精品解析：福州江南水都中学2025-2026学年九年级下学期数学周练04

2025-2026学年福州江南水都中学九下数学周练04 客观题 1. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）为，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 无法确定 4. 每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 收入（点） 15 21 27 27 21 30 21 A. 27点，21点 B. 21点，27点 C. 21点，21点 D. 24点，21点 5. 随着国产3A游戏《黑神话：悟空》的爆火，山西隰县小西天旅游景区成为众多游客的打卡胜地国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的2倍少300人，则代数式“”表示的意义是（　　） A. 第一天比第二天多预约的人数 B. 第二天比第一天多预约的人数 C. 两天网络一共预约的人数 D. 第二天网络预约的人数 6. 已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 填空题（仅错误的打×） 7. 如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是________． 8. 已知，，则代数式的值是_______． 9. 如图，点是线段的中点，点在线段上，若，，则_____． 10. 水车是一种古老的提水灌溉工具，主要由圆形主体和支架组成．如图，圆形主体可绕着轴心旋转，且被辐条（如、等）等分成8份，支架固定不动，．在水车旋转过程中，被支架挡住，若测得，则的度数为___________． 11. 如图，过四边形的顶点A，C，D的圆，分别交于点E，若，，则的度数为______ 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作OC与直线BD相切，点P是圆C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是_______． 主观题 13. （1）计算：； （2）解不等式组，并求其整数解． 14. 如图，已知点，分别在，上，，求证． 15. 如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S． 16. 孙明和王军两人去桃园游玩，返回时打算顺便买些新鲜油桃．此时桃园仅三箱油桃，价钱相同，但质量略有区别，分为级、级、级，其中级最好，级最差．挑选时，三箱油桃不同时拿出，只能一箱一箱的看，也不告知该箱的质量等级． 两人采取了不同的选择方案： 孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱． 王军是先观察再确定，他不买第一箱油桃，而是仔细观察第一箱油桃的状况；如果第二箱油桃的质量比第一箱好，他就买第二箱油桃，如果第二箱的油桃不比第一箱好，他就买第三箱． （1）三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ （2）孙明与王军，谁买到级的可能性大？为什么？ 17. 已知二次函数，其中a，b为常数． （1）当，时，求该函数的顶点坐标． （2）当，对称轴在之间时，函数的最小值为． ①求二次函数解析式； ②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年福州江南水都中学九下数学周练04 客观题 1. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法逐项计算即可． 【详解】解：A.=2，故不符合题意； B.=a5，故不符合题意； C.= ，故符合题意； D. =a10，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握的运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 2. 已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断． 【详解】解：∵ ∵开口向上，对称轴为x=1， ∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质． 3. 如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）为，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由三角形外角的性质求出，再由平行线的性质得到 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 4. 每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 收入（点） 15 21 27 27 21 30 21 A. 27点，21点 B. 21点，27点 C. 21点，21点 D. 24点，21点 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数与众数定义即可求解． 【详解】解：将下列数据从小到大排序为15，21，21，21，27，27，30， 根据中位数定义，7个点数位于位置上的点数是21点， ∴这组数据的中位数是21点， 根据众数的定义，这组数据中重复次数最多的点数是21 点， 所以这组数据的众数是21点， 故选择C． 【点睛】本题考查中位数与众数，掌握中位数与众数定义是解题关键． 5. 随着国产3A游戏《黑神话：悟空》的爆火，山西隰县小西天旅游景区成为众多游客的打卡胜地国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的2倍少300人，则代数式“”表示的意义是（　　） A. 第一天比第二天多预约的人数 B. 第二天比第一天多预约的人数 C. 两天网络一共预约的人数 D. 第二天网络预约的人数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式的意义，整式的加减，根据题意，得到第二天网络预约游客人，从而确定，即可得到答案，读懂题意，准确用代数式表示相关数量是解决问题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客人，第二天网络预约的游客人数比第一天的2倍少300人， 第二天网络预约游客人， ， 代数式“”表示的意义是“第二天比第一天多预约的人数”， 故选：B． 6. 已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴为，根据和关于对称，分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，点关于对称， ①当时，则点关于对称轴对称， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴， ∴， ∴； ③当时，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：； 故选A． 填空题（仅错误的打×） 7. 如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率．直接根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：∵当蚂蚁走到第一岔路口选择右侧岔路口的概率为，当蚂蚁走到第二个岔路口选择左侧岔路口的概率为， ∴它获得食物的概率是． 故答案为：． 8. 已知，，则代数式的值是_______． 【答案】-6 【解析】 【分析】首先提公因式xy，再代入计算即可． 【详解】解：x2y-xy2=xy（x-y）=3×（-2）=-6， 故答案为：-6． 【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握确定公因式的方法． 9. 如图，点是线段的中点，点在线段上，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段中点的性质及线段的和差运算，先根据线段中点的性质求出和的长度，再结合求出的长度，最后通过线段的差计算出的长度． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴； 又∵， ∴； ∴； 故答案为：． 10. 水车是一种古老的提水灌溉工具，主要由圆形主体和支架组成．如图，圆形主体可绕着轴心旋转，且被辐条（如、等）等分成8份，支架固定不动，．在水车旋转过程中，被支架挡住，若测得，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角度的和差计算，根据已知可得，进而求得，然后根据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 11. 如图，过四边形的顶点A，C，D的圆，分别交于点E，若，，则的度数为______ 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆圆周角定理是解题的关键． 连接，根据圆内接四边形的性质求出，再根据三角形的外角性质计算求出，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， 是的外角，， ， 的度数为：， 故答案为：． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作OC与直线BD相切，点P是圆C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是_______． 【答案】3. 【解析】 【分析】先判断出最大时，BE最大，再用相似三角形的性质求出BG，HG，CH，进而判断出HM最大时，BE最大，而点M在⊙C上时，HM最大，即可HP'，即可得出结论． 【详解】解：如图， 过点P作PE∥BD交AB的延长线于E， ∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB， ∴BE最大时，最大， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， 过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G， ∵BD是⊙C的切线， ∴∠GME＝90°， 在Rt△BCD中，BD＝=5， ∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC， ∴△BHC∽△BCD， ∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA， ∴△BHG∽△BAD， 在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝， 而BE＝GE﹣BG＝GE， ∴GE最大时，BE最大， ∴GM最大时，BE最大， ∵GM＝HG+HM＝+HM， 即：HM最大时，BE最大， 延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝， ∴GP'＝HP'+HG＝， 过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F， ∴BE最大时，点E落在点F处， 即：BE最大＝BF， 在Rt△GP'F中，FG＝， ∴BF＝FG﹣BG＝8， ∴最大值为1+＝3， 故答案为3． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的性质，构造出相似三角形是解本题的关键． 主观题 13. （1）计算：； （2）解不等式组，并求其整数解． 【答案】（1）2；（2）不等式组的解集为；整数解 【解析】 【分析】本题考查了实数的计算以及求不等式组整数解的相关知识，掌握特殊锐角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，开平方的相关知识及正确解不等式组是解题的关键． （1）根据特殊锐角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，开平方的相关知识先化简，再进行实数的加减运算； （2）先分别求出不等式①，②的解集，即可求出不等式组的解集，再求其整数解． 【详解】解：原式 ； 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为． 14. 如图，已知点，分别在，上，，求证． 【答案】 证明：在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．由，，，根据“”证明，则． 【详解】略 15. 如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S． 【答案】 （1）证明：∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点， ∴Rt△ABD中，DE=AB=AE， Rt△ACD中，DF=AC=AF， 又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点， ∴AE=AF， ∴AE=AF=DE=DF， ∴四边形AEDF是菱形. （2）． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线是斜边一半，求得DE=AE=AF=DF，所以AEDF是菱形； （2）由（1）得，AEDF是菱形，求得菱形对角线乘积的一半，求面积． 【详解】解：（1）略 （2）如图，∵菱形AEDF的周长为12， ∴AE=3， 设EF=x，AD=y，则x+y=7， ∴x2+2xy+y2=49，① ∵AD⊥EF于O， ∴Rt△AOE中，AO2+EO2=AE2， ∴（y）2+（x）2=32， 即x2+y2=36，② 把②代入①，可得2xy=13， ∴xy=， ∴菱形AEDF的面积S=xy= ． 16. 孙明和王军两人去桃园游玩，返回时打算顺便买些新鲜油桃．此时桃园仅三箱油桃，价钱相同，但质量略有区别，分为级、级、级，其中级最好，级最差．挑选时，三箱油桃不同时拿出，只能一箱一箱的看，也不告知该箱的质量等级． 两人采取了不同的选择方案： 孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱． 王军是先观察再确定，他不买第一箱油桃，而是仔细观察第一箱油桃的状况；如果第二箱油桃的质量比第一箱好，他就买第二箱油桃，如果第二箱的油桃不比第一箱好，他就买第三箱． （1）三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ （2）孙明与王军，谁买到级的可能性大？为什么？ 【答案】 解：（1）共有六种情况： ； ． （2）孙明买到的情况有两种：，因此孙明买到概率为， 王军买到的情况有三种：， 因此王军买到概率为． ，因此，王军买到的可能性大． 【解析】 【分析】（1）根据三箱油桃质量不同，根据拿出的顺序不同，列举出所有可能，共有6种可能， （2）根据（1）中所求，求得相应的可能性，比较即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．乙的概率需要仔细认真的计算．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17. 已知二次函数，其中a，b为常数． （1）当，时，求该函数的顶点坐标． （2）当，对称轴在之间时，函数的最小值为． ①求二次函数解析式； ②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值． 【答案】（1）该函数的顶点坐标为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把，代入中求出二次函数解析式，再化为顶点式即可求解； （2）①把代入中，得，得对称轴为直线，且此时，则可得，再结合对称轴在之间，即可求出a的值，即可求解； ②由题意可得点B，C的纵坐标均为t，设B的横坐标为，C的横坐标为，由对称性求得，再利用点B为线段的中点，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入中， 得， 所以该函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①把代入中， 得， 所以对称轴为直线， 把代入中，得， ∵函数的最小值为，且二次项系数， ∴， 解得， 又因为对称轴在之间， 即 则， 故， ∴二次函数解析式为； ②由①知， ∴对称轴为直线， ∵点在y轴上，过点作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴点B，C的纵坐标均为t， 设B的横坐标为，C的横坐标为， ∵B，C关于直线对称， ∴， ∴， ∵点B为线段的中点， ∴，即， ∴， ∴， 将代入， 得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $