2026年江苏省无锡宜兴市数学中考预测卷

2026年江苏省无锡宜兴市数学中考预测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一种零件的质量标识为“克”，则下列零件中合格的有（    ） A．20.28克 B．20.18克 C．19.69克 D．19.25克 2．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 3．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．自然现象中，“太阳从东方升起”是随机事件 B．成语“水中捞月”所描述的事件是必然事件 C．“我市明天降雨的概率为”，表示我市明天一定降雨 D．小陈夺冠的概率是，表示小陈夺冠的可能性很大 6．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．（九章算术）中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．问：太仓去上林几何?”其大意为：驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里，现在从太仓运谷子到上林，五日往返3次．问：太仓距上林多少里?设太仓距上林里，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图是甲、乙两名同学的5次篮球训练中练习投篮成绩的折线统计图，下列判断正确的是（    ） A．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 B．甲的成绩的众数是9个 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩比乙的成绩稳定 9．如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得，当恰好经过点时，为等腰三角形，若，则（　　）． A． B． C． D． 10．某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡坡角，斜坡高米，是平行于水平地面的一个平台、小华想利用所学知识测量古塔的高度，她在平台的点处水平放置一平面镜，她沿着方向移动，当移动到点时，刚好在镜面中看到古塔顶端点的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离米，米，米，米，已知，根据题中提供的相关信息，古塔的高度约为（参考数据：）（　　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．能够直接反映出统计数值所占的百分比的统计图是_______________． 12．下列说法错误的是________． ①近似数3.5万精确到千位；②近似数3.5与3.50的精确度相同；③数495640精确到万位是 13．因式分解：______． 14．若圆锥的高是，它的侧面展开后扇形的圆心角是，则这个圆锥的侧面积是___________（结果保留）． 15．如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 16．若点，，在二次函数的图象上，且则m的取值范围是_____． 17．如图，在中，，点D是边上一动点，连接，以为底边作等腰，使，连接，则面积的最大值为__________． 18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，以为边作等边三角形，在点运动过程中，当的最小时，点的坐标为______． 三、解答题 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)结合图象直接回答：不等式解集是 ． 20．在平面直角坐标系中，为原点，点，点， (1)连接，若把线段绕点逆时针旋转，则得线段，请在图①中用无刻度的直尺和圆规作出点A的对应点（不写作法，保留作图痕迹），直接写出点的坐标； (2)若把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点分别为，如图②，求点和点的坐标； (3)在（2）的条件下，边上的一点旋转后的对应点为，求的最小值． 21．首个水乡冠军城市泰州，素有“早上皮包水，晚上水包皮”的生活习俗，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点了一笼杂粮包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， (1)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃1个包子，馅恰好是1个肉馅1个秧草馅的概率． (2)甲、乙两人各吃2个包子，且馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率为______． 22．睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校学生健康成长中心的工作人员，随机选取部分学生开展了一次问卷调查活动，并根据调查结果制成以下尚不完整的统计图： 调查问卷 你每天的睡眠时长大约（   ） A．少于 B．（含不含) C．(含不含) D．不少于 (1)在这次调查中，一共抽取了_______名学生； (2)补全条形统计图，并写出_______； (3)若该校共有2000名学生，估计该校每天睡眠时长少于的学生有多少名？ 23．某商店分别花元和元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多千克． (1)该商品的进价是多少？ (2)已知该商品每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系式为：．若想销售该商品每天获利元，该商店需将商品的售价定为多少？ 24．在中，，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接交于点E，过点作交于点． ①若，求的长； ②若为的中点，则______． 25．在中，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点． (1)如图1，当点与点重合，时， ①_____ ②求证：； (2)如图2，当时，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，直接写出线段与的数量关系：_____．（不需要说明理由） 26．已知：在平面直角坐标系中中，线段，为直线外的一点，定义点与线段的亲密距离为，请你解决下列问题： (1)点、，点与线段的亲密距离为_____； (2)线段在直线：上，直线与关于原点对称，若点在直线上，直接写出的取值范围：_____； (3)若点、点在轴上，点在以2为半径的上，求的取值范围及取最大值时点的坐标． 27．如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 28．主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足． (1)【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____． (2)【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长． (3)【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年江苏无锡宜兴市九年级数学中考第一次模拟测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C D A B D A C 1．B 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的加减法．计算出，求出零件合格的质量区间，据此逐项判断即可． 【详解】解：， ∴当零件质量介于克克之间为合格， 故选：B． 2．D 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ． 3．A 【详解】解：A.该图形是轴对称图形，符合题意； B. 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C. 该图形不是轴对称图形，不符合题意； D. 该图形不是轴对称图形，不符合题意． 4．C 【分析】分别利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故选项A错误； B．和不是同类项，不能合并，故选项B错误； C．，故选项C正确； D．，故选项D错误． 5．D 【分析】本题考查了事件类型和概率意义的理解，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、自然现象中，“太阳从东方升起”是必然事件，故该选项不符合题意； B、成语“水中捞月”所描述的事件是不可能事件，故该选项不符合题意； C、“我市明天降雨的概率为”，表示我市明天很大概率是降雨，但不是一定降雨，故该选项不符合题意； D、小陈夺冠的概率是，表示小陈夺冠的可能性很大，故该选项符合题意； 故选：D 6．A 【分析】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 7．B 【分析】本题主要考查列一元一次方程，根据题意准确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“五日三返”的条件，结合一次往返包括重车去和空车回的时间，即根据总时间相等列方程即可． 【详解】解：设太仓距上林里， ∵ 一次往返中，重车去的时间为天，空车回的时间为天， ∴ 一次往返的总时间为天， ∵ 5日完成3次往返， ∴ 可列方程：， 故选：B． 8．D 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，折线统计图，根据折线统计图以及中位数，平均数和众数的定义来判断A、B、C，根据方差与稳定性之间的关系可判断D． 【详解】解：A、由统计图可知，甲的中位数为8个，乙的中位数为8个，故甲的中位数与乙的中位数相同，原说法错误，不符合题意； B、由统计图可知，甲的众数是8个，原说法错误，不符合题意； C、甲的平均数为个，乙的平均数为个，故甲的平均数与乙的平均数相同，原说法错误，不符合题意； D、由统计图可知甲成绩的波动比乙成绩的波动小，故甲的成绩比乙的成绩稳定，原说法正确，符合题意； 故选：D． 9．A 【分析】由旋转的性质和为等腰三角形可得，为等腰直角三角形，则，使用勾股定理计算出．容易证明，则，代入数值计算即可． 【详解】解： 由旋转的性质可得，，，，， ∵为等腰三角形，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 10．C 【分析】由正切定义求出CE，延长GD交AB于点H，则BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米），证明△AHG∽△MNG，求出AH的长，则可求出答案． 【详解】解：在Rt△CDE中，tan∠DCE， ∴0.9， ∴CE＝2， 延长GD交AB于点H， 则BH＝DE＝1.8（米），DH＝BE＝BC+CE＝18（米），HG＝DH+DG＝26（米）， ∵∠AHG＝∠MNG＝90°，∠AGH＝∠MGN， ∴△AHG∽△MNG， ∴， 即， ∴AH＝19.5（米）， ∴AB＝AH+HB＝21.3（米）． 答：古塔的高度AB为21.3米． 故选：C． 【点睛】此题考查了解直角三角形应用﹣坡度坡角问题，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 11．扇形统计图 【分析】本题主要考查了扇形统计图，理解并掌握扇形统计图的特点是解题关键．扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系． 【详解】解：能够直接反映出统计数值所占的百分比的统计图是扇形统计图． 故答案为：扇形统计图． 12．② 【分析】本题考查近似数的精确度和科学记数法，需根据近似数的最后一位数字所在数位判断精确度，以及四舍五入规则和科学记数法表示． 根据科学记数法、近似数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：对于说法①，近似数3.5万表示35000，数字5在千位上，因此精确到千位，说法正确； 对于说法②，近似数3.5精确到十分位，而3.50精确到百分位，因此精确度不同，说法错误； 对于说法③，数495640精确到万位，千位数字是5，根据四舍五入规则，需进位，得到500000，用科学记数法表示为，说法正确． 故答案为：②． 13． 【分析】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式对余下的多项式继续分解． 【详解】解：． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图与扇形的关系，解题的关键是利用圆锥底面周长等于扇形弧长，结合勾股定理求出母线长． 先由弧长公式得底面半径与母线的关系，再结合勾股定理求母线长，最后计算侧面积． 【详解】解：设圆锥母线长为，底面半径为， 由底面周长等于扇形弧长得：，化简得， 结合勾股定理，代入得：， 解得，则． 圆锥侧面积为． 故答案为：． 15．17 【分析】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形为正方形，再根据勾股定理求出的长，就可得到． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得到，， ∴, ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 设， ∵， ∴， 在正方形中，， 在中， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 16． 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向和二次函数的性质，将函数值的大小关系转化为点到对称轴的距离大小关系，列不等式求解即可． 【详解】对于二次函数， ， ∴抛物线开口向上， 抛物线对称轴为直线， ∵点的横坐标为2，即点C在对称轴上， 是二次函数的最小值，满足，， 由，根据开口向上的二次函数性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，可得： ， 整理得 ， 两边平方得：， 展开得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴m的取值范围是． 17． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用二次函数的性质求最值，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，具体的关键是正确掌握利用二次函数的性质求最值． 过点作于点，过点作交延长线于点，证明，然后求出，则，设，则，再解得到，由得到，则，那么，再由二次函数的性质求解最值即可． 【详解】解：过点作于点，过点作交延长线于点， 由题意得，， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，面积取得最大值为， 故答案为：． 18． 【分析】以为边作等边，连接交轴于点，连接，过作轴于，由“”可证，得，所以点在过点所作的的垂线上运动，当时，最小，再求出，的长，从而求得点的坐标． 【详解】解：以为边作等边，连接交轴于点，连接，过作轴于，如图： ，都是等边三角形， ，，， ，即 在和中， ， ， ，则点在过点所作的的垂线上运动， 当时，最小， 在和中， ， ∴， ∴，则， ，则 ∵点的坐标为， ∴， ， 当时， ∵， ∴， ， 又∵，则 ， ，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，作出合适的辅助线，通过证明三角形全等得到点C的运动轨迹是解题的关键． 19．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3)或 【分析】（1）先根据可求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法即可得一次函数的解析式； （2）设与轴交于点，根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）由函数与不等式的关系，根据一次函数图象在反比例图象下方，可得答案． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：， 则反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ， 将点，代入得：， 解得， 则一次函数的解析式为． （2）解：如图， 设与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由图象可知：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴的解集，即一次函数的图象在反比例函数的图象上方时x的取值范围， ∴由图可知不等式的解集是或． 20．(1)图见解析， (2)， (3) 【分析】（1）根据做垂线的作法进行作图，过点作轴于点，证明，得出相等的边，然后进行求解即可； （2）过点作轴，过点作于点，过点作于点，根据旋转的性质以及锐角三角函数进行求相关线段的长度，即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接,，过点作于点，过点作于点，根据旋转以及轴对称的性质得出相等的线段，得出当且仅当点共线时，时，取得最小值，最后利用锐角三角函数进行求解． 【详解】（1）解：点即为所求， 如图所示，过点作轴于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵轴，， ∴轴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即； （3）解：如图所示， 作点关于轴的对称点，连接,，过点作于点， 过点作于点， ∴， ∴， 根据旋转得，， 由轴对称可得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当且仅当点共线时，时，取得最小值， 即取得最小值， 此时，为的长度， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查了运用树状图法或列表法解决概率问题，准确地理解题意是解题的关键． （1）两个肉馅包子分别用，表示，两个秧草馅包子分别用，表示，作出树状图，得到一共有12种等可能的结果，其中符合题意的有8种，运用概率公式求得甲、乙两人各吃1个包子，馅恰好是1个肉馅1个秧草馅的概率为； （2）两个肉馅包子分别用，表示，两个秧草馅包子分别用，表示，作出树状图，得到一共有6种等可能的结果，其中符合题意的有4种，运用概率公式求得甲、乙两人各吃2个包子，且馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率为． 【详解】（1）解：两个肉馅包子分别用，表示，两个秧草馅包子分别用，表示，作出树状图如下所示： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人各吃1个包子，馅恰好是1个肉馅1个秧草馅的情况有8种， ∴甲、乙两人各吃1个包子，馅恰好是1个肉馅1个秧草馅的概率； （2）解：两个肉馅包子分别用，表示，两个秧草馅包子分别用，表示，作出树状图如下所示： 共有6种等可能的结果，其中甲、乙两人各吃2个包子，且馅均为1个肉馅1个秧草馅的情况有4种， ∴甲、乙两人各吃2个包子，且馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 22．(1) (2)补全条形统计图见解析， (3)该校每天睡眠时长少于的学生约为200名． 【分析】（1）先根据C组的人数和占比求出总人数； （2）根据B组的人数除以总人数进而可求出m的值，补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：（名）， 则一共抽取了40名学生； （2）解：B组的人数为：（名）， ， 则； 补全条形图如下： （3）解：（人） 答：该校每天睡眠时长少于的学生约为200名． 23．(1)该商品的进价是元 (2)该商店需将商品的售价定为元或元 【分析】（1）设该商品的进价是元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）根据题意得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该商品的进价是元， 根据题意得 即， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意． 答：该商品的进价是元． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：该商店需将商品的售价定为元或元 24．(1)见详解 (2)见详解 (3)①② 【分析】（1）按要求补图即可； （2）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可得证； （3）①解直角三角形得，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，在证明即可求解； ②由相似三角形的性质得，，解得， ，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：过点作于点， ， 由旋转得，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图， ①， ， 设，， ， 解得， ，， ， ， 解得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得； ②如图， 由①得，， ，， ， 是的中点， ， ， 解得， ， ， ， 由（2）得，， ， ， ， ． 【点睛】熟练利用相似三角形的判定及性质，解直角三角形进行求解是解题的关键． 25．(1)①；②见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）①根据题意，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的定义求解即可； ②延长交延长线于点，可得为等腰三角形，则，再通过证明，即可求证； （2）过点作交于点，交延长线于点，按照（1）中的步骤求解即可； （3）过点作交于点，交延长线于点，利用正切函数的定义求得，证明，据此求解即可． 【详解】（1）①解：∵，， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴； ②证明：延长交延长线于点，如图所示， 由题意可得：平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：，证明如下： 过点作交于点，交延长线于点，如图所示： ∵，， ∴， 则，，即平分， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，平分，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：，证明如下： 过点作交于点，交延长线于点，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 同理，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 26．(1) (2) (3)d的取值范围为，点M的坐标为或． 【分析】（1）先根据勾股定理分别计算点O到A，点O到B的距离和，比较和的大小，再根据亲密距离的定义，得出点O与线段的亲密距离； （2）先根据关于原点对称的直线的规律，求出直线的解析式，又因为线段在直线：上，点M在直线上，根据“垂线段最短”故点M到的最短距离就是两条平行线与之间的距离，并由此确定d的取值范围； （3）先用勾股定理求出点B的坐标，再根据点M在以2为半径的上，得．结合或的长度，分析或的最大值和最小值；最后根据亲密距离的定义，确定d的取值范围，再找出d取最大值时点M的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， 由题意得点与线段的亲密距离为； （2）解：∵直线：，直线与关于原点对称， ∴直线的解析式为， ∴直线与为一组平行线， ∵线段在直线：上，点在直线上， ∴当或垂直于时，d有最小值，为两平行线的距离(两条平行线之间的距离是点到直线的距离的最小值，即垂线段最短， 设与x轴，y轴分别交于点E，C，与x轴交于点F，过F作于D， ∴，，， ∴，，， 由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴d的最小值为， ∴d的取值范围为； （3）解：∵，，点B在y轴上， ∴设，根据勾股定理，得，则， ∴或， 又∵点M在以2为半径的上， ∴； 由图知，当点M在或的延长线上时，d最小，最小值为； 当点M在中垂线上时，d最大，设垂足为D， ∵为等腰直角三角形， ∴M、O、D三点共线， ∴， ∴， 最大值为； ∴d的取值范围为， ∴当，d取最大值时，点M的坐标为或当，d取最大值时，点M的坐标为． 27．(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．求得面积的最大值即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1） 解：二次函数的图像经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点； （2）解：对称轴为直线，点，轴， ， ，， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时 ，为最大值， 四边形面积的最大值为； （3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或， 理由：①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ． 过点作轴于点， 设，则， ∵， ， ． ， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，．连接， 过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， 设，则， ∵， ∴， ， ． ∴，． 综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 28．(1) (2) (3) 【分析】（1）【常规探究】延长至G，使，连接，可证得，从而，，进而证得，从而，进一步得出结果； （2）【变式思考】延长，交的延长线于W，作于V，可得出，从而得出的值及，可证得，从而得出，根据勾股定理等知识求得，可证得，根据得出的值，进而得出的值，进一步得出结果； （3）【拓展应用】可判断当点E在的延长线上，点F在上时，存在最大值，作，交于G，作于W，则，，可证得，从而，从而得出，作的外接圆O，作于，交于，当G点在处时，最大，进一步得出结果 【详解】（1）解：【常规探究】如图1，，理由如下： 延长至G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：【变式思考】如图2， 延长，交的延长线于W，作于V， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，G是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：【拓展应用】如图3， 当点E在的延长线上，点F在上时，存在最大值， ， 作，交于G，作于W，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆O，作于，交于， 当点在处时，最大， 由得， ∴，，， ∴， ∴， ∴最大值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $