精品解析：山东日照市东港区日照港中学2025-2026学年九年级下学期一模考试数学试卷

2025-2026学年度九年级第一次模拟 数学试题 （本卷满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 3. 下面计算正确的是（ ） A. a2•a3＝a6 B. (－2a2)3＝－8a6 C. a9÷a3＝a3 D. 2a2＋a2＝3a4 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方和幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一判断即可． 【详解】解：A．a2•a3=a5，故本选项不合题意； B．（-2a2）3=-8a6，故本选项符合题意； C．a9÷a3=a6，故本选项不合题意； D．2a2+a2=3a2，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积和幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 4. 如图所示，该几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从几何体正面看到的平面图形即可解答． 【详解】解：∵从几何体的正面看到的平面图形是一个长方形和侧面的长方形， 即主视图是两个长方形中间有一条实线的平面图形， 故选． 【点睛】本题考查了几何体主视图的概念，理解几何体的主视图的概念是解题的关键． 5. 一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出红球情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，两次摸出红球的有9种情况， ∴两次摸出红球的概率为. 故答案为D. 【点睛】本题考查列表法与树状图法． 6. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 7. 如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，进而利用等边三角形的判定与性质得出，过点作于点，先求出的度数，即可求出的长，勾股定理可求出的长，于是得出的长，再证，即可求出的值． 【详解】解：由图得，，， ， 是等边三角形， ，， 设菱形的边长为1， 则， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ，， ， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 8. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式， 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， 当时，在上， 菱形中，，， ∴，则是等边三角形， ∴， ∵， ∴，又 ∴ ∴ ∴， ∴ 当时，在上， ∴， 综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9. 已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 点A的坐标为 B. 直线的解析式为 C. 不等式的解集为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】去绝对值化简得当时，，，当时，，结合图象逐项判断即可求解． 【详解】解：当时，，令，则，解得：； 当时，，则； 当时，，令，则，解得； A、当时，，则，解得，则，故此项错误，不符合题意； B、当时，，即直线的解析式为，故此项正确，符合题意； C、不等式的解集为，故此项错误，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故此项错误，不符合题意． 10. 如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确． 【详解】∵中，，， ∴， 由作图知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，②正确； 设，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，③错误； 当时，， ∵， ∴, ∴，④正确 ∴正确的有①②④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y=_______． 【答案】﹣2y（x﹣4）2 【解析】 【详解】试题分析：根据提取公因式以及完全平方公式即可求出：原式=﹣2y（x2﹣8x+16）=﹣2y（x﹣4）2 故答案为﹣2y（x﹣4）2 考点：因式分解 12. 将函数的图像向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数平移的“上加下减”法则即可求解. 【详解】解：将的图像向上平移个单位后，所得直线的解析式为： ． 13. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 该方程有两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根的判别式， 即：， 计算得， 解得：， 实数的取值范围是且． 14. 若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分式方程无解，可得分式方程的增根，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴2x−1＝0， 解得x＝， 由得x−m＝3（2x−1）， ∴m＝−5x＋3， ∴m＝−5×＋3＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解，将分式方程的增根代入整式方程得出关于m的方程是解题关键． 15. 如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据菱形的性质，得到，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据菱形的面积公式对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积； 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，作交于点，根据勾股定理和三角形的面积公式求出，根据相似三角形的判定和性质得出，结合的值，可得出当取最大值时，取最小值，根据度的圆周角所对的弦是直径得出点在以的中点为圆心，的长为半径的半圆上，当点在弧上时，点，，共线，此时的值最大，根据相似三角形的判定和性质求出的最大值，求出；当点在弧上时，点与点重合，点与点重合，此时的值最大，求出，即可求解． 【详解】如图，作交于点，作交于点， 在中，， 在中，， 即， 解得． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是定值， 故当取最大值时，取最小值． ∵ ∴ ∴点在以的中点为圆心，的长为半径的半圆上， 当点在弧上时，点，，共线，此时的值最大，如图： ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 此时，即的最大值为， 故． 当点在弧上时，点与点重合，点与点重合，此时的值最大，如图： 即的最大值为， 故． 综上所述，的最小值是． 三、解答题：本题共7小题，共72分． 17. 计算和化简求值： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）分别计算负整数指数幂、特殊角三角函数值、零指数幂、二次根式、绝对值，再合并同类项得到结果． （2）先对括号内的分式通分计算，将除法转化为乘法约分化简，再代入a的值计算即可.． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 当时，原式． 18. 2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，组织七、八年级学生参加航空航天知识竞赛(百分制)．现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并进行整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70 八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89 【整理数据】 成绩 年级 七年级 2 a b 4 八年级 1 2 6 6 【描述数据】 七年级15名参赛选手成绩的频数分布直方图 【分析数据】 统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 c 87 92.13 八年级 86 87 d 79.73 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：_______，_______； （3）若将八年级15名参赛选手的成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是_____，本次竞赛成绩更整齐的是_____年级； （4）七年级共有750名学生参加此次竞赛，如果成绩不低于85分可以参加第二轮比赛，请估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 【答案】（1）见解析 （2）80；90 （3）48；八 （4）人 【解析】 【分析】（1）将七年级的数据进行整理，求出a，b的值，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）将乘以八年级成绩在这一组的比例，即可求出相应扇形的圆心角度数．根据方差的比较即可得到本次竞赛成绩更整齐的年级； （4）将750乘以样本中七年级的成绩不低于85分的比例即可解答． 【小问1详解】 解：将七年级的数据进行排序为：68，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87，92，94，94，98， 数据整理如下： 成绩 年级 七年级 2 5 4 4 八年级 1 2 6 6 即，， 补全频数分布直方图为： 【小问2详解】 解：对于七年级的成绩排序后，处于中间位置（第8个）的数据是80，故中位数是80， 所以． 对于八年级的成绩，出现次数最多的是90，故众数为90，所以． 【小问3详解】 解：八年级成绩在这一组的有2人，对应的扇形圆心角为． 由于八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，因此本次竞赛成绩更整齐的是八年级． 【小问4详解】 解：（人） 答：估计七年级能参加第二轮比赛的有350人． 19. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． （3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式的解集即可； （3）方法一、连接BE，作轴，先求解，可得直线AB的表达式为，由，可得，求解，可得，由，可得即可； 方法二、连接BF，作轴，先求解，结合，可得，可得，由，再设直线CD的表达式为，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：直线与双曲线交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ， ， 在双曲线上， ， ∴反比例函数的表达式为 ； 【小问2详解】 ∵， ∴不等式的解集为：或 ； 【小问3详解】 方法一：连接，作轴于G， 在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线CD的表达式为． 方法二： 连接BF，作轴于， 在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ∴设直线的表达式为， 在直线上， ， ， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键． 20. 一辆高空作业的工作示意图如右图所示，支撑点A距地面有，主臂与水平面的夹角，与的夹角，，，求吊篮的边沿点C到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点，过点B作于点，过点作于点G，反向延长射线交于点H，则，， 在中，求出，再求出，在中，求出 ，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点C作于点，过点B作于点，过点作于点G，反向延长射线交于点H，则，， 在中，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ． 即吊篮的边沿点C到地面的距离为． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，交的延长线于点恰好平分． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据勾股定理得到，延长交于H，根据平行四边形的性质得到，求得，根据垂径定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，的半径为， ∴， ∴， 延长交于H， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求该抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标； ②当时，求y的取值范围； （2）和是抛物线上的两点，若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】（1）①该抛物线与x轴交点坐标为，抛物线的顶点坐标为；②； （2）或． 【解析】 【分析】（1）①把解析式化为顶点式即可得到顶点坐标，将代入解析式可知与x轴交点坐标； ②根据二次函数的性质，进行求解即可； （2）先求出对称轴为直线，则在对称轴右侧，再分和两种情况，根据二次函数的增减性讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，抛物线解析式为， ∴此时抛物线的顶点坐标为， 当时，， 解得， 即该抛物线与x轴交点坐标为； ②当时，， 当时，， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点P在对称轴的右侧， 当时， ， ∵， ∴点Q在对称轴右侧， ∵此时在对称轴的右侧y随x的增大而减小，对于，都有， ∴， 解得：； 当时，抛物线的开口向上，距离抛物线的对称轴越远的点函数值越大， ∵对于，都有， ∴， 解得：； 综上，的取值范围是或． 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）仍然成立，理由见解析； （3）或 【解析】 【分析】延长交于点，根据矩形的性质和垂直的定义可证四边形是矩形，根据矩形的性质可知，根据直角三角形的性质可得； 由图可知，，从而可得：，由旋转可知，图中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，从而可证仍然成立； 当时，四边形是正方形，当点在线段上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得；当点在线段延长线上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 又， ， 故答案为：； 解：仍然成立， 理由如下， 由图可知，，， ， ， 由图可知，由旋转可得：， ， ， ， ， ， ；. 解：当时，四边形是正方形， 如图，当点在线段上时，连接、， 四边形和四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 如图，当点在线段延长线上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据矩形的性质判断三角形相似，再利用相似三角形的性质找到边之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级第一次模拟 数学试题 （本卷满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下面计算正确的是（ ） A. a2•a3＝a6 B. (－2a2)3＝－8a6 C. a9÷a3＝a3 D. 2a2＋a2＝3a4 4. 如图所示，该几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 点A的坐标为 B. 直线的解析式为 C. 不等式的解集为 D. 当时，y随x的增大而减小 10. 如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y=_______． 12. 将函数的图像向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式为_____． 13. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 14. 若关于的分式方程无解，则的值为______． 15. 如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是______． 16. 如图，在中，，，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________． 三、解答题：本题共7小题，共72分． 17. 计算和化简求值： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，组织七、八年级学生参加航空航天知识竞赛(百分制)．现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并进行整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70 八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89 【整理数据】 成绩 年级 七年级 2 a b 4 八年级 1 2 6 6 【描述数据】 七年级15名参赛选手成绩的频数分布直方图 【分析数据】 统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 c 87 92.13 八年级 86 87 d 79.73 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：_______，_______； （3）若将八年级15名参赛选手的成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是_____，本次竞赛成绩更整齐的是_____年级； （4）七年级共有750名学生参加此次竞赛，如果成绩不低于85分可以参加第二轮比赛，请估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 19. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． （3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 20. 一辆高空作业的工作示意图如右图所示，支撑点A距地面有，主臂与水平面的夹角，与的夹角，，，求吊篮的边沿点C到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 21. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，交的延长线于点恰好平分． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求该抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标； ②当时，求y的取值范围； （2）和是抛物线上的两点，若对于，都有，求a的取值范围． 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $