第8章 四边形 尺规作图 专项训练2025-2026学年苏科版数学八年级下册

第八章 四边形 第八章 四边形 知识点10 尺规作图 尺规作图（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在矩形ABCD中，AC为矩形的一条对角线． （1）请用直尺和圆规完成以下作图： 分别在BC、AD上取点P、Q，使PA=PC，QA=QC．（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接AP、CQ，请证明四边形APCQ是菱形； （3）在（2）的条件下，当AC=10，AB=6时，求四边形APCQ的周长．4．如图1，两个正方形ABCD和CEFG共 2.如图，△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC． （1）请用无刻度的直尺和圆规分别在AB，AC上取点E，F，使得DE∥AC，DF∥AB．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形AEDF是菱形． 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出对角线 AC 的垂直平分线MN（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若（1）中所作的垂直平分线MN交AD于点E，交BC于点F，交AC于点O，连接AF，CE判断四边形AFCE的形状，并说明理由． 第八章 四边形 尺规作图（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在▱ABCD中， （1）请用无刻度的直尺和圆规在边AD上找一点E，使EC平分∠BED，并加以说明． （2）在（1）的条件下，若BC=，AB=1，添加条件AE= 时，▱ABCD为矩形．并说明理由． 2.如图，在矩形ABCD中（AD＞AB）． （1）仅用直尺和圆规在矩形ABCD的边AD上找一点E，使EB平分∠AEC；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，CE-2AE=6，DC=6，求AE的长． 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°． （1）求作点D，使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BD，若AB=3，BC=1，求BD的长． 4.如图，在．△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点． （1）尺规作图：过点A作直线AP‖BC；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若DE的延长线与直线AP交于点F，求证：DF=AB． 第八章 四边形 尺规作图（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试猜想（1）中得到的四边形CDBF的形状并证明． 2.如图，在△ABC中，点O为AC的中点，过点O作直线l∥BC． （1）利用圆规和无刻度直尺，在直线l上确定点E，F，连接AE、EC、CF、FA，使得四边形AECF为矩形，并证明；（保留作图痕迹，不用写作图步骤） （2）添加△ABC满足的一个条件，使得（1）中的矩形为正方形，并证明． 3.如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=12，E为BC上的一个定点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AFE，连接DF，恰好满足AF=DF． （1）用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点E的位置，保留作图痕迹； （2）求BE的长度． 第八章 四边形 无刻度直尺作图（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，请你用无刻度的直尺，在CD边上画出点F，使四边形AECF为平行四边形，并说明理由． 2.（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边AD上找点F，使DF=BE． （2）如图2，四边形ABCD是菱形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边DC上找点M，使DM=BE． 3.如图，正方形EFGH放置在矩形ABCD上，且EF=2AE=2DF，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，画出EF的中点M； （2）在图2中，画出EH的中点N． 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图（1），点E在AB边上，在CD边上找一点F，使得EF平分▱ABCD的周长； （2）如图（2），在▱ABCD中挖去一个矩形，作一条直线MN平分剩下图形的面积． 第八章 四边形 无刻度直尺作图（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图 （1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点； （2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点． 2.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD边上的一点． （1）如图1，①请只用无刻度的直尺在AD边上确定一点F，使得BF=DE（保留痕迹，不写作法）； ②依据你的作图，证明：DF=BE． （2）如图2，若E是BC边中点，请只用无刻度的直尺作线段FG，使得FG∥BD，分别交AD、AB于点F、点G（保留痕迹，不写作法）． 3.如图，已知四边形ABCD为矩形，△ACE为等边三角形，且A、D、E三点在同一直线上，请你用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）如图1，作∠AEC的角平分线； （2）如图2，作直线l垂直平分AB． 4.根据要求作图． （1）如图1，平行四边形ABCD，点E，F分别在边AD，BC上，且AE=CF，连接EF．请你只用无刻度直尺画出线段EF的中点O． （2）如图2，平行四边形ABCD，点E在边AB上，请你只用无刻度直尺在边CD上找一点F，使得四边形AECF为平行四边形．（保留画图痕迹，不必说明理由）． 第八章 四边形 网格作图（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.按要求作图： （1）如图1，在▱ABCD中，M为BC上一点，且CM=CD，仅用无刻度的直尺作出∠ABC的平分线； （2）如图2，是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．点D为线段AC的中点，仅用无刻度的直尺在线段AB上作点F，连结DF，使． 2.在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，保留作图痕迹． （1）在图1中，以AB为对角线画一个面积为6的平行四边形； （2）在图2中，过点A作AD⊥BC，垂足为D，以AD、BD为邻边作矩形ADBE． 3.图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中作面积为4的四边形ABCD，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上； （2）在图②中作面积为5的四边形ABEF，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． 第八章 四边形 网格作图（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，其中C、D两点为格点． （1）在图①中，正方形ABCD； （2）在图②中，等腰三角形ABC面积为2.5； （3）在图③中，矩形ABCD面积为4，连接BD，过A作三角形ABD的高线AE（保留作图痕迹）． 2.如图是由小正方形组成的7×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）在图1中画一条线段，使它平分四边形ABCD的面积； （2）在图2的边CD上画点E，使∠ABE=45°． 3.图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． （1）请在图①中，在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形且面积为10； （2）请在图②中，在格点处确定一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且其周长为16；设此平行四边形对角线的交点为O，请直接写出DO的长． 尺规作图（一）参考答案 （1）解：作AC的垂直平分线交BC于点P，交AD于点Q，连接AP，CQ， 根据线段垂直平分线的性质得：PA=PC，QA=QC， ∴点P，Q为所求作的点，如图1所示： （2）证明：设PQ与AC相交于点O，如图2所示： ∵PQ是AC的垂直平分线， ∴PA=PC，QA=QC，OA=OC，∠AOQ=∠COP=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥BC， ∴∠OAQ=∠OCP， 在△OAQ和△OCP中， ， ∴△OAQ≌△OCP（ASA）， ∴QA=PC， ∴PA=PC=QA=QC， ∴四边形APCQ是菱形； （3）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， ∴△ABC和△ABP都是直角三角形， 在Rt△ABC中，AB=6，AC=10， 由勾股定理得：BC==8， ∵在（2）的条件下， ∴四边形APCQ是菱形， ∴设PA=PC=QA=QC=a, ∴四边形APCQ的周长为：4a,BP=BC-PC=8-a, 在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2=AB2+BP2， ∴a2=62+（8-a）2， 解得：a=， ∴4a=25， ∴四边形APCQ的周长为25． 2.（1）解：如图，点E，F即为所求作； （2）证明：由（1）知 DE∥AF，AE∥DF， ∴四边形AEDF为平行四边形． 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵DE∥AF， ∴∠EDA=∠DAC． ∴∠EAD=∠EDA． ∴AE=DE． ∴平行四边形AEDF为菱形． 3.解：（1）作法：1．分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧交于点M、N； 2．作直线MN， 直线MN就是所求的对角线AC的垂直平分线． （2）①四边形AFCE是菱形， 理由：∵AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F， ∴AE=CE，AF=CF，EF⊥AC， ∴∠AEF=∠CEF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEF=∠CFE， ∴∠CEF=∠CFE， ∴CE=CF， ∴AE=CE=AF=CF， ∴四边形AFCE是菱形． 尺规作图（二）参考答案 1.解：（1）如图，点E为所作； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC=∠BCE， ∵BE=BC， ∴∠BEC=∠BCE， ∴∠DEC=∠BEC， 即EC平分∠BED； （2）当AE=2时，▱ABCD为矩形， 理由：由（1）知BE=BC=， ∵AB2+AE2=1+4=5=（）2=BE2， ∴∠A=90°， ∴▱ABCD为矩形， 故答案为：2． 2.解：（1）点E即为所求作的点； （2）设AE=x, ∵CE-2AE=6， ∴CE=2x+6， 由（1）知：BC=CE=2x+6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=2x+6， ∴DE=AD-AE=x+6， ∵CE2=DE2+CD2， ∴（2x+6）2=（x+6）2+62， ∴x=2（舍去负值）． ∴AE=2． 3.解：（1）如图所示： 四边形ABCD就是所求作的矩形． （2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=1， ∴AC==， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=． 4.（1）解：如图，AP为所作； （2）证明：∵D，E分别是BC，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∵AF∥BC， ∴四边形ABDF为平行四边形， ∴DF=AB． 尺规作图（三）参考答案 1.解：（1）如图，∠ECM即为所求． （2）四边形CDBF是菱形． 证明：∵∠ECM=∠A， ∴CM∥AB， ∵BE∥DC， ∴四边形CDBF是平行四边形． ∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线， ∴CD==BD， ∴四边形CDBF是菱形． 2.解：（1）以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点E、F，连接AE、EC、CF、AF，如图，四边形AECF为矩形，即为所求， ∵点O为AC的中点， ∴OA=OE=OC=OF==， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC=EF， ∴四边形AECF是矩形； （2）当△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形， ∵由（1）知，四边形AECF是矩形， ∵直线l∥BC， 当∠ACB=90°时，则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 3.解：（1）如图，点E即为所求． （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠BAM=∠AMN=90°， ∴四边形ABNM是矩形， ∴AB=MN=10，∠FNE=90°， ∵AF=AF=10，AM=DM=6， ∴MF==4， ∴FN=MN-MF=5-4=1， 设BE=EF=x,则有x2=12+（3-x）2， ∴x=， ∴BE=． 无刻度直尺作图（一）参考答案 1.解：连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F； 则四边形AECF为平行四边形；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OA=OC， ∴∠EAO=∠FCO， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（ASA）， ∴AE=CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形． 2.解：（1）如图1，点F就是所求的点．       （2）如图2，点M为所求的点． 3.（1）如图所示： （2）如图所示： 4.解：（1）如图1中，点F即为所求； （2）如图2中，直线MN即为所求． 无刻度直尺作图（二）参考答案 1.解：（1）如图点F即为所求； （2）如图点G即为所求； 2.（1）①解：使得BF=DE的点F，如图1即为所求； ②证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OD=OB， ∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO， 在△DFO和△BEO中， ， ∴△DFO≌△BEO（AAS）， ∴DF=BE； （2）解：如图2，连接EO，交AD于点F，连接BF，交AC于点H，连接DH，并延长交AB于点G，连接GF，则线段FG就是所求的线段． ∵E为BC的中点， ∴， 根据解析（1）可得：BE=DF， ∴， ∵▱ABCD中AD=BC，BO=DO， ∴， ∴F为AD的中点， ∵O为BD的中点， ∴AO、BF为△ABD的中线， ∵三角形三条中线交于一点， ∴DG为△ABD的中线， ∴GF为△ABD的中位线， ∴GF∥BD． 3.解：（1）如图1，点O为所求， （2）如图，点F即为所求， 4.解：（1）如图1，射线EM即为所求： （2）如图2，直线l即为所求： 网格作图（一）参考答案 1.解：（1）如图1中，射线BT即为所求； （2）如图2中，点F即为所求． 2.解：（1）据平行四边形的判定及题目要求作图，如图，四边形ALBF即为所求； ∵AL=BF=2，AL∥BF， ∴四边形ALBF是平行四边形， ∵▱ALBF的高为3， ∴S▱ALBF=2×3=6； （2）如图，取格点G、M、N，连接AG，交BC于D，连接BM，AN，交于点E， AD，矩形ADBE即为所求； 理由：取格点H，K， ∵∠AHG=∠BKC=90°，GH=KC，AH=BK， ∴△AHG≌△BKC， ∴∠HAG=∠KBC， ∵∠HAG+∠AGH=90°， ∴∠KBC+∠AGH=90°， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC； 同理可证明∠MAN=∠HAG，∠AEB=90°， ∴∠MAN+∠HAN=∠HAG+∠HAN=∠NAG=90°， ∴四边形ADBE是矩形． 3.解：（1）在图①中作面积为4的四边形ABCD，如图所示． （2）在图②中作面积为5的四边形ABEF，如图所示． 网格作图（二）参考答案 1.（1）如图，正方形ABCD即为所求； （2）如图，等腰三角形ABC即为所求； ， （3）如图，矩形ABCD，高线AE即为所求． 2.（1）做一条过O的线段即可； （2）点E即为所求． 3.解：（1）如图①所示： △ABD为等腰三角形，且面积为10； （2）如图②所示： 四边形ABCD是平行四边形，且周长为16，DO= 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $