精品解析：黑龙江齐齐哈尔市第八中学校2025-2026学年高一下学期四月月考数学试题

齐齐哈尔市第八中学高一下学期四月月考 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数单调性解不等式，再解分式不等式，最后求交集即可. 【详解】由题意知，， 因为解分式不等式可得， 所以，即 故选：B 2. 在中，设角的对边分别为，若，则（ ） A B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】， 由正弦定理可得即，故， 故选：A. 3. 已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，，进而得到，再求夹角即可． 【详解】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 4. 在中，已知，则的形状为（ ） A 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 5. 已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合、若角终边上一点的坐标为，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以点的坐标为， 所以，根据三角函数的定义， 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由两角差的正弦公式化简题设得，再结合诱导公式和倍角公式即可求解. 【详解】由得， 所以． 故选：A． 7. 黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos72°，则（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，即可求解． 【详解】解：∵a＝2cos72°， ∴a2＝4cos272°， ∴2sin144°＝2sin36°， ∴则． 故选：C． 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 二、多选题 9. 下列命题中正确的是（   ） A. 化成弧度是 B. 关于的不等式的解集为，则 C. 命题“，”的否定是， D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据弧度制、一元二次不等式、全称量词命题的否定、扇形面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，化成弧度是，A选项正确. B选项，关于的不等式的解集为， ，所以B选项错误. C选项，命题“，”的否定是，， C选项正确. D选项，若一扇形的弧长为2，圆心角为即， 所以扇形的半径为， 所以扇形面积为，D选项错误. 故选：AC 10. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A. 若∥，∥，则∥ B. 若，则是三角形的垂心 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若∥，则存在唯一实数使得 【答案】AD 【解析】 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误； 对于选项B，由，得，所以，， 同理，，故是三角形的垂心，所以B正确； 对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确； 对于选项D，当，时，显然有∥，但此时不存在，故D错误. 故选：AD 【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题. 11. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（    ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 当时，水深度达到 D. 已知函数的定义域为，有个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象的最值求出，再根据图象得到其周期则得到，代入最高点求出，则得到三角函数解析式，则判断A，再结合其对称性即可判断B，代入计算即可判断C，利用整体法和其对称性即可判断D. 【详解】对A，由图知，，，， 的最小正周期，， ，，解得：， 又，，，故A正确； 对B，令，，解得，， 当时，， 则， 则函数的图象关于点对称，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，则，令， 则，令，则根据图象知两零点关于直线对称， 则，即，则， 则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式. 三、填空题 12. 已知角的终边过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义求解. 【详解】因为角的终边过点，故， 原式， 故答案为：. 13. 设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先根据余弦定理求得，再根据正弦定理求解即可. 【详解】因为，整理得， 所以， 因为，所以 所以外接圆的半径满足，即. 14. 已知函数在上存在最值，且在上单调递增，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，根据函数最值得右端点满足的不等式，再结合正弦函数增区间的一般形式得参数满足的不等式组，由两者可求参数的范围. 【详解】因为， 当时，因为，则， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调递增，则， 所以，其中，解得， 所以，解得，又，所以， 因为，当时，；当时，， 又因为，因此，实数的取值范围是. 四、解答题 15. 已知，，与的夹角. （1）求； （2）若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等式及向量运算律求解即可； （2）根据共线向量定理列等式求解即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 与共线， ∴存在唯一实数，使得 即， 又与不共线，∴， 解得. 16. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，先求，，再由余弦的差角公式计算； （2）根据三角恒等变形结合同角三角函数的关系可求，进而求即可求． 【小问1详解】 由题可得，，， ∴，， 又 ． 【小问2详解】 ． 由，则， 由，则， ∴，， 又，，则， ∴， 而， 故． 17. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 【答案】（1） （2）15km 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 【小问2详解】 ，,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 18. 设函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换将化简为正弦型函数后结合正弦型函数的性质即可得； （2）由平移可得解析式，结合函数区间与正弦型函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 ， 则， 令，解得， 即的最小正周期为，对称中心为； 【小问2详解】 函数的图象向左平移， 即可得， 则当时，， 故， 即， 即函数在区间上的值域为. 19. 如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为. （1）求的大小； （2）若外接圆半径为1，求的周长最大值. （3）若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理即三角形的面积公式，结合已知条件即可求出； (2)利用正弦定理将的周长中的边转化为角，再结合辅助角公式化简，利用即可求出的周长最大值； (3)设，将图形中的角用来表示，结合正弦定理即可求出的值，再利用三角形的面积公式即可求出的值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理知，， 所以， 因为， 所以，即， 又因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得，，又， 所以，，， 由(1)可知，所以， 所以的周长， ， ， ， 因为，所以， 所以，所以的周长的取值范围是， 所以的周长的最大值为； 【小问3详解】 设，则，，， 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由正弦定理，，即， 因为， 两式作商得，， 即，因为，所以， 所以，所以， 所以，， 假设，所以， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐齐哈尔市第八中学高一下学期四月月考 数学试题 一、单选题 1 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，设角的对边分别为，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 3. 已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 或 4. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5. 已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合、若角终边上一点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A B. C. D. 7. 黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos72°，则（　　） A. 2 B. 1 C. D. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 二、多选题 9. 下列命题中正确的是（   ） A. 化成弧度是 B. 关于的不等式的解集为，则 C. 命题“，”的否定是， D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 10. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A. 若∥，∥，则∥ B. 若，则是三角形的垂心 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若∥，则存在唯一实数使得 11. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（    ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 当时，水深度达到 D. 已知函数的定义域为，有个零点，则 三、填空题 12. 已知角的终边过点，则________． 13. 设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为__________. 14. 已知函数在上存在最值，且在上单调递增，则的取值范围是__________ 四、解答题 15. 已知，，与夹角. （1）求； （2）若与共线，求的值. 16. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 如图，观测站在目标南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 18 设函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 19. 如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为. （1）求的大小； （2）若外接圆半径为1，求的周长最大值. （3）若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $