精品解析：四川省宜宾市2023-2024学年高二下学期期末学业质量监测数学试题

2024年春期宜宾市普通高中学业质量监测 高二年级 数学 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为虚数单位，复数的模为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模的计算公式即可得出． 【详解】解：复数的模， 故选：B． 2. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式逐个判断各个选项即可． 【详解】解：A．，故正确，不符合题意； B．，故正确，不符合题意； C．，故正确，不符合题意； D．，故选项错误，符合题意；． 故选：D． 3. 在建立两个变量与的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，模型1、2、3、4的决定系数依次为0.20，0.48，0.96，0.85，则其中拟合效果最好的模型是（ ） A. 模型1 B. 模型2 C. 模型3 D. 模型4 【答案】C 【解析】 【分析】根据决定系数的定义判断即可. 【详解】因为越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以这4个不同的模型拟合效果最好的模型是模型3. 故选：C 4. 展开式中含的项的系数是（ ） A. B. C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为，令，则含的项的系数是， 故选：C 5. 已知函数的极小值为，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，就导函数中的参数,分情况讨论函数的极值情况即得. 【详解】由求导得，. ①当时，由可得或，由可得， 即当或时，单调递增，当时，单调递减， 故的极小值为，不合题意； ②当时，，故在R上单调递增，无极值，不合题意； ③当时，由可得或，由可得， 即当或时，单调递增，当时，单调递减， 故的极小值为，解得. 综上，. 故选：A. 6. 3名男生和2名女生共5位同学站成一排照相，且2位女生不相邻，则不同排法种数为（ ） A. 120 B. 72 C. 36 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】不相邻问题借助插空法计算即可得. 【详解】先排3名男生，有种排法，借助插空法，共有4个空位，故2名女生有种排法， 共有种排法. 故选：B. 7. 若随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意先求出，再由条件概率的定义求即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 8. 已知函数在上可导，且，若成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，由得出函数的单调性，再由结合单调性得出答案. 【详解】构造函数 因为，即，所以函数在上单调递减. 可变形为，即，即. 故选：C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由期望和方差的性质判断AB；由对称性判断CD. 【详解】因为，所以，所以， ，故A正确，B错误； 由对称性可知，所以， 由对称性可知，，而， 所以，故C错误，D正确； 故选：AD. 10. 已知函数，则（ ） A. 有唯一极值点 B. 在单调递增 C. 的最大值为 D. 在处的切线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】求导后判断导数正负，从而得到单调区间，进而求得极值、最值，再由导数几何意义求得切线的斜率，利用点斜式写出切线方程. 【详解】由，得， 令，则 或， 所以当或时，； 当时，. 所以在上递增，在上递减, 在上递增， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值. 因为，所以的最大值为. ， 又， 函数在点处的切线方程是，即. 故AD错误；BC正确； 故选：BC 11. 设，则（ ） A. B. 展开式中系数最大值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对二项式展开式中的进行赋值并整理即可判断A, C, D项，对于B，根据二项式通项公式及组合数的性质即得. 【详解】对于A，取，代入可得，，故A正确； 对于B，由二项式的通项公式知， 展开式中系数最大值为和，即和，故B错误； 对于C，取，代入可得， 取，代入则得，， 两式相减可得，，即得，故C正确； 对于D，取，代入可得， ，故D正确. 故选：ACD. 12. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. 平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用坐标运算判断ABC，对于D：求出球心到平面的距离，进而得出截面圆的半径，从而得出面积. 【详解】对于A：以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 ， ，则，所以A错误； 对于B：设平面的法向量为，， ，取，则， 同理可得平面的法向量为， ，则平面平面，故B正确； 对于C：，点到平面的距离为，故C正确； 对于D：该正方体的外接球的球心为，且外接球的半径为, ，点到平面的距离为， 则平面截得的截面圆的半径为， 所以该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若随机变量，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布的均值公式计算即得. 【详解】因，由可得，解得. 故答案为：. 14. 已知双曲线的离心率为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线中的平方关系、离心率公式列出等式直接计算即可. 【详解】由题意， 从而双曲线的离心率为， 结合，解得满足题意. 故答案为：. 15. 有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率依次为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的、，任取一个零件，则它是次品的概率为_________． 【答案】0.037 【解析】 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】依题意，事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”； 所以 . 故答案为：0.037 16. 若函数无零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，对通过零点存在定理证明函数存在零点，而对，利用导数证明不等式，并进一步得到，然后由此证明函数无零点，即可得到的取值范围是. 【详解】一方面，若，设为实数，由于对有，对有，故或，从而对任意实数，都有. 故，而我们还有 ， 故函数存在零点，不满足条件； 另一方面，若，设，则. 故对有，对有，所以在上递减，在上递增. 从而对任意都有，即，此即. 对，在不等式中令，得；在不等式中令，得. 从而将和二者结合就有. 故由，知对任意都有 . 这表明对任意都有，故函数无零点，满足条件. 综上，取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对和两种情况分别讨论，即可直接得到的取值范围. 若试图直接从无零点的条件得出需要满足的等价性条件，则会发现的极小值点对应形如的方程，而该类方程的解没有关于的显式表达式，故这会导致常规方法难以进行. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知数列满足：，点在直线上． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义求通项公式； （2）分组求和法求前项和． 【小问1详解】 因为点在直线，所以，即． 所以是等差数列，且首项为，公差为3． 于是，． 【小问2详解】 因为． 所以 18. 通过对某商品在六个城市销售情况与广告投入的关系进行调研，得到一些统计量的值（如下表）.并发现该商品的销售额（单位：百万元）与其广告费（单位：万元）成线性相关.用模型进行拟合，得出相应的经验回归方程并进行残差分析绘制了如图所示的残差图，但在随后数据整理的过程中不小心将部分数据损坏. 城市 广告费万元 3 6 8 10 5 8 336 214 销售额/百万元 6 8 14 15 现将残差绝对值大于1的数据被视为异常数据，需要剔除. （1）剔除异常数据后，分别计算广告费、销售额的平均值； （2）求剔除异常数据后的经验回归方程；并估计当广告费为20万元时，销售额为多少. 参考公式： 【答案】（1）4；6.5 （2）；. 【解析】 【分析】（1）由残差图可知城市D，E的数据异常，故应剔除广告费中的6和8，剔除销售额中的8和14，利用平均数计算公式即得； （2）先计算出剔除两组数据后，和的值，代入和的计算公式，得到回归方程，即可估计出销售额. 【小问1详解】 由题知，剔除城市D，E的数据后，广告费的平均值为： 销售额的平均值为：. 【小问2详解】 依题意，. . 所以. 即得： 当时，. 所以，估计当广告费为20万元时，销售额为百万元. 19. 如图，在四棱锥中，平面，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用求出,过点作交于点,连接,证明即得； （2）法一：先证平面平面，过点作于，证平面，作交于点，连接，证明为二面角的平面角即可求得；法二：建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 过点作，所以 在中，因为，则，所以 于是，，过点作交于点,连接, 因为，所以，因,则且， 于是，四边形是平行四边形 则平面平面， 所以//平面 【小问2详解】 法一：因为平面，所以 因为，所以平面，因平面, 所以平面平面 过点作交直线于， 因平面,平面平面,故平面. 过点作交直线于点， 因平面，平面,则,得矩形，则, 故,连接，因平面，平面,则, 因,故平面, 平面,则, 所以为二面角的平面角. 易得,由,则, 即，故. 在中，则，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为； 法二： 如图建系， 因为，． 所以 设平面的法向量， 所以， 不妨设，于是，，所以， 设平面的法向量，所以， ，不妨设，于是， 所以，于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 20. 某校为了了解学生体能情况，从全校男女生体能测试成绩中随机抽取容量为20的样本数据进行统计分析，样本数据整理如下（满分100分）： 女生 75 70 75 70 75 95 85 75 90 75 男生 75 70 80 85 90 80 85 80 90 80 若规定成绩不低于80为A等，成绩低于80为B等． 性别 成绩 合计 A等 B等 女生 10 男生 10 合计 20 （1）完成上表，依据的独立性检验，能否认为体能测试成绩与性别有关联? （2）从这20名体能测试成绩为等的学生中随机挑选3名，求挑选出男生成绩为等的人数的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.05 0.005 3.841 7.897 【答案】（1）有关； （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）根据题意补充完整列联表，然后根据的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断； （2）这9名学生中，而的可能取值为0，1，2，然后结合超几何分布计算概率的方式逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望． 【小问1详解】 解：填表如下： 性别 成绩 合计 A等 B等 女生 3 7 10 男生 8 2 10 合计 11 9 20 假设：体能测试成绩与性别无关． ． 假设不成立，认为体能测试成绩与性别有关． 【小问2详解】 解：由题知且． 于是，的分布列为 0 1 2 所以的数学期望． 21. 已知为抛物线的焦点，是抛物线上一点，且的最小值为1． （1）求的方程； （2）过的直线与交于两点，过原点作直线的垂线交于点（异于点）．当四边形的面积为时，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义即可求解； （2）将两直线分别与抛物线方程联立成方程组，消元后，得到，，再结合四边形的面积为即可列等式求解. 【小问1详解】 由题知，当点在原点上时，的最小，所以，所以，所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 设方程为 由联立得：．于是，， 于是， 直线方程为． 由联立得：．解得或． 于是，点，所以 所以四边形的面积 即，令，则，所以 于是，． 即 即解得或 于，或 所以直线的方程为或 22. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为；单调递增区间为； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用导数即可判断函数的单调区间； （2）转化为恒成立问题，构造函数，求导，对分类讨论，研究正负判断的单调性，即可求解. 【小问1详解】 当时， 当时，，当时，． 所以的单调递减区间为；单调递增区间为 【小问2详解】 因为对任意恒成立．设． 所以． 分类：①当时，，知在单调递增， 所以，不成立． ②当时，，知在单调递减，所以成立． ③当时，令． 所以． （ⅰ）若即时，，知在单调递减，所以， 所以，所以在单调递减，所以对任意时，成立． （ⅱ）若即时，由可得，所以当时，， 于是，在单调递增，所以对任意时，，所以， 所以在单调递增，所以对任意时，恒成立． 综上所述：的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春期宜宾市普通高中学业质量监测 高二年级 数学 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为虚数单位，复数的模为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 2. 下列运算不正确是（ ） A. B. C. D. 3. 在建立两个变量与的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，模型1、2、3、4的决定系数依次为0.20，0.48，0.96，0.85，则其中拟合效果最好的模型是（ ） A. 模型1 B. 模型2 C. 模型3 D. 模型4 4. 展开式中含的项的系数是（ ） A. B. C. 10 D. 5 5. 已知函数的极小值为，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 6. 3名男生和2名女生共5位同学站成一排照相，且2位女生不相邻，则不同排法的种数为（ ） A. 120 B. 72 C. 36 D. 12 7. 若随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上可导，且，若成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 随机变量，则（ ） A. B. C. D. 10 已知函数，则（ ） A. 有唯一极值点 B. 在单调递增 C. 的最大值为 D. 在处的切线方程为 11. 设，则（ ） A. B. 展开式中系数最大值为 C. D. 12. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A B. 平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若随机变量，且，则_________． 14. 已知双曲线的离心率为，则_________． 15. 有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率依次为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的、，任取一个零件，则它是次品的概率为_________． 16. 若函数无零点，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知数列满足：，点在直线上． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 通过对某商品在六个城市的销售情况与广告投入的关系进行调研，得到一些统计量的值（如下表）.并发现该商品的销售额（单位：百万元）与其广告费（单位：万元）成线性相关.用模型进行拟合，得出相应的经验回归方程并进行残差分析绘制了如图所示的残差图，但在随后数据整理的过程中不小心将部分数据损坏. 城市 广告费万元 3 6 8 10 5 8 336 214 销售额/百万元 6 8 14 15 现将残差绝对值大于1的数据被视为异常数据，需要剔除. （1）剔除异常数据后，分别计算广告费、销售额的平均值； （2）求剔除异常数据后经验回归方程；并估计当广告费为20万元时，销售额为多少. 参考公式： 19. 如图，在四棱锥中，平面，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 20. 某校为了了解学生体能情况，从全校男女生体能测试成绩中随机抽取容量为20的样本数据进行统计分析，样本数据整理如下（满分100分）： 女生 75 70 75 70 75 95 85 75 90 75 男生 75 70 80 85 90 80 85 80 90 80 若规定成绩不低于80为A等，成绩低于80为B等． 性别 成绩 合计 A等 B等 女生 10 男生 10 合计 20 （1）完成上表，依据的独立性检验，能否认为体能测试成绩与性别有关联? （2）从这20名体能测试成绩为等的学生中随机挑选3名，求挑选出男生成绩为等的人数的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.05 0.005 3.841 7.897 21. 已知为抛物线的焦点，是抛物线上一点，且的最小值为1． （1）求的方程； （2）过的直线与交于两点，过原点作直线的垂线交于点（异于点）．当四边形的面积为时，求直线的方程． 22. 已知函数． （1）当时，求单调区间； （2）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $