2025-2026学年高一下学期数学期中测试模拟卷（范围：人教A版必修第二册6-8章-平面向量及其应用+复数+立体几何初步）

高一数学下学期期中测试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 考查范围：平面向量及其应用、解三角形、复数、立体几何初步 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意） 1.复数的虚部是（） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 2.已知向量，，若，则（） A. -2 B. 2 C. D. 3.在中，，，，则（） A. B. C. 或 D. 或 4．已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知D，E分别是的边BC，AC上的中点，AD、BE交于点F，则　　 A． B． C． D． 6. 如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．设复数（为虚数单位）.若对任意实数，，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9.下列关于复数的说法正确的有（） A. 实数的共轭复数是它本身 B. 虚数的共轭复数是纯虚数 C. 复数的模 D. 两个共轭复数的实部相等，虚部互为相反数 10.有下列说法，其中正确的说法为（    ） A．若，，则 B．若，则P是三角形的垂心 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则下列说法错误的是（    ）    A．平面 B．该二十四等边体的体积为 C．ME与PN所成的角为 D．该二十四等边体的外接球的表面积为 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.复数______。 13. 若△ABC中，，那么cosC= ． 14. 如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题13分）实数m分别为何值时，复数z（m2﹣3m﹣18）i是 （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 16.（本题15分）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； 17.（本题15分）如图所示，已知直角梯形中，，；设（其中），为线段的中点． (1)当时，若三点共线，求的值； (2)若的面积为，求的最小值． 18.（本题17分）在中，的对边分别为，已知. (1)求； (2)已知点在线段上，且，求长. 19.（本题17分）如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点. (1)求证：平面平面 (2)求二面角的余弦值. (3)点在直线上，且平面，求出的长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期期中测试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 考查范围：平面向量及其应用、解三角形、复数、立体几何初步 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意） 1.复数的虚部是（） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】复数的虚部为，故的虚部是。 2.已知向量，，若，则（） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】向量垂直则数量积为0，，解得。 3.在中，，，，则（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】由正弦定理，得；，故，。 4．已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】如图所示，空间中三条直线与平面分别交于不同的三点， 且三点共线，但直线不共面， 所以“三点共线”是“直线共面”的不充分条件； 若直线共面，设其为，则均在平面内，也在平面内， 则在平面与的交线上，所以三点共线， 所以“三点共线”是“直线共面”的必要条件； 所以“三点共线”是“直线共面”的必要不充分条件. 故选：B. 5．已知D，E分别是的边BC，AC上的中点，AD、BE交于点F，则　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用重心定理得到，再结合四边形法则转化为即可得解． 【详解】，E为中点，为重心，， ， 故选A． 6. 如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】在中，可求得AC，根据正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案. 【详解】因为在中，，， 所以， 在中，， 由正弦定理得：，即， 所以， 在中，， 所以（米） 故选：A 7．设复数（为虚数单位）.若对任意实数，，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，，则, ， ，解得. 8．正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，    因为底面边长为4，所以， 易知球心在线段上，则，解得或， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 故选：A 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9.下列关于复数的说法正确的有（） A. 实数的共轭复数是它本身 B. 虚数的共轭复数是纯虚数 C. 复数的模 D. 两个共轭复数的实部相等，虚部互为相反数 【答案】ACD 【解析】B错误，非纯虚数的共轭复数不是纯虚数；ACD符合复数共轭与模的定义。 10.有下列说法，其中正确的说法为（    ） A．若，，则 B．若，则P是三角形的垂心 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【分析】利用零向量与共线向量的定义可判断ACD，利用向量数量积的运算法则可判断B. 【详解】对于A，当时，与不一定共线，故A错误； 对于B，由，得， 所以，， 同理，，故是三角形的垂心，故B正确； 对于C，由共线向量的性质可知，若，则与共线且反向，故C正确； 对于D，当，时，显然有，但此时不存在，故D错误. 故选：BC 11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则下列说法错误的是（    ）    A．平面 B．该二十四等边体的体积为 C．ME与PN所成的角为 D．该二十四等边体的外接球的表面积为 【答案】ABC 【解析】依题意，补齐正方体，如下图，    对于A，假设平面，平面， ，， 二十四等边体就是一种半正多面体， 由对称性可知，六边形为正六边形， ， 这与“”矛盾，所以假设不成立，A错误； 对于B，，正方体的棱长为， 该二十四等边体的体积为正方体体积去掉个三棱锥体积， 即，B错误； 对于C，， 为异面直线与所成角（或补角）， 在等边中，，C错误； 对于D，如图，取正方形对角线交点为，即为该二十四等边体的外接球球心，    在等腰中，， 在正方形中，， 即外接球半径， 该二十四等边体的外接球的表面积，D正确. 故选：D. 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.复数______。 【答案】 【解析】展开：。 13. 若△ABC中，，那么cosC= ． 【答案】-0.25. 【详解】由正弦定理得， 所以. 故答案为-0.25. 14. 如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ． 【答案】 【解析】 如图，取的中点，的中点，连接，则， ∵平面平面，∴平面， ∵为的中点，∴， ∵平面平面，∴平面， ∵平面平面，∴平面平面， ∵是侧面上一点，且平面， ∴的轨迹为线段， 由得点的轨迹的长度为． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题13分）实数m分别为何值时，复数z（m2﹣3m﹣18）i是 （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 【详解】（1）若复数是实数，则， 即，得m＝6； （2）如复数是虚数，则， 即，则m≠﹣3且m≠6； （3）如复数是纯虚数，则， 则， 即m＝1或m． 16.（本题15分）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； 【解析】（1）连接，因为为正方形， 所以为中点，同理，为中点， 在中，、分别为、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接，中，、分别为、的中点， 所以. 在正方形中，， 又因为为正方体， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得：，，， 所以平面，所以平面； 17.（本题15分）如图所示，已知直角梯形中，，；设（其中），为线段的中点． (1)当时，若三点共线，求的值； (2)若的面积为，求的最小值． 【解析】（1）依题意， =， 因为三点共线，故，解得． （2）因为，故， =，所以； ， 所以 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 18.（本题17分）在中，的对边分别为，已知. (1)求； (2)已知点在线段上，且，求长. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理角化边即可得解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理、正弦定理求解即得. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 即，而， 所以. （2）由（1）知，由余弦定理得， 为三角形内角，则，而，于是， 在中，由正弦定理得， 所以. 19.（本题17分）如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点. (1)求证：平面平面 (2)求二面角的余弦值. (3)点在直线上，且平面，求出的长. 【解析】（1）四边形是直角梯形，， ，， 平面，平面， ，又，，平面， 平面，又平面， 平面平面 （2）由可知平面， ，平面，，， 为二面角的平面角， ，， ， 二面角的余弦值为 （3）连接交于O，过O作交于，连接， 由平面，平面，得平面 ，， 又，， 学科网（北京）股份有限公司 $