8.4.1平面（第1课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

长沙市明达中学 高一数学 8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1 平面 必修第二册 高一数学组 新课标 人教版 高中数学 1 学习目标 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法. 2.掌握关于平面的基本性质的三个基本事实和三个推论.(重点) 3.共面问题的判断与证明.(重点) 4.会用数学语言规范地表达空间点、直线、平面之间的位置关系.(难点) 情景引入——平面的概念及画法 生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等. 几何里所说的“平面(plane)”就是从这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的. 无限延展 不计大小 绝对的平 平面的特征 不计厚薄 黑板面 课桌面 平静的水面 新知探究——平面的概念及画法 我们也可以画出平面的一部分来表示平面，即平行四边形表示平面． 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向． A B C D 　　我们常用希腊文字α、β、γ等表示平面．如平面α，平面β等并将它们写在代表平面的平行四边形的一个内角内； 也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母表示如图1也可以表示为平面ABCD，平面AC或平面BD 平面的画法和表示 相交平面示意图 立体几何画图或作辅助线的原则—— 看得见的画成实线，看不见的画成虚线.即眼见为实，眼不见为虚. 新知探究——平面的概念及画法 【练习】判断下列各题的说法正确与否 1.一个平面长4米，宽2米； ( ) 2.平面上一条直线可以把这个平面分成两部分； ( ) 3.10个平面叠在一起要比一个平面厚； ( ) 4.菱形的面积可以等于4cm 2； ( ) 5.一个平面可以把空间分成两部分. ( ) √ × × √ √ 概念辨析——平面的概念及画法 文字语言 符号语言 图形语言 通过元素与集合、集合与集合之间的关系，分别用文字语言、符号语音、图形语言来描述，点A，直线l，m、平面α的位置关系． 新知探究——点、直线、平面之间的位置关系 文字语言 符号语言 图形语言 新知探究——点、直线、平面之间的位置关系 在生活中，我们常常可以看到这样的现象：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以"站稳"，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机.由这些事实和类似经验，可以得到下面的基本事实： 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． “不共线三点确定一个平面” 不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”． A B C α 应用——确定平面；判定两平面是否重合；证明点线共面 新知探究——平面的基本性质 如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上.上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实： A B α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实2也可以用符号表示为 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ⇒ l⊂α． 应用——判断直线是否在平面内；判断点是否在平面内 新知探究——平面的基本性质 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． l P 　　基本事实3说明：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线．两个平面相交成一条直线的事实，可以让我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”． 基本事实3也可以用符号表示为 P∈α，且P∈β ⇒ α∩β=l，且P∈l． 应用——判断直线是否在平面内；判断点是否在平面内. 新知探究——平面的基本性质 利用基本事实1和2再结合“两点确定一条直线”，可得到下面三个推论： 推论一 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． a 【证明】如图，设点A是直线a外一点，在直线a上任取两点B、C， 则由基本事实1，经过A、B、C三点确定一个平面α． 再由基本事实2，直线a也在平面α内， 因此平面α经过直线a和点A．即一条直线和这条直线外一点确定一个平． 新知探究——平面的基本性质 利用基本事实1和2再结合“两点确定一条直线”，可得到下面三个推论： 推论二 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 【证明】如图，设点A、B分别是直线a、b上异于P的点， 则由基本事实1，经过A、B、P三点确定一个平面α． 再由基本事实2，直线a和直线b也在平面α内， 因此平面α经过直线a和直线b．即两条相交直线确定一个平面． 新知探究——平面的基本性质 利用基本事实1和2再结合“两点确定一条直线”，可得到下面三个推论： 推论三 经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【证明】因为当两条直线在同一个平面内，且不相交时叫做平行线，所以两条平行直线a和b必在某个平面α内，就是说过两条平行直线有一个平面.如果过a和b还有一个平面β，那么在a上的任意一点A一定在β内这样过点A和直线b有两个平面α和β，这和推论1矛盾，所以过平行直线a和b的平面只有一个．即两平行线确定一个平面． 新知探究——平面的基本性质 例1　(多选)下列说法正确的是 A.平面是处处平的面 B.平面是无限延展的 C.平面的形状是平行四边形 D.一个平面的厚度可以是0.001 cm √ √ 平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，A，B两种说法是正确的； C，D两种说法是错误的. 典例辨析 (4)在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些，如图所示. (1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)； (2)“平面”无厚薄之分； (3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据； 反思感悟 16 跟踪训练1　下列说法正确的是 A.平行四边形是一个平面 B.任何一个平面图形都是一个平面 C.平静的太平洋海面就是一个平面 D.一个平面可以将空间分成两部分 √ 跟踪训练 A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的； B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的； C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面； D正确，平面是无限延展的，它可以将空间分成两部分. 例2　把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上. (1)A∉α，a⊂α：____； (2)α∩β＝a，P∉α且P∉β：____； (3)a⊄α，a∩α＝A：____； (4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：____. C D A B 典例辨析 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. 反思感悟 跟踪训练2　用符号和图形表示下列语句： (1)若A，B两点既在平面α内，又在平面β内，则直线AB是平面α与平面β的交线； 若A，B两点既在平面α内，又在平面β内， 则直线AB是平面α与平面β的交线， 符号表示为：A∈α，B∈α，A∈β，B∈β， 则α∩β＝AB. 图形表示如图①. 跟踪训练 (2)两条相交直线a和b都在平面α内； 两条相交直线a和b都在平面α内， 符号表示为：a∩b＝P，a⊂α，b⊂α. 图形表示如图②. 跟踪训练 (3)直线a在平面α内，直线b在平面α外，a与b相交于一点M. 直线a在平面α内，直线b在平面α外，a与b相交于一点M， 符号表示为：a⊂α，b⊄α，a∩b＝M. 图形表示如图③. 跟踪训练 例3　已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面. ∵b∥c，∴不妨设b，c共面于平面α， 设a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈a，B∈a，A∈b，B∈c， 又b⊂α，∴A∈α，同理B∈α，∴a⊂α， ∴直线a，b，c共面. 典例辨析 延伸探究　在本例中，若直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，又该如何证明直线a，b，c，l共面？ 典例辨析 如图所示. ∵a∥b，∴a，b可确定一个平面α. 又l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. ∴AB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α. 又b∥c，∴b，c可确定一个平面β.同理l⊂β. ∵平面α，β均经过直线b，l，且b和l是两条相交直线， ∴l与b确定的平面是唯一的，平面α和β重合. ∴直线a，b，c，l共面. 典例辨析 证明多线共面的两种方法 (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内. 反思感悟 跟踪训练3　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 跟踪训练 方法一　(纳入法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α. 又B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内. 方法二　(重合法) ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内. ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 1.知识清单： (1)平面的概念. (2)基本事实及应用. (3)点、线共面问题. 2.方法归纳：纳入法、重合法. 3.常见误区：三种语言的相互转换. 31 课堂小结 1.知识清单： (1)平面的概念. (2)基本事实及应用. (3)点、线共面问题. 2.方法归纳：纳入法、重合法. 3.常见误区：三种语言的相互转换. 课后作业 （1）分层作业 （2）预习教材8.4.2 1.在空间中，下列结论正确的是 A.三角形确定一个平面 B.四边形确定一个平面 C.一个点和一条直线确定一个平面 D.三点确定一个平面 √ 空间四边形不能确定一个平面，因此B错误； 若点在直线上，则有无数个平面，因此C错误； 若三点共线，则有无数个平面，因此D错误. 1 2 3 4 2.下列图形中，满足α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB的图形是 √ 对于A，不满足条件a⊂α，a∥AB，b∥AB； 对于B，不满足条件b⊂β，b∥AB； 对于C，满足题中所有条件； 对于D，不满足条件a∥AB，b∥AB. 1 2 3 4 3.若点A在直线b上，直线b在平面β内，则点A、直线b、平面β之间的关系可以记作 A.A∈b，b∈β B.A∈b，b⊂β C.A⊂b，b⊂β D.A⊂b，b∈β √ 1 2 3 4 根据空间中，表示位置关系的符号语言，选项B正确. 4.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1. (1)AC∩BD＝____； O AC，BD同在平面ABCD中，交于点O. 1 2 3 4 (2)平面AB1∩平面A1C1＝_______； A1B1 平面AB1与平面A1C1相交，交线为A1B1. 1 2 3 4 (3)A1B1∩B1B∩B1C1＝_____. B1 A1B1，B1B，B1C1三条直线交于一点B1. $