应取值的概率，列分布列，求期望即可. 【小问1详解】 解：依题意，因为， 而， 所以中位数位于内，所以中位数为. 【小问2详解】 解：依题意，消费金额不少于20千元的频率为， 所以网购迷人数为，非网购迷的人数为. 所以补全列联表如下. 网购人群类别 性别 合计 男 女 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 合计 60 40 100 所以. 因为，所以有97.5%的把握认为“是否为网购迷与性别有关系”. 【小问3详解】 （3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为， 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和的所有可能的取值为0，1，2，3，4. ， . ， ， . 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以的数学期望 . 17. 三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，．点P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点． （1）求PB与平面PCE所成角的正弦值； （2）设AB靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线AB的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面PBC？若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）连接PE，证得，求得，过B作，证得平面，得到为与平面所成角，在中，求得，利用面积相等法，求得，再直角中，即可求得与平面所成角的正弦值； （2）假设存在点D满足要求，得到二面角和二面角和为，取AB中点O，过O作于点N，证得平面和平面，得到为二面角的平面角，为二面角的平面角，以O为原点，平面直角坐标系，求得D点轨迹方程，结合椭圆的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：连接PE，因为P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点， 可得平面，因为平面，所以， 在直角中，可得， 又因为平面PEC，所以平面平面，且交线为， 过B作于点，连接， 因为平面，由面面垂直的性质，可得平面， 故为与平面所成角， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 又由，所以， 在中，由，所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 小问2详解】 解：假设存在点D满足要求，则二面角为直二面角， 即二面角和二面角和为． 取AB中点O，连接CO，过O作于点N，连接CN， 因为为等腰直角三角形，且，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为且，平面，所以平面， 所以为二面角的平面角， 在直角中，因为，可得， 过D作DH垂直AB于点H，过H作HQ垂直PB于点Q，连接DQ， 同理可得为二面角的平面角，所以， 在平面中，以O为原点，OB为x轴正方向，CO为y轴正方向建立平面直角坐标系， 根据题意，点D点轨迹为以E，F为焦点的椭圆，其标准方程为， 设D点横坐标为，则，，， 所以，解得，故假设成立，此时． 18. 已知抛物线上一点到焦点F的距离为9. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且，求的面积. （3）过点的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在定点，为常数. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义得，计算出得抛物线方程； （2）直线方程与抛物线方程联立方程组，求出两点坐标，利用求出点坐标，求出点到直线l的距离和弦长，可求的面积； （3）设，，，过点Q的直线为，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理表示出，求出算式的值与无关的条件，可得为定值的常数. 【小问1详解】 由拋物线的定义得，解得，. 抛物线的方程为. 【小问2详解】 设，，由（1）知点， 直线l的方程为. 由可得，则，， ， 则不妨取，，则点A，B的坐标分别为，. 设点M的坐标为，则，， 则， 解得.即， 又点M到直线l的距离，故， 故的面积； 【小问3详解】 设，，，过点Q直线为 ， 联立消去y得：， 时，，， 联立消去得：，，， 要使与k无关， 则且，，， 存在此时为定值. 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值. 【答案】（1）有极小值，无极大值； （2）答案见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （2）求得，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. 【小问2详解】 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 【小问3详解】 令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2026年高三第二次模拟检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是复数z的共轭复数，若，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值为（ ） A 1 B. 2 C. 4 D. 4. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. “……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数部分图象是（ ） A. B. C. D. 7. 规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点，圆，则（ ） A. 圆与圆公共弦所在直线的方程为 B. 直线与圆总有两个交点 C. 圆上任意一点都有 D. 是的等差中项，直线与圆交于两点，当最小时，的方程为 10. 如图，函数的图象与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，为线段的中点，，，，则（ ） A. 的图象不关于直线对称 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于原点对称 D. 在单调递减 11. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ） A. 若直线的斜率存在，则的取值范围为 B. 当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C. 当时，的面积为12 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则______. 13. 空间中，向量满足：，且的两两夹角都是，对于向量，若，则的最小值是___________． 14. 在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱外接球体积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 16. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； （2）将网购消费金额不少于20千元的人称为网购迷，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“是否为网购迷与性别有关系”； 网购人群类别 性别 合计 男 女 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 （3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望. 附：. 0.1 0.05 0025 0.010 0.005 0.001 2706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，．点P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点． （1）求PB与平面PCE所成角的正弦值； （2）设AB靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线AB的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面PBC？若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由． 18. 已知抛物线上一点到焦点F距离为9. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且，求的面积. （3）过点的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由. 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $