6.2矩形的性质与判定 课堂随练2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第六章·特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 列清单·划重点 知识点① 矩形的定义 有一个角是 的平行四边形是矩形. 知识点② 矩形的性质 1.一般性质：矩形具有 的所有性质. 2.特殊性质： (1)定理1: 矩形的四个角都是 . 几何语言：如图所示， ∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D= . (2)定理2：矩形的对角线 . 几何语言：如图所示， ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴ . 3.矩形的对称性： 矩形既是 对称图形，又是 对称图形，对称轴是过每组对边中点的直线. 注意 矩形的两条对角线将矩形分成四个大的直角三角形或四个小的等腰三角形，因此矩形问题常放在等腰三角形或直角三角形中解决. 知识点③ 直角三角形斜边中线的性质 直角三角形斜边上的 等于斜边的一半. 几何语言： ∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边AB 的中线,∴CD=AD=BD= AB(或AB= CD). 明考点·识方法 考点① 矩形的定义及边角的性质 典例1如图,在矩形 ABCD中,点 E 在AD 上,且 EC平分∠BED,若 AB=4,DE=2. (1)求证:BC=BE; (2)求△BEC 的面积. 思路导析(1)由矩形的性质和角平分线的定义可得∠BEC=∠ECB,则 BC=BE;(2)∠A=90°,AB=CD=4,设 BC=BE=x,则 AE=x-2，根据 求解x，得出BC 的长，所以△BEC 的面积 变式 1如图,矩形ABCD 中,E在AD 上,且EF⊥EC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则 AE 的长是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.7 变式2如图，在矩形ABCD 中,O 为对角线交点,∠DAB 的平分线交 BD 于点 F,交 CD 于点 E,∠EAC=15°,AB=2 ,则△AOD 的面积为 ( ) A.2 B. C.2 D. 考点② 矩形对角线的性质 典例 2 如图,在矩形ABCD 中,O 为对角线AC,BD 的交点,过点 O 的直线分别与边 DA，BC 延长线交于点E,F. (1)求证:AE=CF; (2)若∠ADB=2∠E,求证: 思路导析(1)证明△OAE≌△OCF,可得结论;(2)因为 AO = DO,所以∠OAD =∠ADB =2∠E,根据三角形的外角可得∠E=∠AOE,则AE=AO,从而得结论. 变式1如图,矩形 ABCD中,对角线 AC,BD 交于点 O.若∠AOB = 60°,BD=8,则 AB 的长为( ) A.3 B.4 C.4 D.5 变式 2 如图，矩形ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形 OCED 是菱形; (2)若 BC=3,DC=4,求四边形 OCED 的面积. 考点③ 直角三角形斜边中线的性质 典例 3 如图，在 Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的中线,过点 D 作DE ⊥ AB,连接AE,BE,若CD=4,AE=5,则 DE 的长为 . 思路导析先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到 AD=4，再利用勾股定理求出 DE 的长即可. 变式 1如图，在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,点E 是 AD 的中点,连接 OE,若 AC=6,BD=8，则下列结论错误的是 ( ) A. AB=5 B. C.菱形的面积为48 D.点 A 到 BC 的距离为 变式2 如图,在△ABC 中,BD⊥AC 于点D,CE⊥AB 于点E,点 M,N 分别是BC,DE 的中点. (1)求证:MN⊥DE; (2)若∠ECB+∠DBC=45°,DE=10,求MN 的长. 第2课时矩形的判定 列清单·划重点 知识点 矩形的判定 1.定义法：有一个角是 的平行四边形是矩形. 几何语言：如图所示，∵四边形 ABCD 是平行四边形,∠A= ,∴▱ABCD 是矩形. 2.定理1：有 是直角的四边形是矩形. 几何语言：如图所示，∵ = = = =90°, ∴四边形 ABCD 是矩形. 3.定理2：对角线 的平行四边形是矩形. 几何语言：如图所示，∵四边形 ABCD 是平行四边形，且 ， ∴▱ABCD 是矩形. 注意 判定矩形的两种基本思路： (1)四边形三个角是直角矩形. (2) 明考点·识方法 考点① 用角判定四边形是矩形 典例 1 如图,在△ABC 中,AC=BC,点D,E 分别是边 AB,AC 的中点,延长 DE到F,使得 EF=DE.求证:四边形 ADCF是矩形. 思路导析由等腰三角形的性质得 CD⊥AB，再证明四边形 ADCF 是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论. 变式1依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( ) 变式 2 如图,在▱ABCD 中,AF,BH,CH,DF 分别是∠DAB,∠ABC,∠BCD 与∠CDA 的平分线,AF 与 BH 交于点 E,CH 与 DF 交于点G,连接EG,FH,求证:EG=FH. 考点② 用对角线判定四边形是矩形 如图，已知在□ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,∠OAB=∠OBA. (1)求证:▱ABCD 是矩形; (2)若 AD =4,∠AOB =120°,求对角线AC 的长. 思路导析(1)由等腰三角形的性质得OA=OB，再由平行四边形的性质得 则 BD=AC，即可得出结论； (2)由矩形的性质得∠BAD=90°,∠ABD=30°,再由含30°角的直角三角形的性质求解即可. 变式 如图，延长平行四边形 ABCD 的边DC 到点 F,使得CF=CD,连接AF,BF,AC,若AD=AF,求证: 四边形 ABFC是矩形. 第3课时矩形的性质和判定的应用 列清单划重点 知识点① 矩形的面积 1. S矩形ABCD=AB·BC. 2. S矩形ABCD= S△ABC= S△AOB. 知识点② 矩形的性质和判定 解决矩形问题常添加的辅助线有： 1.连接对角线构造等腰三角形或直角三角形. 2.作对角线上的高，构造含特殊角的直角三角形. 明考点识方法 考点① 矩形的面积及应用 典例1 如图，在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,AC=8,BD=18,过点 A 作AE∥BD,过点D 作 DE∥AC 交 AE 于点E, 则四边形AODE 的面积为 ( ) A.24 B.36 C.48 D.72 思路导析根据AE∥BD,DE∥AC,可以得到四边形 AODE 是平行四边形，再根据菱形的性质，可以得到OA 和OD 的值以及∠AOD 的度数，从而可以判断四边形 AODE 是矩形，然后计算出矩形 AODE 的面积即可. 变式1将矩形 ABCD 和菱形 AFDE 按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的2倍，则下列结论正确的是( ) A.∠EAF=60° B. AB=AF C. AD=2AB D. AB=EF 变式2如图，点 E 是矩形ABCD 内一点,连接AE,DE,AC,EC,BE，知道下列哪个选项的值就求△AEC 的面积 ( ) A.△ABE 与△BEC 面积之差 B.△ADE 与△BEC 面积之差 C.△DEC 与△BEC 面积之差 D.△ADC 与△DEC 面积之差 考点② 矩形性质与判定的综合应用 典例2如图，线段 DE 与AF 分别为△ABC 的中位线与中线. (1)求证:AF 与DE 互相平分; (2)当线段 AF 与 BC 满足怎样的数量关系时，四边形 ADFE 为矩形?请说明理由. 变式 1如图,在▱ABCD 中,AB=2,BC=5,延长 DC 至点 E,使 CE=DC,连接 AE,交 BC 于点F,连接AC,BE,∠AFC=2∠D. (1)求证:四边形 ABEC 是矩形; (2)求▱ABCD 的面积. 变式2 已知菱形 ABCD 中,延长 DC 至点E,使CE=CD,延长 BC 至点 F,使CF=CB,分别连接DB,BE,EF,FD. (1)如图1,求证:四边形 DBEF 是矩形; (2)如图 2,连接 AE 交 BF 于点 G,连接DG，在不添加辅助线的情况下，请你写出与△ABG 面积相等的三角形(不包括△ABG). 第1课时 矩形的性质 【列清单·划重点】 知识点1 直角 知识点2 1.平行四边形 2.直角 90° 相等 AC=BD 3.中心 轴 知识点3 中线 【明考点·识方法】 典例1 解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形, ∴AD∥BC,∠A=90°,AB=CD=4, ∴∠DEC=∠ECB, ∵EC平分∠BED, ∴∠BEC=∠DEC, ∴∠BEC=∠ECB, ∴BC=BE; (2)设BC=BE=x,∴AE=x-2, ∴x=5,即 BC=5, ∴△BEC 的面积 4=10. 变式1A 变式2D 典例2 证明:(1)∵四边形ABCD 是矩形, ∴OA=OC,AD∥BC, ∴∠OAE=∠OCF, 在△OAE 和△OCF 中, ∴△OAE≌△OCF(ASA), ∴AE=CF; (2)∵四边形ABCD 是矩形, ∴OA=OD,∴∠OAD=∠ADB=2∠E, ∵∠OAD=∠E+∠AOE, ∴∠E=∠AOE,∴AE=AO, 变式1 B 变式2 解:(1)证明:∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形OCED 是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形, ∴OC=OD, ∴四边形OCED 是菱形; (2)∵四边形ABCD 是矩形, ∴OA=OB=OC=OD, ∵四边形OCED 是菱形, 典例3 3 变式1 C 变式2 解:(1)证明:连接EM,DM, ∵BD⊥AC,CE⊥AB, ∴∠BDC=∠BEC=90°, ∵在 Rt△DBC 和 Rt△EBC 中,M 是 BC的中点， ∴DM=EM, ∵N 是DE 的中点,∴MN⊥DE; (2)在 Rt△DBC中,M 是BC 的中点, ∴∠DBM=∠BDM, 同理∠MEC=∠MCE, ∵∠ECB+∠DBC=45°, ∴∠EMB+∠DMC=2(∠ECB+∠DBC)=90°, ∴∠EMD=90°, ∵N 是DE 的中点,DE=10, 第2课时矩形的判定 【列清单·划重点】 知识点 1.直角 90° 2.三个角 ∠A ∠B ∠C(或∠B ∠C∠D) 3.相等 AC=BD 【明考点·识方法】 典例1 证明:∵AC=BC,D 是AB 中点, ∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°. ∵E是AC中点,∴AE=EC, 又∵DE=EF, ∴四边形ADCF 是平行四边形， 又∵∠ADC=90°, ∴四边形ADCF 是矩形. 变式1 A 变式2 证明：∵四边形 ABCD·是平行四边形， ∴AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AF,BH 分别平分∠DAB,∠ABC, ∴∠AEB=∠HEF=90°,同理,∠AFD=90°,∠DGC=90°, ∴∠HGF=∠DGC=90°, ∴四边形 EFGH 是矩形,∴EG=FH. 典例2 解:(1)证明:∵∠OAB=∠OBA,∴OA=OB, ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BD=AC,∴□ABCD 是矩形; (2)∵▱ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°, ∵∠AOB=120°, ∴∠ABD=∠OAB=30°, ∴BD=2AD=8,∴AC=BD=8. 变式 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC, ∵CF=CD,∴CF=AB 且CF∥AB ∴四边形ABFC 是平行四边形， ∵AD=AF,∴BC=AF, ∴平行四边形ABFC 是矩形. 第3课时 矩形的性质和判定的应用 【列清单·划重点】 知识点1 2.2 4 【明考点·识方法】 典例1 B 变式1 D 变式2 C 典例2 解:(1)证明:∵点 D 是AB 的中点, ∵点 E 是AC 的中点,点 F 是BC 的中点, ∴EF 是△ABC 的中位线, , ∴四边形ADFE 是平行四边形， ∴AF 与DE互相平分; (2)当 时，四边形ADFE 为矩形，理由： ∵线段 DE 为△ABC 的中位线, ∴AF=DE, 由(1)得：四边形ADFE 是平行四边形，∴四边形ADFE 为矩形. 变式1 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠D, ∵CE=CD,∴AB=CE, ∴四边形ABEC 是平行四边形， ∴BC=2BF,AE=2AF, ∵2∠D=∠AFC=∠ABC+∠BAE, ∴∠ABC=∠BAE, ∴AF=BF,∴AE=BC, ∴四边形ABEC 是矩形; (2)∵四边形 ABEC 是矩形,AB =2,BC=5, ∴□ABCD 的面积为 变式2 解:(1)证明:∵CE=CD,CF=CB, ∴四边形 DBEF 是平行四边形， ∵四边形ABCD 是菱形, ∴CD=CB,∴CE=CF,∴BF=DE, ∴四边形 DBEF 是矩形; (2)∵四边形 DBEF 是矩形, ∴∠BDF=90°,CD=CE, ∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB=CD=CE,AD∥BG,AB∥CE, ∴∠ABG=∠ECG,∠BAG=∠CEG,在△ABG 和△ECG 中, ∴△ABG≌△ECG(ASA), ∴S△ABC=S△ECG,BG=CG,AG=EG, ∴S△BDG=S△CDC,S△ABC=S△BEG, ∵AD∥BG,∴S△ABG=S△BDG, ∴与△ABG 面积相等的三角形是△BDG,△ECG,△CDG,△BEG. 学科网（北京）股份有限公司 $