4.1 多边形讲义（知识梳理+3题型突破）2025-2026学年八年级数学下册浙教版

4.1 多边形 讲义 基础知识梳理 1. 多边形基本概念 多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 内角：多边形相邻两边组成的角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。 正多边形：各个角相等，各条边相等的多边形。 2. 核心公式 n边形内角和公式： 任意多边形外角和： n边形对角线条数公式： 正n边形每个内角度数： 正n边形每个外角度数： 3. 重要结论 多边形内角和一定是 180°的倍数 任意多边形外角和恒为 360°，与边数无关 从n边形一个顶点出发可作 (n-3) 条对角线，分成 (n-2) 个三角形 技巧总结归纳 1.求边数万能方法 ① 已知内角和 → 列方程 内角和 ② 已知每个外角度数 → 2.截角问题（必考） 一个多边形剪去一个角，边数有三种可能：减少1、不变、增加1 对应内角和：减少 、不变、增加 3.多算/少算一个角问题 用给出的度数 ，取商整数部分 + 2为边数，再求少加或多加的角。 4.对角线快速判断 对角线条数为整数； 从一个顶点出发： 条. 典例精讲 题型1 多边形内角和与边数计算 典例1若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 变式1若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 题型2 多边形外角和应用 典例2如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 变式2如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 题型3 对角线条数问题 典例3从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 变式3从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 题型4 多（少）算一个角问题 典例4如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． ] 题型5 截角后的边数与内角和 典例5若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 变式5已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 题型6 正多边形内角、外角、周长、对角线的综合问题 典例6如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 易错提醒： 内角和： 外角和：（永远不变） 对角线： 截角三类：边数-1、不变、+1 截角后周长可能变大、变小、不变 角度计算常用：三角形/四边形内角和、外角转化 错题关键：漏分截角情况、忘记外角和定值 题型一．多边形的认识 1．（2025春•祁阳市期中）下列各图形中，多边形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025春•惠安县校级月考）七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案．现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中六边形的周长为（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•益阳校级期中）如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的　 　 ． 4．（2025•信都区二模）如图所示，由正方形和正六边形相间围成一圈，则需要正六边形的个数是 　 　 ． 5．（2025春•海沧区期末）在单位长度为1的网格中，如果一个多边形的顶点都在格点（网格线交点）上，那么这种多边形叫做格点多边形．记某格点多边形的面积为S，其边上的格点总数为L，其内部的格点总数为N．如图中格点多边形①边上的格点总数L＝8，内部的格点总数N＝3，面积S＝6．奥地利数学家皮克于1899年发现了S，L，N三者之间有确定的数量关系，这一结论被称为“皮克定理”． （1）根据如图填写完整表格． 如表 格点多边形 多边形的面积S 边上的格点总数L 内部的格点总数N ① 6 8 3 ② 4 3 ③ 7 6 （2）图中格点多边形④的面积为　 　； （3）根据（1）（2）猜想S＝　　 　．（用含L，N的代数式表示） 题型二．多边形的对角线 1．（2025春•沂源县期中）若从多边形的一个顶点可以引出七条对角线，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 2．（2025春•涉县期末）若一个n边形从一个顶点最多能引出4条对角线，则n的值为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 3．（2025春•凤城市期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成7个三角形，则此多边形的边数为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 4．（2025秋•滕州市校级月考）过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（2025春•桐城市校级月考）从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．12 B．10 C．9 D．8 6．（2025春•衢州期末）一个五边形的对角线条数是　 　． 7．（2024秋•贵州期末）五边形从某一个顶点出发可以引 　 　 条对角线． 8．（2025秋•秦都区校级月考）若一个多边形从一个顶点可以引8条对角线，则这个多边形的边数是　　 　 ． 9．（2025春•天府新区期末）若过多边形某个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的边数是　 　 ． 10．（2025春•徐汇区校级月考）过m边形的一个顶点能作7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，则（m﹣k）n＝　 　． 题型三．多边形内角与外角 1．（2025春•义乌市校级期中）七边形的内角和是（　　） A．540° B．720° C．900° D．1080° 2．（2025春•延庆区期中）下列多边形中，内角和等于540°的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•永州期末）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（　　） A．内角和增加360° B．内角和增加180° C．对角线增加一条 D．外角和增加180° 4．（2025春•西湖区校级期中）如果一个正多边形每个外角都等于60°，那么它是正（　　）边形． A．三 B．四 C．五 D．六 5．（2025•黄石模拟）若一个多边形的内角和为其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（2025春•杭州期中）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还小180°，这个多边形的边数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2024秋•博山区期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 8．（2025春•杭州校级期中）如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的∠1的度数是（　　） A．118° B．122° C．128° D．132° 9．（2025春•嵊州市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠D＝110°，与∠α相邻的外角是70°，则∠β的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 10．（2025春•鹿城区校级月考）如图，某物质的化学分子式含有两个正六边形，其中一个正六边形的内角和是（　　） A．540° B．720° C．900° D．1080° 11．（2025•娄底三模）如图，在正六边形ABCDEF中，作正五边形HKCDG，连接BK，则∠ABK的度数为（　　） A．45° B．36° C．30° D．27° 12．（2024秋•日照期末）如图，将正五边形一角沿直线MN折叠，折叠后得到点D′，则∠1+∠2＝（　　） A．108° B．72° C．216° D．144° 13．（2025春•西湖区校级期中）若一个多边形的内角和为1800°，则这个正多边形的边数是　 　 ． 14．（2025春•拱墅区校级期中）一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数为　 　 ． 15．（2025春•拱墅区校级期中）一个正n边形恰好有n条对角线，那么这个正n边形的一个内角 是　 　　 度． 16．（2025春•南湖区期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少180°． （1）求这个多边形的边数． （2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 17．（2024秋•朝阳区校级期末）阅读小明和小红的对话，解决下列问题 我把一个多边形的各内角相加，得到的和为1520°． 多边形的内角和不可能是1520°，我看了你的过程，你多加了一个外角． （1）通过列方程说明“多边形的内角和不可能是1520°”的理由； （2）求该多边形的内角和； 18．（2025春•织金县期末）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转40°，再前进10m后又向右转40°，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形． （1）小明一共走了多少米？ （2）求这个正多边形的内角和． 19．（2025春•南关区校级期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． （1）①这个“多加的锐角”是　 　度．②小东求的是几边形的内角和？ （2）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． （3）小东将一个正六边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，F为公共顶点，试求∠EFG的度数． 20．（2025春•龙岗区期末）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若∠ABC＝80°，∠A＝60°，则∠D＝ 　 　． 【猜想证明】 （2）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有∠A的式子表示∠D） 【拓展提高】 （3）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 多边形 讲义 基础知识梳理 1. 多边形基本概念 多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 内角：多边形相邻两边组成的角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。 正多边形：各个角相等，各条边相等的多边形。 2. 核心公式 n边形内角和公式： 任意多边形外角和： n边形对角线条数公式： 正n边形每个内角度数： 正n边形每个外角度数： 3. 重要结论 多边形内角和一定是 180°的倍数 任意多边形外角和恒为 360°，与边数无关 从n边形一个顶点出发可作 (n-3) 条对角线，分成 (n-2) 个三角形 技巧总结归纳 1.求边数万能方法 ① 已知内角和 → 列方程 内角和 ② 已知每个外角度数 → 2.截角问题（必考） 一个多边形剪去一个角，边数有三种可能：减少1、不变、增加1 对应内角和：减少 、不变、增加 3.多算/少算一个角问题 用给出的度数 ，取商整数部分 + 2为边数，再求少加或多加的角。 4.对角线快速判断 对角线条数为整数； 从一个顶点出发： 条. 典例精讲 题型1 多边形内角和与边数计算 典例1若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】利用公式列方程即可求解． 【详解】解：设多边形边数为， 根据题意列方程得， 解得， ∴这个多边形的边数是． 技巧点拨：已知内角和求边数，直接用内角和公式列方程。 变式1若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：． 解得：． 所以这个多边形是七边形． 题型2 多边形外角和应用 典例2如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键． 多边形的外角和为，与四边形的外角和均为，即可作答． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴与四边形的外角和与均为， ∴， 故选：A． 易错提醒：外角和与边数无关，永远是 。 变式2如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 题型3 对角线条数问题 典例3从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 【答案】1080 【分析】根据n边形从一个顶点出发的对角线条数为，结合已知条件求出多边形的边数，再利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得 ． 解得． 根据多边形内角和公式，得： ． 技巧点拨：从一点出发对角线条数 = 。 变式3从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【答案】27 【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 题型4 多（少）算一个角问题 典例4如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【答案】/105度 【分析】本题考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和公式，确定内角和的范围，再通过计算找到符合条件的边数及少加的内角度数． 【详解】解：∵， 又∵少加了一个内角， ∴多边形的边数是：， ∴他们在求九边形的内角和， ∴，少加的内角为， 故答案为：．] 技巧点拨：内角和一定是180的倍数，用除法求余数即可。 题型5 截角后的边数与内角和 典例5若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 易错提醒：截角问题必须分三种情况讨论！ 变式5已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 题型6 正多边形内角、外角、周长、对角线的综合问题 典例6如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【分析】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【详解】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 易错提醒： 内角和： 外角和：（永远不变） 对角线： 截角三类：边数-1、不变、+1 截角后周长可能变大、变小、不变 角度计算常用：三角形/四边形内角和、外角转化 错题关键：漏分截角情况、忘记外角和定值 题型一．多边形的认识 1．（2025春•祁阳市期中）下列各图形中，多边形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据多边形的定义解答即可． 【解答】解：①②③是有一些线段首尾顺次连接组成的图形是多边形； ④⑤⑥中含有弧线，故不是多边形． 故选：B． 2．（2025春•惠安县校级月考）七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案．现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中六边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积是16可得边长是4，再利用勾股定理可得BF＝FC＝DE＝CE＝2，DH＝OH＝DG＝BG进而可得图2的周长． 【解答】解：由七巧板的面积是16可知： 图1中，AB＝BC＝4， ∴EF＝2， BF＝FC＝DE＝CE＝2， DH＝OH＝OG＝BG， ∴图2的周长是2+24+28+6． 故选：D． 3．（2025春•益阳校级期中）如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的　不稳定性　 ． 【答案】不稳定性 【分析】根据四边形的性质，可得答案． 【解答】解：伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的不稳定性， 故答案为：不稳定性． 4．（2025•信都区二模）如图所示，由正方形和正六边形相间围成一圈，则需要正六边形的个数是 　6　 ． 【答案】6． 【分析】即围绕一点拼在一起的多边形内角和为360°．准确计算出正方形和正六边形的内角度数，理解相间排列时在拼接点处角度和为360°这个条件，通过合适的角度关系计算正六边形个数． 【解答】解：设正六边形有x个，因为正方形和正六边形相间围成一圈，所以正方形也有x个．它们围绕一圈时，一个正方形内角与一个正六边形内角组合，一组的角度和为90°+120°＝210°，而围绕一圈是360°，但是这里我们换个思路，从拼接点处角度考虑，在一个拼接点处，一个正方形内角和一个正六边形内角拼在一起后，剩余角度为360°﹣90°﹣120°＝150°．即是多边形的每一个内角为150°，则该多边形的每个外角都为30°， ∴360°÷30°＝12， ∴正六边形个数是12÷2＝6个． 故答案为：6． 5．（2025春•海沧区期末）在单位长度为1的网格中，如果一个多边形的顶点都在格点（网格线交点）上，那么这种多边形叫做格点多边形．记某格点多边形的面积为S，其边上的格点总数为L，其内部的格点总数为N．如图中格点多边形①边上的格点总数L＝8，内部的格点总数N＝3，面积S＝6．奥地利数学家皮克于1899年发现了S，L，N三者之间有确定的数量关系，这一结论被称为“皮克定理”． （1）根据如图填写完整表格． 如表 格点多边形 多边形的面积S 边上的格点总数L 内部的格点总数N ① 6 8 3 ② 4 　4　 3 ③ 7 6 　5　 （2）图中格点多边形④的面积为　13　 ； （3）根据（1）（2）猜想S＝　L+N﹣1　 ．（用含L，N的代数式表示） 【分析】（1）观察图形，找出格点多边形②边上的格点总数及格点多边形③内部的格点总数即可； （2）利用切割图形求面积法，求出图中格点多边形④的面积； （3）设S＝aL+bN+c，根据图中格点多边形①②③的面积、边上的格点总数及内部的格点总数，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）观察图形，可知：格点多边形②边上的格点总数L＝4； 格点多边形③内部的格点总数N＝5． 故答案为：4，5； （2）根据题意得：图中格点多边形④的面积为3×11×11×13×11×21×4+3×2 1+2+6 ＝13． 故答案为：13； （3）设S＝aL+bN+c， 根据题意得：， 解得：， ∴SL+N﹣1． 故答案为：L+N﹣1． 题型二．多边形的对角线 1．（2025春•沂源县期中）若从多边形的一个顶点可以引出七条对角线，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】D 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得答案． 【解答】解：设这个多边形有n条边，由题意得： n﹣3＝7， 解得：n＝10， 故选：D． 2．（2025春•涉县期末）若一个n边形从一个顶点最多能引出4条对角线，则n的值为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系（n﹣3），即可求解． 【解答】解：由条件可知n﹣3＝4， 解得：n＝7． 故选：B． 3．（2025春•凤城市期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成7个三角形，则此多边形的边数为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，依此可得n的值． 【解答】解：由题意得，n﹣2＝7， 解得：n＝9， 即这个多边形是九边形． 故选：B． 4．（2025秋•滕州市校级月考）过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数． 【解答】解：设多边形有n条边， 则n﹣2＝8， 解得n＝10． 故这个多边形的边数是10． 故选：C． 5．（2025春•桐城市校级月考）从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】利用多边形的对角线性质列式计算即可． 【解答】解：∵从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成10个三角形， ∴这个多边形的边数为10+2＝12， 故选：A． 6．（2025春•衢州期末）一个五边形的对角线条数是　5　 ． 【答案】5． 【分析】利用多边形的对角线公式列式计算即可． 【解答】解：5（条）， 即一个五边形的对角线条数是5， 故答案为：5． 7．（2024秋•贵州期末）五边形从某一个顶点出发可以引 　2　 条对角线． 【答案】2 【分析】从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，代入求出即可． 【解答】解：从五边形的一个顶点出发有5﹣3＝2条对角线， 故答案为：2． 8．（2025秋•秦都区校级月考）若一个多边形从一个顶点可以引8条对角线，则这个多边形的边数是　11　 ． 【答案】11 【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解． 【解答】解：设多边形有n条边， 则n﹣3＝8， 解得：n＝11． 故答案为：11． 9．（2025春•天府新区期末）若过多边形某个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的边数是　5　 ． 【答案】5． 【分析】根据多边形的对角线的性质即可求得答案． 【解答】解：∵过多边形某个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形， ∴这个多边形的边数是3+2＝5， 故答案为：5． 10．（2025春•徐汇区校级月考）过m边形的一个顶点能作7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，则（m﹣k）n＝　125　 ． 【答案】125 【分析】若过m边形的一个顶点有7条对角线，则m＝10；n边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而n＝3；k边形有k条对角线，即得到方程k（k﹣3）＝k，解得k＝5，代入解析式就可以求出代数式的值． 【解答】解：∵n边形从一个顶点发出的对角线有n﹣3条， ∴m＝7+3＝10，n＝3，k＝5， ∴（m﹣k）n＝（10﹣5）3＝125， 故答案为：125． 题型三．多边形内角与外角 1．（2025春•义乌市校级期中）七边形的内角和是（　　） A．540° B．720° C．900° D．1080° 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案案． 【解答】解：由题意，得 （7﹣2）×180°＝900°， 故选：C． 2．（2025春•延庆区期中）下列多边形中，内角和等于540°的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内角和是540°，利用n边形的内角和为（n﹣2）•180°＝540°分别计算出变数即可得出结论． 【解答】解：∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°， ∴（n﹣2）•180°＝540°， ∴n﹣2＝3， ∴n＝5， ∴这个多边形是五边形， 故选：C． 3．（2025春•永州期末）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（　　） A．内角和增加360° B．内角和增加180° C．对角线增加一条 D．外角和增加180° 【答案】B 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）×180°，外角和360°不变，逐一判断解题． 【解答】解：任意多边形的外角和为360°，不发生变化； n边形的边数每增加一条内角和增加[（n+1）﹣2]×180°﹣（n﹣2）×180°＝180°， 故选：B． 4．（2025春•西湖区校级期中）如果一个正多边形每个外角都等于60°，那么它是正（　　）边形． A．三 B．四 C．五 D．六 【答案】D 【分析】根据多边形外角与边的关系进行计算． 【解答】解：正多边形的边数为：6． 故选：D． 5．（2025•黄石模拟）若一个多边形的内角和为其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°， 依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4， 解得：n＝10， ∴这个多边形的边数是10． 故选：D． 6．（2025春•杭州期中）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还小180°，这个多边形的边数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），多边形的外角和等于360°，由此即可求解． 【解答】解：设多边形的边数是n， 由题意得：（n﹣2）•180°＝2×360°﹣180°， ∴n＝5． 故选：C． 7．（2024秋•博山区期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 【答案】B 【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可． 【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝150°． 又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P， ∴∠PAB+∠ABP∠DAB+∠ABC（180°﹣∠ABC）＝90°（∠DAB+∠ABC）＝165°， ∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°． 故选：B． 8．（2025春•杭州校级期中）如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的∠1的度数是（　　） A．118° B．122° C．128° D．132° 【答案】D 【分析】根据多边形内角和公式及正多边形的性质求出∠2，∠3的度数，再根据∠1+∠2+∠3＝360°即可解答． 【解答】解：如图， ∵， ∵∠1+∠2+∠3＝360°， ∴∠1＝132°， 故选：D． 9．（2025春•嵊州市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠D＝110°，与∠α相邻的外角是70°，则∠β的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】先求出∠α的度数，再根据四边形内角和即可求出∠β的度数． 【解答】解：∵与∠α相邻的外角是70°， ∴∠α＝180°﹣70°＝110°， ∵四边形ABCD的内角和是（4﹣2）×180°＝360°， ∴∠β＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠α＝360°﹣80°﹣110°﹣110°＝60°， 故选：B． 10．（2025春•鹿城区校级月考）如图，某物质的化学分子式含有两个正六边形，其中一个正六边形的内角和是（　　） A．540° B．720° C．900° D．1080° 【答案】B 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【解答】解：正六边形的内角和是（6﹣2）×180°＝720°， 故选：B． 11．（2025•娄底三模）如图，在正六边形ABCDEF中，作正五边形HKCDG，连接BK，则∠ABK的度数为（　　） A．45° B．36° C．30° D．27° 【答案】B 【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角结合等腰三角形的性质可得结论． 【解答】解：正六边形每个内角为720°÷6＝120°， ∵正五边形内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴正五边形每个内角为540°÷5＝108°， ∴∠BCK＝120°﹣108°＝12°， ∵BC＝CD＝CK， ∴∠CBK＝∠CKB＝（180°﹣12°）÷2＝84°， ∴∠ABK＝∠ABC﹣∠CBK＝120°﹣84°＝36°， 故选：B． 12．（2024秋•日照期末）如图，将正五边形一角沿直线MN折叠，折叠后得到点D′，则∠1+∠2＝（　　） A．108° B．72° C．216° D．144° 【答案】C 【分析】先确定∠D＝108°，再根据折叠的性质得∠D′＝∠D＝108°，再根据四边形内角和及邻补角的定义可得结论． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴， ∴∠D′＝∠D＝108°， ∴∠DND′+∠DMD′＝360°﹣2∠D＝360°﹣2×108°＝144°， ∵∠1＝180°﹣∠DND′，∠2＝180°﹣∠DMD′， ∴∠1+∠2＝360°﹣144°＝216°． 故选：C． 13．（2025春•西湖区校级期中）若一个多边形的内角和为1800°，则这个正多边形的边数是　12　 ． 【答案】12． 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理得（n﹣2）×180°＝1800°，解此方程即可得出这个正多边形的边数． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， ∴这个多边形的内角和为：（n﹣2）×180°， 又∵这个个多边形的内角和为1800°， ∴（n﹣2）×180°＝1800°， 解得：n＝12， 这个多边形的边数为12． 故答案为：12． 14．（2025春•拱墅区校级期中）一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数为 　10　 ． 【答案】10 【分析】根据任意多边形的外交和等于360°，多边形的每一个外角都等于36°，多边形边数＝360÷外角度数，代入数值计算即可． 【解答】解：∵多边形的每一个外角都等于36°， ∴这个多边形的边数＝360÷36＝10． 故答案为：10． 15．（2025春•拱墅区校级期中）一个正n边形恰好有n条对角线，那么这个正n边形的一个内角是　108　 度． 【答案】108 【分析】根据多边形的边数与对角线的条数的关系列方程得出多边形的边数，再根据内角和公式求出正n边形的一个内角的度数． 【解答】解：依题意有n，n（n﹣5）＝0， 解得n＝0（不合题意舍去）或n＝5． ∴这个正n边形的一个内角是（5﹣2）×180°÷5＝108°． 故答案为：108． 16．（2025春•南湖区期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少180°． （1）求这个多边形的边数． （2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【分析】（1）根据多边形的内角和公式、外角和是360°列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【解答】解：（1）设这个多边形的边数是n， 由题意得（n﹣2）×180°＝360°×2﹣180°， 解得n＝5， 答：这个多边形的边数是5； （2）∵剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1． ∴截完后所形成的新多边形的边数可能是4或5或6， ①当多边形为四边形时，其内角和为（4﹣2）×180°＝360°； ②当多边形为五边形时，其内角和为（5﹣2）×180°＝540°； ③当多边形为六边形时，其内角和为（6﹣2）×180°＝720°； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为360°或540°或720°． 17．（2024秋•朝阳区校级期末）阅读小明和小红的对话，解决下列问题 我把一个多边形的各内角相加，得到的和为1520°． 多边形的内角和不可能是1520°，我看了你的过程，你多加了一个外角． （1）通过列方程说明“多边形的内角和不可能是1520°”的理由； （2）求该多边形的内角和； 【分析】（1）设多边形的边数为n，根据多边形内角和列方程求解即可； （2）首先得到该多边形的边数为10，然后利用多边形内角和定理求解即可． 【解答】解：（1）理由：设多边形的边数为n． 180°（n﹣2）＝1520°， 解得．n为正整数， ∴多边形内角和不可能为1520°； （2）设一个外角为α，根据题意可得（n﹣2）•180°+α＝1520° α＝1520°﹣（n﹣2）•180°， ∵0＜α＜180°， ∴0＜1520°﹣（n﹣2）•180°＜180°， 解得：n＜10， 该多边形的边数为10， ∴（10﹣2）×180°＝1440°， 故该多边形的内角和为1440°． 18．（2025春•织金县期末）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转40°，再前进10m后又向右转40°，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形． （1）小明一共走了多少米？ （2）求这个正多边形的内角和． 【分析】（1）由题意可知，正多边形的外角为40°，由多边形的外角和等于360°，计算360°÷40°＝9，可知这个多边形是九边形，然后再计算10×9即可得出答案； （2）根据多边形的内角和公式计算即可． 【解答】解；（1）由题意，得这个正多边形的外角为40°， ∴这个正多边形的边数为：360°÷40°＝9， ∴10×9＝90（米）， 答：小明一共走了90米． （2）这个正多边形的内角和为：（9﹣2）×180°＝7×180°＝1260°． 19．（2025春•南关区校级期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． （1）①这个“多加的锐角”是　20　 度．②小东求的是几边形的内角和？ （2）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． （3）小东将一个正六边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，F为公共顶点，试求∠EFG的度数． 【分析】（1）①由题意知，多边形的内角和为180°（n﹣2），是180°的整数倍，用1100°÷180°，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，180°（n﹣2）＝1080°，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出∠GFC＝∠FCD＝135°，∠EFB＝∠ABF＝120°，再根据三角形的内角和算出∠BFC，据此计算即可求解． 【解答】解：（1）①由题意知，n边形的内角和为（n﹣2）×180°，是180°的整数倍， ∵1100°÷180°＝6…20°， ∴这个“多加的锐角”是20°， 故答案为：20； ②由题意知，（n﹣2）×180°＝1080°， 解得n＝8， ∴小东求的是8边形内角和； （2）由题意知，这个正多边形的一个内角是1080°＝135°， ∴这个正多边形的一个内角是135°； （3）由多边形的内角和定理可得， ， ∴∠FCB＝180°﹣∠FCD＝45°， ∵， ∴∠FBC＝180°﹣∠ABF＝60°， 由三角形的内角和定理得：∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴∠EFG＝360°﹣∠EFB﹣∠GFC﹣∠BFC＝360°﹣135°﹣120°﹣75°＝30°． 20．（2025春•龙岗区期末）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若∠ABC＝80°，∠A＝60°，则∠D＝ 　30°　 ． 【猜想证明】 （2）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有∠A的式子表示∠D） 【拓展提高】 （3）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）由（2）的结论，再根据三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝80°，∠A＝60°， ∴∠ACE＝80°+60°＝140°， ∵CD是∠ACE的平分线， ∴∠ACD＝∠ECD140°＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD80°＝40°， ∵∠ECD＝∠D+∠CBD， ∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝70°﹣40°＝30°， 故答案为：30°； （2）当∠A保持不变，则∠D不会变化，∠D∠A，理由： ∵CD是∠ACE的平分线， ∴∠ACD＝∠ECD∠ACE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC， ∵∠ECD＝∠D+∠CBD， ∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD ∠ACE∠ABC （∠ACE﹣∠ABC） ∠A； （3）∠BMN+∠CNM﹣2∠D＝180°，理由： 如图，延长BM，CN相交于点F，由（2）可得∠D∠F，即∠F＝2∠D， ∵∠F+∠FMN+∠FNM＝180°，∠BMN＝∠F+∠FNM，∠CNM＝∠F+∠FMN， ∴∠BMN+∠CNM＝∠F+∠FNM+∠F+∠FMN＝180°+∠F， 即∠BMN+∠CNM＝180°+2∠D， 也就是∠BMN+∠CNM﹣2∠D＝180°． 学科网（北京）股份有限公司 $