精品解析：江苏靖江市滨江学校2025-2026学年八年级下学期阶段学情自测数学试题

八年级数学2026.3 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．） 1. 若使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≠0 B. x≠2 C. x=0 D. x=2 2. 用提公因式法因式分解多项式： ，其中的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的对角线，相交于点，且，，则的周长是（ ） A. 44 B. 27 C. 34 D. 17 4. 的对角线，相交于点O，以下说法正确的是（ ） A. 若，则菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是正方形 5. 某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种株，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，对角线与交于点O，点E，F分别为边，的中点，点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合），且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形可能为矩形 B. 四边形的面积不变 C. 的度数不变 D. 线段有最大值 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 7. 若分式的值为0，则x的值为_______． 8. 在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有______个． 9. 分式，的最简公分母是_______． 10. 知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是____________． 11. 已知（其中，），则表示分式是__________． 12. 关于的方程的解是非正数，则的取值范围是______． 13. 中，、长分别为12和24，边与之间的距离为5，则与间的距离为_______． 14. 如图，矩形中，对角线相交于点O， E在上，，，则_________． 15. 如图，中，若点E是中点，点F在边上，连接，，且．若，，，则 的长为_______． 16. 如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式与计算 （1） （2） （3） （4） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 分式化简求值：，其中x为满足的整数 20. 如图，点是菱形的对角线和的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若，，求的长． 21. 已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 22. 定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如： 我们称 是 的“3差分式”． 解答下列问题： （1）分式是分式的“ 差分式”． （2）分式是分式的“2差分式”． ① （含x的代数式表示）； ②若A的值为正整数，x为正整数，求x的值． 23. 小明学习了四边形的知识后，利用折叠对四边形与直角三角形的关系进行了探究． 如图，有一张直角三角形纸片，记作，，现将该三角形纸片按要求折叠：先将纸片沿过点A 的直线翻折，使边落在边上，折痕交 于点D，然后将纸片展开摊平；重新将纸片翻折，使点A 与点D重合，其折痕交、于点E、F． （1）请利用直尺和圆规作出两次的折痕和． （2）连接、，求证：四边形是菱形． （3）若，，求菱形的周长． 24. 某市民计划从某商场购买“马年拍马屁”钥匙挂件和伴手礼套装送给家人作为新春礼物．已知一套伴手礼的售价比一个钥匙挂件的售价贵28元，且用500元购买钥匙挂件的数量正好是用600元购进伴手礼套装数量的2倍． （1）求一个钥匙挂件和一套伴手礼的售价分别为多少元？ （2）该市民要购买两种礼物共20件，且购买钥匙挂件和伴手礼套装的总费用不超过540元，如果该钥匙挂件的进价为每个15元，伴手礼套装的进价为每套35元，在满足该市民购买要求的情况下，哪种购买方案能使商场获得最大利润？ 25. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． （1）如图①，①直接写出点坐标 ；②求直线的解析式； （2）如图②，连接，动点从出发，沿折线以个单位/秒的速度向终点匀速运动，设点 的运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 26. 问题情境：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为M．那么与相等吗？ （1）直接判断∶______（填“”或“”）； 在“问题情境”基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点E在边上，且，垂足为H，当H在正方形对角线上时，连接，将沿着翻折，点H落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学2026.3 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．） 1. 若使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≠0 B. x≠2 C. x=0 D. x=2 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案． 【详解】∵分式有意义，∴x的取值范围是：x﹣2≠0，解得：x≠2． 故选B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题的关键． 2. 用提公因式法因式分解多项式： ，其中的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解-提公因式法，找出各项的公因式是解本题的关键． 根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母并且取相同字母的最低指数次幂，即可得到答案． 【详解】 ， 故选：D． 3. 如图，的对角线，相交于点，且，，则的周长是（ ） A. 44 B. 27 C. 34 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，AB=CD=10，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO，AB=CD=10， ∵AC+BD=34， ∴CO+DO=17， ∴△OCD的周长=OC+OD+CD=27， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线的性质是解题的关键． 4. 的对角线，相交于点O，以下说法正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理对各选项逐一判断即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则，． 对A选项，若，则，故是矩形，不一定是菱形，本选项错误； 对B选项，若，则，即平行四边形对角线相等，故是矩形，本选项正确； 对C选项，若，则是菱形，不一定是正方形，本选项错误； 对D选项，若，则是矩形，不一定是正方形，本选项错误． 5. 某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种株，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设原计划每小时种x株，实际每小时比原计划多种20株，根据提前1小时完成任务．列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设原计划每小时种x株，则实际每小时种株， 根据题意得， 故选：D． 6. 如图，在正方形中，对角线与交于点O，点E，F分别为边，的中点，点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合），且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形可能为矩形 B. 四边形的面积不变 C. 的度数不变 D. 线段有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】连接，先证得四边形为矩形，为等腰直角三角形，故可得到的度数发生改变，当为中点时，有最小值，无最大值，故说法错误；再假设四边形可能为矩形，则有，，证得，进而可得到，与矛盾，故说法错误；过点作于点，过点作于点，表示出四边形的面积，进而可进行判断． 【详解】解：连接， ∵在正方形中，对角线与交于点O， ∴，，，，， ∵点E，F分别为边，的中点， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴经过点，， ∴为等腰直角三角形， ∵点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合）， ∴的度数发生改变，当为中点时，有最小值，无最大值，故说法错误， 若四边形可能为矩形，则有，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即为中点， ∴，即， ∴，故矛盾，故四边形不可能为矩形，故说法错误； 过点作于点，过点作于点， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故四边形的面积不变，说法正确． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 7. 若分式的值为0，则x的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，可得分子等于0，且分母不等于0，求解后舍去使分母为零的解，即可得到的值． 【详解】解：由题意得：，且． 因式分解得． 解得或． 由得． 因此． 8. 在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对题干给出的图形逐一判断即可得到结果． 【详解】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 综上，符合条件的图形共有个． 9. 分式，的最简公分母是_______． 【答案】 【解析】 【分析】按照找最简公分母的方法步骤进行即可． 【详解】分式，的最简公分母是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了找最简公分母，熟知找最简公分母的步骤是解题的关键． 10. 知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是____________． 【答案】-6 【解析】 【分析】将原式提取公因式进行因式分解，然后代入求值． 【详解】解：x2y+xy2=xy（x+y）=-3×2=-6 故答案为：-6． 【点睛】本题考查提取公因式进行因式分解，掌握提取公因式的技巧正确计算是解题关键． 11. 已知（其中，），则表示的分式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等式的性质表示，再根据分式的除法运算法则化简计算即可得到的表达式． 【详解】解：由， 根据等式的性质，得， ∴， 解得． 12. 关于的方程的解是非正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法和利用分式方程的解的情况列式是解题的关键．先解方程得方程的解，再根据分式方程的解是非正数，以及分母不为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴， 得， ∵解非正数， ∴， ∴， 得， ∴m的取值范围是且． 故答案为：且． 13. 中，、长分别为12和24，边与之间距离为5，则与间的距离为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的面积公式计算即可求解． 【详解】如图，过点作于点、于点，则， 由平行四边形的面积公式底高，可得， 解得． 14. 如图，矩形中，对角线相交于点O， E在上，，，则_________． 【答案】##54度 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即， ， ， ． 15. 如图，中，若点E是中点，点F在边上，连接，，且．若，，，则 的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点G，连接，在中，，，则，根据，得出，证明，则，证明，在中，求出，在中，勾股定理求出，即可得． 【详解】解：延长交的延长线于点G，连接， 在中，，， ， ∵， ∴， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ． 16. 如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为_______． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，然后根据四边形是平行四边形的性质，接下来根据当时，最短，即最短，再说明，可求出,即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 根据勾股定理，得． ∵四边形是平行四边形， ∴． 则最短也就是最短，当时，最短，即最短， ∵， ∴， ∴， 即， 解得, ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式与计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，分式的乘除混合运算，同分母分式减法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用公式法进行因式分解，即可作答． （2）先运用完全平方公式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （3）先运算乘方，把除法化为乘法，再化简，即可作答． （4）结合同分母分式减法法则计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 去分母得， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 解得：， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原方程无解． 19. 分式化简求值：，其中x为满足的整数 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件求出x的值，代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵x为满足整数， ∴x只能取0， ∴把代入得：原式． 20. 如图，点是菱形的对角线和的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质，得，由，，先证四边形为平行四边形，结合，即可证出四边形是矩形； （2）由菱形的性质，得，，由勾股定理得，结合矩形的性质，得，可得出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形为菱形，、为角平分线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形． 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，， ∵， 由勾股定理得， ∵四边形为矩形， ∴， 故的长为． 21. 已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 22. 定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如： 我们称 是 的“3差分式”． 解答下列问题： （1）分式是分式的“ 差分式”． （2）分式是分式的“2差分式”． ① （含x的代数式表示）； ②若A的值为正整数，x为正整数，求x的值． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据，为正整数，即可解答． 【小问1详解】 解：， 所以分式是分式的“差分式”； 小问2详解】 解：， ， 解得； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 23. 小明学习了四边形的知识后，利用折叠对四边形与直角三角形的关系进行了探究． 如图，有一张直角三角形纸片，记作，，现将该三角形纸片按要求折叠：先将纸片沿过点A 的直线翻折，使边落在边上，折痕交 于点D，然后将纸片展开摊平；重新将纸片翻折，使点A 与点D重合，其折痕交、于点E、F． （1）请利用直尺和圆规作出两次的折痕和． （2）连接、，求证：四边形是菱形． （3）若，，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）折痕即为的角平分线，折痕即为折痕的垂直平分线，根据角平分线与垂直平分线的作法作图即可． （2）先根据角平分线的性质与垂直平分线的性质证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直即可证明． （3）设菱形的边长为x，则有，可得，再根据平行可得，再由勾股定理求解x的值即可，由此可求解周长． 【小问1详解】 解：以点A为圆心，任意长度为半径画弧，分别交，于点M，点N， 分别以点M，点N为圆心，大于线段一半的长度为半径画弧，两弧相交于点P， 连接，与的交点即为点D，折痕即为所求，如图： 分别以点A，点D为圆心，大于线段一半长度为半径画弧， 两弧相交于点G，点H，连接， 直线与的交点即为点E，与的交点即为点F， 连接，折痕即为所求，如图： 【小问2详解】 证明：连接、，如图： ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 解 ：设菱形的边长为x，则有， ∵， ∴， ∵，即， ∵， ∴， 在，由勾股定理可得， 即，解得， ∴菱形的边长为， ∴菱形的周长为． 24. 某市民计划从某商场购买“马年拍马屁”钥匙挂件和伴手礼套装送给家人作为新春礼物．已知一套伴手礼的售价比一个钥匙挂件的售价贵28元，且用500元购买钥匙挂件的数量正好是用600元购进伴手礼套装数量的2倍． （1）求一个钥匙挂件和一套伴手礼的售价分别为多少元？ （2）该市民要购买两种礼物共20件，且购买钥匙挂件和伴手礼套装的总费用不超过540元，如果该钥匙挂件的进价为每个15元，伴手礼套装的进价为每套35元，在满足该市民购买要求的情况下，哪种购买方案能使商场获得最大利润？ 【答案】（1）一个钥匙挂件的售价为20元，一套伴手礼的售价为48元 （2）当购买15个钥匙挂件，5套伴手礼套装时，商场才能获得最大利润 【解析】 【分析】（1）通过设未知数，利用“500元购买钥匙挂件的数量是600元购买伴手礼数量的2倍”的等量关系列分式方程求解； （2）先根据总费用不超过540元的限制列一元一次不等式求出自变量的取值范围，再表示出总利润，结合一次函数的性质得到利润最大时的购买方案． 【小问1详解】 解：设一个钥匙挂件的售价为元，则一套伴手礼的售价为元， 根据题意列方程得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时（元）， 答：一个钥匙挂件的售价为20元，一套伴手礼的售价为48元； 【小问2详解】 解：设购买钥匙挂件个，则购买伴手礼套装套，商场总利润为元， 根据总费用不超过540元，可得： ， 解得：， 由题意可知，为非负整数，且，即， ∴， 计算单个利润：每个钥匙挂件利润为（元）， 每套伴手礼利润为（元）， 因此总利润： ， ，  随的增大而减小， 当取最小值15时，取得最大值，此时， 答：当购买15个钥匙挂件，5套伴手礼套装时，商场才能获得最大利润． 25. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． （1）如图①，①直接写出点的坐标 ；②求直线的解析式； （2）如图②，连接，动点从出发，沿折线以个单位/秒的速度向终点匀速运动，设点 的运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】（1）①；②直线表达式为 （2）当的值为或时，的面积为 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得出的长度，即为菱形的边长，可得点坐标，结合点、的坐标，采用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先根据菱形的性质，证明，即，，由（1）中所求直线表达式得出点的坐标，对点位置进行分类讨论，分别由面积公式或求解出的值即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为， ∴，， 由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， 令直线表达式为， 将点、代入， 得，解得， ∴直线表达式为． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，， 对于直线． 当时，， ∴， 当点在上运动时， ，， ∴， 当时，即， 解得； 当点在上运动时， ，， ∴， 当时，即， 解得； 综上，当的值为或时，的面积为． 26. 问题情境：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为M．那么与相等吗？ （1）直接判断∶______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图3，点E在边上，且，垂足为H，当H在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点H落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）①四边形是正方形，理由见解析；② 【解析】 【分析】（）证明即可得出结论； （）过点作，证明，由此可得； （）如图， 连接，证明，所以，，由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； 作交的延长线于点，作于点，可证明，由此可得，易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则，作关于的对称点，则 ，可得， 求出的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：四边形是正方形，理由如下： 如图，连接， 由（）的结论可知，， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴四边形是菱形, ∵， ∴菱形是正方形； 如图，作交的延长线于点，作于点， ∴， 由上知四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点，则是等腰直角三角形， ∴， ∴当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $