精品解析：广东省揭阳市真理中学2025-2026学年八年级下学期第一次综合训练数学试题

2025-2026学年度第二学期第一次综合训练八年级 数学试卷 考试范围：第一章全部，第二章1，2节；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 下列表示的不等关系中，正确的是（ ） A. 不是负数，表示为 B. 比3至少多1，表示为 C. 与1的和是非负数，表示为 D. 不大于3，表示为 【答案】B 【解析】 【分析】由不是负数即为正数或0可判断A，由至少表示大于或等于可判断B，由非负数表示正数或0可判断C，由不大于即小于或等于可判断D，从而可得答案． 【详解】解：不是负数，表示为，故A不符合题意； 比3至少多1，表示为，表示正确，故B符合题意； 与1的和是非负数，表示为，故C不符合题意； 不大于3，表示为，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是根据语句的描述列不等式，理解语句的含义是解本题的关键． 2. 若（，为实数），则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由，可得，原式错误，不符合题意； B、由，可得，原式正确，符合题意； C、由，可得，原式错误，不符合题意； D、由，可得，原式错误，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，∠A＝100°，∠C＝70°，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MFAD，FNDC，则∠B度数为（ ） A. 80° B. 85° C. 90° D. 95° 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵MFAD，FNDC， ∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°， ∵沿MN翻折得， ∴， 在中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（50°+35°）＝180°﹣85°＝95°； 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，用到的知识点是两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 4. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、．若，，则的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：直线是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5. 如图，在中，，，若点D为的中点，过点D作，分别交、于点M、N，连接，则下列结论中：①是等腰直角三角形；②的周长有最小值；③四边形的面积为定值8；④的面积有最小值．正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可证，得，可知①正确；利用垂线段最短可知，当时，最小，则的周长、面积有最小值，故②④正确；由，得到，计算的面积即可判断③错误，从而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，D为的中点， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，①结论正确； 当时，最小，则的周长、面积有最小值，②④结论正确； ， ， ， ， 的面积为， 的面积为4， 四边形的面积为定值4，③结论错误； 正确的有①②④，共3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积等知识，证明是解题的关键． 6. 如图，在中，，平分，于点．如果，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．先根据含30度的直角三角形三边的关系得到，然后根据角平分线的性质得到的长． 【详解】解：，， ， 平分，，， ． 故选：C． 7. 一个三角形可以被剖分为两个等腰三角形，已知原三角形的一个内角为36°，则原三角形最大内角的所有可能值的总和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分为以下情况： ①原三角形是锐角三角形，最大角是的情况； ②原三角形是直角三角形，最大角是的情况； ③原三角形是钝角三角形，最大角是的情况； ④原三角形是钝角三角形，最大角是的情况； ⑤原三角形是钝角三角形，最大角是的情况． 【详解】解：①原三角形是锐角三角形，最大角是的情况： 如图，，，则最大角是； ②原三角形是直角三角形，最大角是的情况： 如图，，， ③原三角形是钝角三角形，最大角是的情况： 如图，，，， ④原三角形是钝角三角形，最大角是的情况： 如图，，， ⑤原三角形是钝角三角形，最大角是的情况： 如图，，，， 故原三角形最大内角的所有可能值的总和是：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；分情况讨论是解决本题的关键，本题有一定的难度，大部分学生思考没那么全面． 8. 下列命题中，其逆命题不成立的是（ ） A. 角平分线所在直线上的点到这个角的两边的距离相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 若是钝角三角形，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假． 根据原命题写出逆命题，判断真假即可． 【详解】解：A．逆命题：到角两边距离相等的点在角平分线所在直线上，是真命题，不符合题意； B．逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意； C．逆命题：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意； D．逆命题：若，则是钝角三角形，是真命题，不符合题意． 故选：B． 9. 学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，解决本题的关键是总时间小于8分钟． 根据题意，总时间由步行时间和小跑时间组成，且总时间小于8分钟，据此列出不等式即可． 【详解】解：∵步行距离为米， ∴剩余距离米，即小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， 又∵在之前到达，即总时间小于8分钟， ∴根据题意列出的不等式为． 故选：A． 10. 如图，点A、B、C在一条直线上，和均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接、．下列结论：①；②；③为等边三角形；④．则所有正确结论的序号是（ ）． A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①由等边三角形的性质得出，，，得出，由即可证出；②由，得出，根据三角形外角的性质得出；③由证明，得出对应边相等，即可得出为等边三角形；④推出是等边三角形，得到，根据平行线的性质即可得到，故④正确． 【详解】解：∵、为等边三角形， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形，故③正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④，故D正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角大小为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解． 【详解】解：①当这个角是顶角时，则底角为：； ②当这个角是底角时，另一个底角为，因为，符合三角形内角和定理； 综上分析可知，这个等腰三角形的底角大小为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解题的关键是能够进行分类讨论，难度不大． 12. 如图，在中，是边的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和定义，根据线段垂直平分线的性质和定义得到，再由三角形周长公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长， 故答案为：． 13. 如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，延长交于点，可证，得到分别为的中线，由三角形中线平分三角形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵垂直于的平分线于点P， ∴，且， ∴， ∴，即点是的中点， ∴分别为的中线， ∴， ∵，， ∴． 14. 如果关于x的方程的解不大于1，且m是一个正整数，则x的值为__________． 【答案】或1 【解析】 【分析】利用解一元一次方程的步骤表示出，然后根据题意列出不等式，求出的取值，最后代数求值即可． 【详解】解： ∴， 解得， ∵m是一个正整数， ∴的值为1或2， 当时，； 当时，； 故答案为：或1． 15. 如图，在中，，若剪去得到四边形，则_____． 【答案】##236度 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握三角形内角和为，四边形内角和为． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 解不等式并把解集在数轴上表示出来：． 【答案】 ，数轴见解析 【解析】 【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，再画数轴表示即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解集表示在数轴上如图所示， ． 17. 已知线段m和n，请用尺规作图法求作Rt，使，，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】画图见解析 【解析】 【分析】先作于A，再在AM上截取，在AN上截取，连接BC，则满足条件． 【详解】解：如图，即为所求， 【点睛】本题主要考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 18. 先化简，再求值：，其中为满足的最小整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，求不等式的整数解，先利用整式的乘法公式和运算法则进行化简，再解不等式求出的值，然后把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 由，解得， 为满足的最小整数， ， 当时， 原式． 19. 整式的值为． （1）当时，求的值； （2）若的取值范围如数轴所示，求的负整数值． 【答案】（1）8； （2）的负整数值为，． 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、解不等式、求不等式的整数解等知识点，掌握不等式的解法是解题的关键． （1）将代入代数式计算即可； （2）根据题意，据此列不等式求解并确定负整数解即可． 【小问1详解】 解：∵整式的值为， ∴ ∴当时，． 【小问2详解】 解：根据题意可得：，解得：， ∴的负整数值为，． 20. 规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． （1）判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． （2）已知为“2倍角三角形”，且为锐角三角形，为“倍角”，求的取值范围． 【答案】（1）是“2倍角三角形” （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）设（为另一个内角），则第三个内角为，根据定义，结合三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 解：∵等腰直角三角形的内角为、、， ∴， ∴符合“2倍角三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“2倍角三角形”； 【小问2详解】 解：设（为另一个内角），则第三个内角为， ∵是锐角三角形，三个内角均小于， ∴且且， ∴且且， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且． （1）猜想度数，并写出证明过程． （2）如图，点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点在边上从点向点运动，速度为每秒个单位长度（当一点停止运动时，另一点也随之停止），运动时间为秒，在运动过程中：是直角三角形，求的值； （3）点为坐标轴上一点，当是等腰三角形时，请直接写出这样的点有______个． 【答案】（1），证明见解析 （2）的值为或 （3） 【解析】 【分析】（1）取点，连接，证明，得出等边三角形，即可得出结论； （2）表示出，，，然后分两种情况进行讨论，利用含角的直角三角形的性质列出方程求解； （3）根据等腰三角形的性质分三种情况进行讨论，结合（1）中的结论得出点与、重合． 【小问1详解】 解：，证明如下： 如图，取点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵、， ∴， 由题意得，，， ∴， 当时，∵， ∴， ∴， 即， 解得； 当时，如图，则， ∴， 即， 解得； 综上，当是直角三角形时，的值为或； 【小问3详解】 解：如图， 以点为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点，，； 以点为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点，，； 作线段的垂直平分线交坐标轴于点，； 由（1）得是等边三角形， ∴点与、重合， ∴符合条件的点共有个． 22. 如图，在中，． （1）如图①，现将沿翻折，使点落在斜边上点处，若，，求的长； （2）如图②，现将沿直线翻折，使点落在点处，若，求证：； （3）如图③，作平分，动点在上运动，动点在上运动，若，，则的最小值为________． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）设，由翻折性质可表示出，，计算得出，在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得结果； （2）根据题意及翻折性质可证得是等边三角形，从而得出结论； （3）作点，交于，交于，作与，交于，由“将军饮马”模型可知此时最小，可证得，，，可求得，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：设，则，连接， 由折叠可得，，，， ，，， ， ， 在中，由勾股定理得， ，解得， ； 【小问2详解】 证明：连接，如图1所示： 由折叠知，，， ， ，， 是等边三角形， ， ， ； 【小问3详解】 解：作点，交于，交于，作与，交于，如图2所示： 由“将军饮马”模型，结合对称性可知最小值为线段长， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 23. 【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）120 【解析】 【分析】（1）如图①：延长，使，先证明得到，，进而证得，再证明得到，进而可证得结论； （2）如图②：在上截取，连接，先由为等腰直角三角形可得，再证明可得，再证明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； （3）如图③：先证明得到，；结合已知得到，证明得到，进而可得，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，延长，使， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：数量关系：，理由如下： 如图②：在上截取，连接， 为等边三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ． 是的平分线， ， ∴是等边三角形， ； （3）解：如图③，在上截取， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，； ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，灵活添加辅助线，运用相关性质、定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第一次综合训练八年级 数学试卷 考试范围：第一章全部，第二章1，2节；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 下列表示的不等关系中，正确的是（ ） A. 不负数，表示为 B. 比3至少多1，表示为 C. 与1的和是非负数，表示为 D. 不大于3，表示为 2. 若（，为实数），则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，∠A＝100°，∠C＝70°，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MFAD，FNDC，则∠B的度数为（ ） A. 80° B. 85° C. 90° D. 95° 4. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、．若，，则的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 5. 如图，在中，，，若点D为的中点，过点D作，分别交、于点M、N，连接，则下列结论中：①是等腰直角三角形；②的周长有最小值；③四边形的面积为定值8；④的面积有最小值．正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 如图，在中，，平分，于点．如果，，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 一个三角形可以被剖分为两个等腰三角形，已知原三角形的一个内角为36°，则原三角形最大内角的所有可能值的总和是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，其逆命题不成立的是（ ） A. 角平分线所在直线上的点到这个角的两边的距离相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 若是钝角三角形，则 9. 学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A、B、C在一条直线上，和均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接、．下列结论：①；②；③为等边三角形；④．则所有正确结论的序号是（ ）． A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角大小为_______． 12. 如图，在中，是边的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 13. 如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是______． 14. 如果关于x的方程的解不大于1，且m是一个正整数，则x的值为__________． 15. 如图，在中，，若剪去得到四边形，则_____． 三、解答题（共75分） 16. 解不等式并把解集在数轴上表示出来：． 17. 已知线段m和n，请用尺规作图法求作Rt，使，，．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 先化简，再求值：，其中为满足最小整数． 19. 整式的值为． （1）当时，求值； （2）若的取值范围如数轴所示，求的负整数值． 20. 规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． （1）判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． （2）已知为“2倍角三角形”，且为锐角三角形，为“倍角”，求的取值范围． 21. 如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且． （1）猜想度数，并写出证明过程． （2）如图，点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点在边上从点向点运动，速度为每秒个单位长度（当一点停止运动时，另一点也随之停止），运动时间为秒，在运动过程中：是直角三角形，求的值； （3）点为坐标轴上一点，当是等腰三角形时，请直接写出这样的点有______个． 22. 如图，在中，． （1）如图①，现将沿翻折，使点落在斜边上点处，若，，求的长； （2）如图②，现将沿直线翻折，使点落在点处，若，求证：； （3）如图③，作平分，动点在上运动，动点在上运动，若，，则的最小值为________． 23. 【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $