6.3 正方形的性质与判定 讲义2025-2026学年鲁教版数学八年级下册

第六章·特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 列清单·划重点 知识点① 正方形的定义 有一组 相等的矩形是正方形. 几何语言：如图所示， ∵四边形 ABCD 是 ,AB=BC, ∴矩形 ABCD 是正方形. 注意 正方形既是矩形，又是菱形，它具备矩形、菱形的所有性质. 知识点② 正方形的性质 1.一般性质：正方形具有 的所有性质. 2.(1)定理1：正方形的四个角都是 ，四条边都 . 几何语言：如图所示， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ ∠A = ∠B = ∠C =∠D=90°, AB=BC=CD=DA. (2)定理2：正方形的对角线 且互相 平分. 几何语言：如图所示， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC=BD,AC⊥BD, 3.对称性： 正方形既是 对称图形，又是 对称图形，对称轴有 条，分别是过每组 的直线和 所在的直线. 注意 正方形的对角线将正方形分成4个全等的大的等腰直角三角形或4个小的全等的等腰直角三角形. 知识点③ 正方形的面积 3. S正方形ABCD = S△ABC = S△AOB· 明考点识方法 考点① 正方形的定义及边角的性质 典例 1如图，在正方形ABCD 中,已知∠AEF=∠AFE,求证:CE=CF. 思路导析根据正方形的性质，可以得到 ∠B =∠D=90°,AB = AD = BC = CD, 再根据∠AEF=∠AFE,即可得到 AE=AF, 然后根据HL 即可证明 Rt△ABE≌Rt△ADF,从而可以得到BE=DF ,即可证明结论成立. 变式1 定义：一个四边形中，若有一个角的两边相等，且与它的对角互补，则称这个四边形为“半等边四边形”，则下列四边形一定是“半等边四边形”的是 ( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 变式 2 如图,四边形ABCD 是正方形,△BCE 是等边三角形,连接AE,DE. (1)求证:AE=DE; (2)求∠AED 的度数. 考点② 正方形对角线的性质 典例2 如图，正方形 ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,M 是边AD 上一点,连接OM,过点 O 作 ON⊥OM,交CD 于点 N.若四边形MOND 的面积是 1,则AB 的长为( ) A.1 B. C.2 D.2 变式1 如图，正方形ABCD 的对角线交于点O,点 E,F 分别在AB,BC上,且AE<BE,∠EOF=90°,OE与 DA 的延长线交于点M,OF 与AB 的延长线交于点N，连接MN. 求证:AM=BN. 变式2 如图，在正方形ABCD 中，对角线 AC 所在的直线上有两点M,N 满足 AN=CM,连接 BM,BN,DM,DN. (1)试判断四边形 BMDN 的形状，并说明理由； (2)若. ，求四边形BMDN 的面积. 第2课时 正方形的判定 列清单·划重点 知识点① 正方形的判定 1.定义法：有一组 相等的矩形是正方形. 2.定理1：对角线相等的 是正方形. 3.定理2：对角线互相 的矩形是正方形. 4.定理 3：有一个角是直角的菱形是正方形. 注意 判定正方形的一般思路： 正方形的判定方法较多，应用时要注意灵活选择. 知识点② 正方形的性质和判定 注意 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形. 明考点识方法 考点① 利用矩形证明正方形 典例1 如图，在□ABCD 中,对角线AC,BD 交于点E,CF∥BE,BF∥CE. (1)当 BC 平分∠EBF时,▱ABCD 是 形；(填特殊平行四边形名称) (2)证明:当 BC =时,▱ABCD 为正方形. 变式 1 在四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=90°.如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是 ( ) A. AB=BC B. AB=CD C. AC=BD D.∠D=90° 变式 2 如图,在Rt△ABC 中,两锐角的平分线 AD,BE 相交于点O,OF⊥AC 于点F,OG⊥BC 于点G,求证:四边形 OGCF 是正方形. 考点② 利用菱形证明正方形 典例2 如图，四边形ABCD 是平行四边形,AB = BC,AB⊥BC，点 E 是边 CD 的延长线上的动点.连接AE.过点 C 作CF⊥AE 于点 F. (1)求证:四边形 ABCD是正方形； (2)当点 F 是AE 的中点,且 时，求四边形ABCD 的面积. 变式1 如图，菱形ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 E，添加下列一个条件，能使菱形ABCD 成为正方形的是 ( ) A. AC⊥BD B. C.∠ABD=∠ADB D. AE=CE 变式2 如图，已知平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点O,E 是DB 延长线上一点,且△ACE 是等边三角形. (1)求证:四边形 ABCD 是菱形; (2)若∠AEB =2∠EAB,求证:四边形ABCD 是正方形. 考点③ 正方形性质和判定的综合应用 典例3 如图，在正方形 ABCD 和▱ECGF 中,点B，C，G在同一条直线上，P是线段AF 的中点,连接 DP,连接 EP 并延长,交 AD 于点Q.请证明: (1)四边形 ECGF 是矩形; (2)当∠DPE=90°时,四边形 ECGF 是正方形. 变式1 正方形 ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC 上(可与点 A,C 重合),MN=2,点 P,Q 在正方形的边上.下面四个结论中：①存在无数个四边形 PMQN 是平行四边形 ②存在无数个四边形 PMQN 是菱形 ③存在无数个四边形 PMQN 是矩形 ④至少存在一个四边形 PMQN 是正方形.所有正确结论的序号是 . 变式2 如图，正方形ABCD 中, 点 E 是对角线 AC上的一点,连接 DE.过点 E 作 EF⊥ED,交AB 于点 F,以 DE,EF 为邻边作矩形DEFG,连接AG. (1)求证:矩形 DEFG 是正方形; (2)求 AG+AE 的值; (3)若 F 恰为AB 的中点,求正方形 DEFG的面积. 第1课时正方形的性质 【列清单·划重点】 知识点1 邻边 矩形 知识点2 1.平行四边形 2.(1)直角 相等(2)相等 垂直 3.中心 轴 4 对边中点 对角线 知识点3 3.2 4 【明考点·识方法】 典例1 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠D=90°,AB=AD=BC=DC, ∵∠AEF=∠AFE,∴AE=AF, 在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中, ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL), ∴BE=DF, ∴BC-BE=DC-DF, 即CE=CF. 变式1 D 变式2 解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°, ∵△BCE 是等边三角形, ∴BE=CE,∠EBC=∠ECB=60°, ∴∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠ECB, 即∠ABE=∠DCE, 在△ABE和△DCE 中, ∴△ABE≌△DCE(SAS),∴AE=DE; (2)由(1)得△ABE,△CDE,△ADE 是等腰三角形,设∠DAE=x°,依题意得 180-2x=360-60-2(90-x),解得x=15,180-2×15=150, ∴∠AED 为150度. 典例2 C 变式1 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴OA=OB,∠OAD=∠OBA=45°, ∴∠OAM=∠OBN=135°, ∵∠EOF=90°,∠AOB=90°, ∴∠AOB-∠BOE=∠EOF-∠BOE, 即∠AOM=∠BON, 在△OAM 和△OBN 中, ∴△OAM≌△OBN(ASA), ∴AM=BN. 变式2 解:(1)四边形 BMDN 是菱形, 理由:连接BD,交AC 于点O, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴OA=OC,OD=OB,AC⊥BD, ∵AN=CM,∴ON=OM, ∴四边形 BMDN 是平行四边形， ∵BD⊥MN, ∴四边形 BMDN 是菱形; (2)在 Rt△AOD中, ∴BD=2OD=2, 在 Rt△NOD 中,∠DNM=30°, ∴DN=2OD=2, ∴四边形 BMDN 的面积 2 第2课时正方形的判定 【列清单·划重点】 知识点1 1.邻边 2.菱形 3.垂直 【明考点·识方法】 典例1 解:(1)当 BC 平分∠EBF 时,□ABCD 是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BD=2BE,AC=2CE. ∵CF∥BE,BF∥CE, ∴四边形 BECF 是平行四边形， ∴BF=CE, ∵BC平分∠EBF, ∴平行四边形 BECF 是菱形， ∴BE=BF,∴BE=CE, ∴BD=AC, ∴平行四边形 ABCD 是矩形，故答案为：矩； (2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BD=2BE,AC=2CE, 由(1)可知，四边形 BECF 是平行四边形，∴BF=CE, ∴BF=CE=BE,∴BD=AC, ∴平行四边形ABCD 是矩形， 即 ∴△BEC 是直角三角形, 即∠BEC=90°,∴AC⊥BD, ∴矩形ABCD 是正方形. 变式1 A 变式2 证明:如图,作OH⊥AB 于点H, ∵OF⊥AC 于点F,OG⊥BC 于点G, ∴∠OGC=∠OFC=90°. ∵∠C=90°,∴四边形OGCF 是矩形. ∵AD 平分∠BAC,∴OH=OF. ∵BE平分∠ABC,∴OH=OG, ∴OF=OG, ∴四边形OGCF 是正方形. 典例2 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,AB=BC, ∴平行四边形ABCD 为菱形， 又∵AB⊥BC,∴菱形ABCD 为正方形; (2)连接AC,如图所示: ∵CF⊥AE于点 F,点 F 为AE 的中点, ∴CF 为线段AE 的垂直平分线， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD=DC,∠ADC=90°, 在Rt△ACD 中,由勾股定理,得AD²+ ∴四边形ABCD 的面积 变式1 B 变式2 证明:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AO=CO. ∵△ACE 是等边三角形,∴AE=CE. ∴BE⊥AC,∴四边形ABCD 是菱形; (2)由(1)知,△AOE 是直角三角形, ∴∠AEB+∠EAO=90°, ∵△ACE 是等边三角形,∴∠EAO=60°, ∴∠AEB=30° ∵∠AEB=2∠EAB,∴∠EAB=15°, ∴∠BAO = ∠EAO - ∠EAB = 60°- 又∵四边形ABCD 是菱形. ∴∠BAD=2∠BAO=90°, ∴四边形ABCD 是正方形. 典例3 证明:(1)∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠BCD=90°,∴∠GCE=90°, ∵四边形 ECGF 是平行四边形， ∴平行四边形 ECGF 是矩形； (2)在正方形 ABCD 和□ECGF 中,点 B,C，G在同一条直线上， ∴AD∥BG,EF∥BG,∠ADC=90°,AD=DC, ∴AD∥EF, ∴∠QAP=∠EFP, ∵P 是线段AF 的中点,∴AP=PF,又∵∠APQ=∠FPE, ∴△APQ≌△FPE(ASA), ∴AQ=EF,QP=PE, ∵∠DPE=90°,∴∠DPQ=90°, 在△PDQ 和△PDE 中, ∴△PDQ≌△PDE(SAS), ∴QD=DE, ∵AD=DC,∴AQ=EC, ∴EC=EF, ∴矩形 ECGF 是正方形. 变式1 ①②④ 变式2 解:(1)证明:如图,作 EM⊥AD 于 M,EN⊥AB 于N. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠EAD=∠EAB, ∵EM⊥AD 于M,EN⊥AB 于N, ∴EM=EN, ∵∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°, ∴四边形ANEM 是矩形, ∵EF⊥DE,∴∠MEN=∠DEF=90°, ∴∠DEM=∠FEN, ∵∠EMD=∠ENF=90°, ∴△EMD≌△ENF(ASA), ∴ED=EF, ∵四边形 DEFG 是矩形, ∴四边形 DEFG 是正方形; (2)∵四边形 DEFG 是正方形,四边形ABCD 是正方形, ∴DG=DE,DC=DA=AB=3 ∠GDE=∠ADC=90°, ∴∠ADG=∠CDE, ∴△ADG≌△CDE(SAS), ∴AG=CE, (3)连接DF, ∵四边形ABCD 是正方形， ∵F 是AB 中点, ∴正方形 DEFG 的面积 学科网（北京）股份有限公司 $