精品解析：新疆巴楚县第一中学2025-2026学年第二学期高一3月月数学练习

巴楚县第一中学2025-2026学年第二学期高一年级3月月练习 数学学科 时间：120分钟 班级：___________姓名：______________学号：___________ 一、单选题（本题共计8小题，每题5分，共计40分） 1. 如图，在正方形中，与的夹角为（ ） A. 30° B. 90° C. 120° D. 180° 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量夹角定义结合图形特征判断. 【详解】是正方形，所以向量夹角是. 故选：B 2. 下列说法错误的是（ ） A. B. 所有的单位向量的模均相等 C. 零向量与任何向量共线 D. 相等向量必共线向量 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数与向量的积判断A，根据单位向量的概念判断B，根据零向量的性质判断C，根据相等向量的性质判断D. 【详解】对A：因为，故A错； 对B：因为所有的单位向量的模均为1，故B正确； 对C：规定：零向量与任何向量共线，故C正确； 对D：因为相等向量方向相同，所以相等向量必共线，故D正确. 故选：A 3. 已知向量，，若，则实数等于 A. 1 B. －1 C. －4 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为，，所以,解得， 考点：向量垂直的充要条件． 4. 在中，已知，，，则b=（ ）. A. B. C. 7 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理，即可求解答案. 【详解】由题意， 故答案选：. 【点睛】本题考查余弦定理，计算准确，属于基础题. 5. 在中，，，，则的面积为（ ）． A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平方关系求得，再结合三角形的面积公式求解. 【详解】在中，因，则是锐角，， 所以的面积为. 故选：C. 6. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，则， 所以在方向上的投影向量坐标为. 故选：B. 7. 位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得如图，，，利用正弦定理即可求解. 【详解】如图，，， 由正弦定理得，， 所以. 故此时甲船距离灯塔海里. 故选：B. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（ ） A. B. C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理和数量积定义得，然后利用中线向量表示及模的运算求解中线长即可. 【详解】中，由余弦定理得， 又，所以，所以，记边上的中点为M， 因为，所以，所以. 故选：B 二、多选题（本题共计3小题，每题6分，共计18分） 9. 已知向量，，，在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平面向量基底的性质，结合共线向量的性质进行判断即可. 【详解】A：假设，则有，显然不成立，故向量，不是共线向量，所以符合题意； B：，因为，所以，共线向量，因此不符合题意； C：，因为，所以，是共线向量，因此不符合题意； D：，，假设是共线向量，则有显然不成立，故向量，不是共线向量，所以符合题意， 故选：AD 10. 下列运算正确的是（ ） A. · B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：，A正确； 选项B：，B正确； 选项C：因，是零向量，而不是，C错误； 选项D：，D正确. 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形边角关系判断A；利用诱导公式判断B；利用余弦定理判断CD. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，则是锐角，显然是否都是锐角无法确定，C错误； 对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共计3小题，每题5分，共计15分） 12. 在中，若，则的形状为__________. 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，进而判断三角形形状. 【详解】在中，及正弦定理，得， 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形 13. 已知向量，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以有. 14. 在中所对的边分别为且.若有两解，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式先求出角，然后根据三角形有两解，得出不等式解出即可. 【详解】因为， 所以根据正弦定理得：， 因为，所以， 所以有， 即， 所以， 在中，，所以， 由，所以， 又，若有两解， 则，即， 解得：， 所以的取值范围是. 四、解答题（本题共计5小题，共计77分） 15. 如图，按下列要求作答． （1）以A为始点，作出； （2）以B为始点，作出； （3）若为单位向量，求、和． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3），， 【解析】 【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可作出；（2）先将共线向量计算出结果再作出；（3）根据利用勾股定理即可计算出各向量的模长. 【小问1详解】 将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示： 【小问2详解】 先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示： 【小问3详解】 由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知， ； 由共线向量的加法运算可知； 利用图示的向量和勾股定理可知，. 16. 已知向量，. （1）求； （2）求向量与向量的夹角的余弦值； （3）若，且，求向量与向量的夹角. 【答案】（1）；（2）；（3）.. 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再求其模； （2）利用向量的夹角公式直接求解即可； （3）由，得化简结合已知条件可得答案 【详解】解：（1）因为，， 所以. 所以. （2）因为， ， ， 所以. （3）因为， 所以. 即. 所以. 即， 所以. 因为， 所以. 17. 在中， 分别为内角的对边，且 （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，试判断 的形状． 【答案】 ，等腰三角形 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得，在利用余弦定理，求解，即可求解角的大小；（2）由（1），利用两角差的正弦函数，化简得，即可求解的最大值. 试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得 即，由余弦定理得 故， （2）由（1）得： 故当时，取得最大值1，此时三角形等腰三角形. 考点：正弦定理；余弦定理. 18. 已知三角形中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且． （1）求角的大小； （2）若，，求三角形的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知及向量数量积的坐标表示有，根据正弦定理边角关系、三角形内角性质可得，进而求的大小； （2）由余弦定理得，再利用三角形面积公式求三角形的面积．. 【详解】（1）由题设，， 由正弦定理有，即， 又，可得，又，则． （2）由余弦定理有，即， 所以，可得，则． 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且 （1）求； （2）若的面积为，为的中点，求的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据及正弦定理角化边，再利用余弦定理即可得解； （2）根据的面积为，求得，再利用余弦定理及基本不等式即可得解. 【详解】（1）由及正弦定理 可得： ∴ ∵∴ （2）由题意知，得. 由余弦定理得， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴楚县第一中学2025-2026学年第二学期高一年级3月月练习 数学学科 时间：120分钟 班级：___________姓名：______________学号：___________ 一、单选题（本题共计8小题，每题5分，共计40分） 1. 如图，在正方形中，与的夹角为（ ） A. 30° B. 90° C. 120° D. 180° 2. 下列说法错误的是（ ） A. B. 所有单位向量的模均相等 C. 零向量与任何向量共线 D. 相等向量必为共线向量 3. 已知向量，，若，则实数等于 A. 1 B. －1 C. －4 D. 4 4. 在中，已知，，，则b=（ ）. A. B. C. 7 D. 5 5. 在中，，，，则的面积为（ ）． A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 6. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（ ） A. B. C. 6 D. 10 二、多选题（本题共计3小题，每题6分，共计18分） 9. 已知向量，，，在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列运算正确的是（ ） A. · B. C D. 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 三、填空题（本题共计3小题，每题5分，共计15分） 12. 在中，若，则的形状为__________. 13. 已知向量，若，则______． 14. 在中所对的边分别为且.若有两解，则的取值范围是__________. 四、解答题（本题共计5小题，共计77分） 15. 如图，按下列要求作答． （1）以A为始点，作出； （2）以B为始点，作出； （3）若为单位向量，求、和． 16. 已知向量，. （1）求； （2）求向量与向量的夹角的余弦值； （3）若，且，求向量与向量的夹角. 17. 在中， 分别为内角的对边，且 （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，试判断 的形状． 18. 已知三角形中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且． （1）求角的大小； （2）若，，求三角形的面积． 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且 （1）求； （2）若面积为，为的中点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $