精品解析：重庆实验外国语学校2025--2026学年八年级下册三月数学定时作业

川外基础教育集团初2027届初二下三月数学定时作业 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 剪纸是我国历史悠久的传统民间艺术之一，它不仅是非物质文化遗产，还蕴含着丰富的文化内涵．下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 以下点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 若三个内角分别为、、，三条边分别为、、，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 菱形的每一条对角线平分一组对角 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线相等、互相垂直且平分 6. 已知，则整数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，图1中有1个正方形，将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，则图3中共有7个正方形；…，如此剪下去，则第26个图形中正方形的个数是（ ） A. 70 B. 73 C. 76 D. 79 8. 如图，四边形是菱形，于，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小外同学想测量墙面的高度，用卷尺发现长度不够，于是想到用课堂上学到的知识解决，他找到一根没有弹性的绳子，把绳子的一端挂到点，拉直紧贴墙面到点，发现绳子还多出0.5米：然后把绳子拉直，当绳子末端刚好接触地面时，量出米，则墙面的高度为（ ）米 A. 6 B. 5.5 C. 5.2 D. 5 11. 甲、乙两辆汽车从城出发前往城，在整个行程中，两车离开城行驶的路程（千米）与甲车出发的时间（小时）的对应关系如图所示，则下列四个结论：①城与城相距360千米：②乙出发1.5小时后追上甲；③甲，乙两车相距50千米时，或；④当时，甲、乙两车之间相距的路程不变；其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知整式．其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式、中，不存在； ②满足条件的所有整式、中，整式共有3种结果不同的单项式： ③满足条件的所有整式、中，若，则有6种不同结果的整式． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上． 13. 分解因式：______． 14. 如图，矩形的对角线相交于点，将沿射线的方向平移，点、分别与点、重合，连接，若，则______．（请用含的式子表示） 15. 已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的和为______． 16. 若实数，同时满足，则的值为______． 17. 如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．连接，交于点，交于点，则的面积为______． 18. 一个四位自然数（其中，，，为整数，且），若满足，则称这个四位数为“双十二数”，令，，例如：四位数，因为，所以是“双十二数”，并且，，若为“双十二数”，则的最小值是______；一个“双十二数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数，记，若与均为整数，则满足条件的的最大值为______． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 解下列分式方程： （1） （2） 21. 如图，在平行四边形中，连接对角线． （1）按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴①______， ∴， 又∵的垂直平分线为直线， ∴，②______，， 在与中， ， ∴（④______） ∴⑤______， ∴， ∴四边形是菱形． 22. 先化简，再求值： ，其中． 23. 如图，在平行四边形中，连接，分别过点、作于点，于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求的长． 24 列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，重庆文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1260万人次.春节某天，甲、乙分别在洪崖洞和磁器口销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出数量是甲每小时售出数量的1.5倍：若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． （1）求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ （2）若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时． 25. 已知、是非负实数，现对根式进行化简，若能找到两个数、满足，则，那么：．比如：；；根据以上信息： （1）化简：______． （2）将式子化为另一个式子的平方； （3）求关于的方程的所有整数解的和． 26. 如图，为等腰三角形，，延长到点，使得，连接，点、分别为、中点，连接． （1）如图1，若，请你求出的度数； （2）如图2，过点作于，延长、交于点，求证：； （3）如图3，若点、分别为直线、直线上动点，点为中点，连接、、，在（1）问的条件下，若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川外基础教育集团初2027届初二下三月数学定时作业 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 剪纸是我国历史悠久的传统民间艺术之一，它不仅是非物质文化遗产，还蕴含着丰富的文化内涵．下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解： A． 不是轴对称图形，故本选项不符合题意；  B． 是轴对称图形，故本选项符合题意； C． 不是轴对称图形，故本选项不符合题意；  D． 不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算规则与算术平方根的定义逐一判断选项即可. 【详解】A、∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴ A选项计算错误． B、∵， ∴ B选项计算错误． C、∵表示的算术平方根，结果为非负数，即， ∴ C选项计算错误． D、∵， ∴ D选项计算正确． 故选D． 3. 以下点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，若计算得到的y值与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，否则不在． 【详解】∵ 函数解析式为 对选项A，当时，， ∴点不在函数图象上； 对选项B，当时，， ∴点不在函数图象上； 对选项C，当时，， ∴点不在函数图象上； 对选项D，当时，，与点的纵坐标相等， ∴点在函数图象上． 故选：D． 4. 若的三个内角分别为、、，三条边分别为、、，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A． ∵，，∴，得，∴是直角三角形，此项不符合题意； B． ∵，，总份数为，∴，，，∴没有直角，不是直角三角形，此项符合题意； C． ∵，∴，，∴，是直角三角形，此项不符合题意； D． ∵，∴，∴是直角三角形，此项不符合题意． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 菱形的每一条对角线平分一组对角 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线相等、互相垂直且平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一判断，即可找出错误说法． 【详解】∵A选项，平行四边形的基本性质是对角线互相平分， ∴A说法正确； ∵B选项，菱形的性质包含每一条对角线平分一组对角， ∴B说法正确； ∵C选项，矩形的对角线性质是相等且互相平分，不互相垂直， ∴C说法错误； ∵D选项，正方形同时具备矩形和菱形的对角线性质，即对角线相等、互相垂直且平分， ∴D说法正确． 6. 已知，则整数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过估算无理数的大小，得到的取值范围，即可求出整数的值。 【详解】∵， ∴， 不等式两边同乘得， 不等式两边同加得， 即， 又∵，且为整数， ∴． 故选C． 7. 如图，图1中有1个正方形，将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，则图3中共有7个正方形；…，如此剪下去，则第26个图形中正方形的个数是（ ） A. 70 B. 73 C. 76 D. 79 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知图形可以发现：每次分割，都会增加3个正方形，所以可以得到此题的规律为：第n个图形中的正方形个数为：．依此求出图26中正方形的个数. 【详解】解：根据已知图形可以发现：每次分割，都会增加3个正方形， ∴第n个图形中的正方形个数为： . 当时， 个正方形． 故选：C． 8. 如图，四边形是菱形，于，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可求出的长． 【详解】解：设与交于点， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ， ， ． 9. 如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴确定的取值范围，判断绝对值符号内代数式及的正负，利用绝对值、立方根和二次根式的性质化简即可. 【详解】解：由数轴可知， ， 原式 ． 故选C． 10. 如图，小外同学想测量墙面的高度，用卷尺发现长度不够，于是想到用课堂上学到的知识解决，他找到一根没有弹性的绳子，把绳子的一端挂到点，拉直紧贴墙面到点，发现绳子还多出0.5米：然后把绳子拉直，当绳子末端刚好接触地面时，量出米，则墙面的高度为（ ）米 A. 6 B. 5.5 C. 5.2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设墙面高度为米，根据题意表示出绳子长度即斜边的长，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设墙面高度为米， 绳子紧贴墙面到点还多出米， 绳子的总长度为米， 绳子拉直后末端刚好接触地面， 斜边的长度等于绳子的总长度， 即， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 墙面高度为米． 11. 甲、乙两辆汽车从城出发前往城，在整个行程中，两车离开城行驶的路程（千米）与甲车出发的时间（小时）的对应关系如图所示，则下列四个结论：①城与城相距360千米：②乙出发1.5小时后追上甲；③甲，乙两车相距50千米时，或；④当时，甲、乙两车之间相距的路程不变；其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像获取甲、乙两车的行驶路程、时间信息，分别计算两车在不同时间段的速度，求出函数解析式，进而对四个结论逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，、两城相距千米，故①正确； 甲车在小时的速度为（千米/小时）， 在小时停止行驶， 在小时的速度为（千米/小时）； 乙车在小时的速度为（千米/小时）； 对于②， 乙出发小时， 即时， 甲车行驶路程为千米（因为，甲车停止）， 乙车行驶路程为千米， 此时两车路程相等， 即乙追上甲，故②正确； 对于③， 当时， 乙未出发，甲行驶千米， 令， 解得； 当时， 甲行驶千米，乙行驶千米， 令， 即， 解得或（舍去）； 当时， 甲停在千米处，乙行驶千米， 此时乙的路程范围是， 两车距离， 当时相遇距离为0， 最大距离在端点处为， 不可能为； 当时，甲、乙速度均为千米/小时， 距离保持千米不变； 当时， 乙到达终点，甲继续行驶， 距离从减小到， 不可能为； 综上，或，故③正确； 对于④， 当时， 甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时， 两车速度相同，且都行驶， 两车之间相距的路程不变（始终为千米），故④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④，共个． 故选D． 12. 已知整式．其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式、中，不存在； ②满足条件的所有整式、中，整式共有3种结果不同的单项式： ③满足条件的所有整式、中，若，则有6种不同结果的整式． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，列出所有的情况，然后分别代入各式中逐一判断即可． 【详解】解：整式，其中为自然数，为正整数，且， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 整式．其中为自然数，为正整数，且， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当，时， ，故①不符合题意； 当，时， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， 当，时， ， 当，时， ， ∴有3个不同的单项式为，故②符合题意； ∵， ∴， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， ∴若，则有5种不同结果的整式，故③不符合题意； 综上，符合题意的只有②，共个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 14. 如图，矩形的对角线相交于点，将沿射线的方向平移，点、分别与点、重合，连接，若，则______．（请用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质，平移的性质，推出为等腰三角形，等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 15. 已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】先表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有个整数解，确定出的范围，将分式方程去分母转化为整式方程，表示出，由为整数以及分式有意义的情况确定出的值，再计算满足条件的整数的和即可． 【详解】解：不等式组， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 不等式组有且仅有个整数解， ，解得， 整数可以为，，，，，，，， ， 去分母得，， 解得， ，即， ， ，即， ， 分式方程的解为整数，当时，，不满足题意， ， 整数可以为，，，，， 满足条件的整数的和为． 16. 若实数，同时满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，分情况讨论x和y的正负情况，代入方程求解，得到x和y的值，再计算x的y次方即可． 【详解】解：当且时，方程化为和，矛盾，无解； 当且时，方程化为和，解得，，但，不成立，无解； 当且时，方程化为和，解得，，符合条件； 当且时，方程化为和，相加得，矛盾，无解． ∴当，时，． 17. 如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．连接，交于点，交于点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明得，设，在中，由勾股定理求出，得到．作于点T，作于点R，根据面积关系求出，作于点M，作于点N，作于点K，根据面积法求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∵点是边的中点， ∴． 由折叠的性质得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， 在中， ， 解得， ∴，， ∴． 作于点T，作于点R， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 作于点M，作于点N，作于点K， 同理可证：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 一个四位自然数（其中，，，为整数，且），若满足，则称这个四位数为“双十二数”，令，，例如：四位数，因为，所以是“双十二数”，并且，，若为“双十二数”，则的最小值是______；一个“双十二数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数，记，若与均为整数，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合“双十二数”的定义可知，，结合，，，的特征可得到，的取值范围，进而表示出，结合，的取值范围确定最小值；根据“双十二数”的定义表示出，求出，结合，化简，再由整数的特征即可确定的最大值即可． 【详解】解：为“双十二数”， ， ，， ，，，为整数，且， ，， ，， ，， ，， ， 要使最小，需使最小， 的最小值为，的最大值为， 的最小值为， 的最小值为； ，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数， ， ， ，， ， ， ， 与均为整数， 与均为整数， 即为的倍数，且为的倍数， 与无公因数， 为的倍数， ， 当时，不存在使得为的倍数且为的倍数， 当时，为的倍数， ，此时，是的倍数； ，， 最大值为． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘除并化简各二次根式，再合并同类二次根式； （2）先分别根据完全平方公式，平方差公式展开计算，再合并． 【小问1详解】 解：  ． 【小问2详解】 解：  ． 20. 解下列分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 无解 【解析】 【分析】（1）先将分式方程化为整式方程求解，求出结果后需要检验； （2）先将分式方程化为整式方程求解，求出结果后需要检验，所得根使原分式方程分母为0，为增根，原方程无解． 【小问1详解】 解：， 整理方程，得， 方程两边同乘得， 解得， 经检验，时原方程分母不为0， 因此是原方程的解． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得， 展开，得， 整理，得， 解得， 经检验，当时，原方程分母为0， 因此是原方程增根． ∴原方程无解． 21. 如图，在平行四边形中，连接对角线． （1）按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴①______， ∴， 又∵的垂直平分线为直线， ∴，②______，， 在与中， ， ∴（④______） ∴⑤______， ∴， ∴四边形是菱形． 【答案】（1）图见解析 （2）；；；； 【解析】 【分析】（1）按照垂直平分线的作图流程进行尺规作图即可； （2）由平行四边形的性质可得，由垂直平分线的性质可得，，，从而可证明，则，命题得证． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵垂直平分线为直线， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 22. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则，单项式乘以多项式，完全平方公式的法则进行计算，根据乘方和负整数指数幂的法则求出的值，代入化简后的式子中计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 23. 如图，在平行四边形中，连接，分别过点、作于点，于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4.2 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形得，根据垂线性质得，得，得，即得结论； （2）由勾股定理求出，由，即得结果． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴． 24. 列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，重庆文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1260万人次.春节某天，甲、乙分别在洪崖洞和磁器口销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的1.5倍：若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． （1）求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ （2）若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时． 【答案】（1） 甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼. （2） 甲至少要销售7小时. 【解析】 【分析】（1）设甲每小时售出灯笼的数量，根据倍数关系表示出乙的销售速度，再利用时间差的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． （2）设甲的销售时间，根据第一问的结果表示出甲乙的销售数量和总利润，再根据总利润的要求列一元一次不等式，求解得到最小值． 【小问1详解】 解：设甲每小时售出个灯笼，则乙每小时售出个灯笼． 根据题意，得． 方程两边同乘，得． 解得．检验： 当时，， ∴是原方程的解． 则． 答：甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼． 【小问2详解】 解：设甲销售小时， 则甲售出个灯笼，乙售出个灯笼． 根据题意，得． 化简得． 解得． 答：甲至少要销售7小时． 25. 已知、是非负实数，现对根式进行化简，若能找到两个数、满足，则，那么：．比如：；；根据以上信息： （1）化简：______． （2）将式子化为另一个式子的平方； （3）求关于的方程的所有整数解的和． 【答案】（1） （2） （3）34 【解析】 【分析】（1）仿照例题，根据即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案. （2）根据，，利用完全平方公式进行化简，进行计算即可。 （3）运用材料提供的信息将方程左边化成，当时， 当时，当时，分三种情况解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：， ∵ ， ∴当时， 原式， 不合题意； 当时， 原式， 符合题意， ∴， ∴， ∴x的所有整数解为，8，9，10， ∴x的所有整数解的和； 当时， 原式， 不合题意， ∴x的所有整数解的和为34． 26. 如图，为等腰三角形，，延长到点，使得，连接，点、分别为、中点，连接． （1）如图1，若，请你求出的度数； （2）如图2，过点作于，延长、交于点，求证：； （3）如图3，若点、分别为直线、直线上的动点，点为中点，连接、、，在（1）问的条件下，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用等边对等角得出， ，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）连接，在上取点，使，连接，利用三线合一得，利用直角三角形斜边中线性质可得，证明，再证明，得出，可得，再证明，则可证明，得，即可证明； （3）延长到点，使得，连接，，，证明利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质证明，，再利用中位线的性质证明，则，由两点之间线段最短，可知当、、、四点共线时取得最小值，则的最小值为，求解即可． 【小问1详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，在上取点，使，连接， ∵，为中点， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，； 【小问3详解】 解：如图，延长到点，使得，连接，，， ∵，为中点， ∴， ∵， ∴， ∵点为中点，为中点， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当、、、四点共线时取得最小值， ∴的最小值为， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $