精品解析：山东省日照市东港区2024-2025学年下学期九年级一模试数学试题

2024—2025学年度下学期阶段检测 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 《哪吒之魔童闹海》自上映以来，已创造多项纪录，2025年2月17日，该电影总票房（含预售）突破120亿元，进入全球影史票房榜前10名．数据120亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，点在上，，点是的中点，且，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为 （元） 根据此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档． A. （1） B. （1）（2） C. （1）（3） D. （1）（2）（3） 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 因式分解：___________． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 13. “黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用半径不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的．如图，第五步是由半径分别为1，1，2，3，5厘米，圆心角是的弧线组成；则画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是________厘米． 14. 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为______米． 15. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：，，，因此8，16，24都是“登高数”，求不超过2024的所有“登高数”的和______． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值． 17. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 八年级 88 89 35% （1）填空：______；______，______； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 18. 如图所示，是小聪同学在一次数学兴趣小组活动中，用直尺和圆规对Rt△ACB（∠ACB=90°）进行了如下操作： ①作边AB的垂直平分线EF交AB于点O； ②作∠ACB平分线CM，CMEF相交于点D； ③连接AD，BD． 请你根据操作，观察图形解答下列问题： （1）△ABD的形状是______； （2）若DH⊥BC于点H，已知AC=6，BC=8，求BH的长． 19. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车停放在水平地面的实物图，图2是其简易示意图，其中，都与地面平行，、、在同一直线上． （1）已知，平分．求证：； （2）测得，点到地面的距离为．求点到地面的距离．（结果保留根号） 20. 项目式学习： 项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______． 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，则面积是______． 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 21. 如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求线段的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 22. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景探究翻折变化产生的几何问题．已知菱形中，对角线，将沿直线翻折得到，过点A作的平行线交射线于点，过点作的平行线交射线于点． （1）初步探究：如图1，勤思小组先分析了点恰好与点重合时的情形，他们发现此时点与点也重合．求此时的度数； （2）深入思考：如图2，敏学小组进一步探究点与点不重合的情形．他们在探究中提出如下问题．请你解答： ①如图2，当点在的延长线上时，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； ②在度数变化的过程中，连接，是否存在某一时刻，使四边形的面积是菱形面积的一半？若存在，请直接写出相应的的正切值；若不存在，说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数图象交点个数及对应的的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期阶段检测 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 《哪吒之魔童闹海》自上映以来，已创造多项纪录，2025年2月17日，该电影总票房（含预售）突破120亿元，进入全球影史票房榜前10名．数据120亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：亿， 故选：C． 3. 将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，平方差公式，单项式乘以单项式，积的乘方．据此相关运算法则进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 根据题意得到共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况， 恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是， 故选：A． 6. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，然后将解集在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， 所以不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示为：． 故选： B ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键，也考查了不等式组解集在数轴上的表示方法． 7. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 8. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，则 ； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到． 9. 如图，在四边形中，，点在上，，点是的中点，且，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，等边对等角的性质，掌握了以上知识是解答本题的关键． 延长交于点．证明，则；根据勾股定理，得；根据等边对等角，得，根据等角的余角相等，得，则，则，进而求得的长． 【详解】解：延长交于点，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 10. 某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为 （元） 根据此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档． A. （1） B. （1）（2） C. （1）（3） D. （1）（2）（3） 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，通过计算用电量为度和度时的电费，得到临界值元和元，从而判断各说法． 【详解】用电量度时，电费为元， 当时，用电量在第一档，故（1）正确； 用电量度时，电费为元， 当时，用电量在第二档，故（2）正确； 当时，用电量在第三档，故（3）正确； 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再根据平方差公式分解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系，掌握此关系是解题的关键．根据根的判别式，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，进行求解即可． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：， 是一元二次方程， ， 且． 故答案：且． 13. “黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用半径不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的．如图，第五步是由半径分别为1，1，2，3，5厘米，圆心角是的弧线组成；则画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是________厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形的弧长以及图形规律，先找出每一步的半径，再运用扇形弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵“黄金螺旋线”是半径大小不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的， 第一步中的扇形的半径是1厘米， ∴（厘米）， ∴它的弧线长是厘米； 结合图形，得第二步中所画的弧线长也是厘米； 第三步，半径是（厘米）， ∴第三步中所画的弧线长为（厘米）； 第四步，半径是（厘米）， ∴第四步中所画的弧线长为（厘米）； 第五步，半径（厘米）， ∴第五步中所画的弧线长为（厘米）； ∴画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是． 故答案为：． 14. 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为______米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正切函数的应用，平行线的性质，等腰三角形的三线合一性质，余角的性质，熟练掌握正切函数，等腰三角形的性质是解题的关键．过点E作于点I，利用三角函数得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质可得，最后勾股定理求得，即可． 【详解】解：过点E作于点I， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长为米，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：． 15. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：，，，因此8，16，24都是“登高数”，求不超过2024的所有“登高数”的和______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，因式分解的应用，设两个连续的正奇数为（n为正整数），求出，则任意的“登高数”一定是8的倍数，再根据可得不超过2024的所有“登高数”的和即为1到253的自然数之和的8倍，据此求解即可． 【详解】解：设两个连续的正奇数为（n为正整数）， ， ∵n为正整数， ∴为正整数， ∴任意的“登高数”一定是8的倍数， ∵， ∴不超过2024的所有“登高数”的和为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）1 （2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，再合并即可． （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， ， ， 当时，原式． 17. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 八年级 88 89 35% （1）填空：______；______，______； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】（1）87，89，40 （2）七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由见解析 （3）估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人． 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值； （2）根据表格中的数据，可以解答本题； （3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【小问1详解】 解：∵A，B两组人数共有人， ∴七年级抽取学生的竞赛成绩中位数为86与88的平均数， 由条形统计图可得：， 由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为， ∴， ， 故答案为：87，89，； 【小问2详解】 解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由： 由表格可知，七八年级的平均数相同，七年级学生对当前信息技术的了解的优秀率高于八年级学生对当前信息技术的了解的优秀率； 【小问3详解】 解：由题意可得， （人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人． 18. 如图所示，是小聪同学在一次数学兴趣小组活动中，用直尺和圆规对Rt△ACB（∠ACB=90°）进行了如下操作： ①作边AB的垂直平分线EF交AB于点O； ②作∠ACB的平分线CM，CMEF相交于点D； ③连接AD，BD． 请你根据操作，观察图形解答下列问题： （1）△ABD的形状是______； （2）若DH⊥BC于点H，已知AC=6，BC=8，求BH的长． 【答案】（1）△ABD的形状是：等腰直角三角形．（2）1 【解析】 【分析】（1）根据作图可知△ABD的形状是：等腰直角三角形． （2）过点D作DG⊥CA交CA的延长线于点G，证明四边形DHCG是正方形，Rt△ADG≌Rt△BDH（HL）即可解决问题． 【详解】解：（1）△ABD的形状是：等腰直角三角形．（理由见（2）中证明）． 故答案为等腰直角三角形． （2）过点D作DG⊥CA交CA的延长线于点G， ∵CM平分∠ACB，DH⊥BC， ∴DG=DH， ∵∠ACB=90°， ∴四边形DHCG是正方形， ∴CG=CH， ∵EF垂直平分AB ∴AD=BD 在Rt△ADG和Rt△BDH中， ， ∴Rt△ADG≌Rt△BDH（HL）， ∴AG=BH，∠ADG=∠BDH， ∴∠ADB=∠GDH=90°， ∴△ADB是等腰直角三角形， ∴BC-AC=（CH+BH）-（CG-AG）=2BH， ∴BH= ． 故答案为（1）△ABD的形状是：等腰直角三角形．（2）1． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，正方形的性质与判定，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 19. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车停放在水平地面的实物图，图2是其简易示意图，其中，都与地面平行，、、在同一直线上． （1）已知，平分．求证：； （2）测得，点到地面的距离为．求点到地面的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据等边对等角，三角形外角性质以及角平分线定义可得到，根据同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）先判定出是等边三角形，过点作于，根据勾股定理求出的长，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 ， 是等边三角形， 过点作于， 则， 地面，点到地面的距离为， 点到地面的距离为． 20. 项目式学习： 项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______． 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，则的面积是______． 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 【答案】（1）；（2）4.5；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数k的几何意义、矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答此题的关键． （1）先根据点B的坐标和矩形的性质，求得点，再把点代入，即可求解； （2）根据点B的坐标和矩形的性质，求得点D的纵坐标为4，代入求出横坐标，即可得出点，从而可求得，，然后利用，即可求解； （3）设，则，，根据求解即可； （4）设，则，，则，，根据求解即可． 【详解】解：（1）∵B的坐标是，，四边形是矩形， ∴， ∵E在上， ∴， ∴； （2）∵B的坐标是，，D在上， ∴D的纵坐标为4， ∵D在上， ∴D横坐标， ∴， ∴，， ∵B的坐标是， ∴， ∴ ； （3）∵，， 设，则，， ∴，， ∴； （4）设，则，， ∴，， ∴； 即． 21. 如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求线段的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，如图，根据垂径定理由为的中点，得到为的垂直平分线，所以，证明，得出，根据切线的判定定理得与相切； （2）设的半径为，则，，得出，解得，求出的长； （3）由扇形面积公式可得出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， 是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， , ， ∴； 小问3详解】 解：∵， ∴在中，， ∴． 22. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景探究翻折变化产生的几何问题．已知菱形中，对角线，将沿直线翻折得到，过点A作的平行线交射线于点，过点作的平行线交射线于点． （1）初步探究：如图1，勤思小组先分析了点恰好与点重合时的情形，他们发现此时点与点也重合．求此时的度数； （2）深入思考：如图2，敏学小组进一步探究点与点不重合的情形．他们在探究中提出如下问题．请你解答： ①如图2，当点在的延长线上时，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； ②在度数变化的过程中，连接，是否存在某一时刻，使四边形的面积是菱形面积的一半？若存在，请直接写出相应的的正切值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①，见解析；②存在，或1 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． （1）由折叠的性质可得，进而得到，再根据菱形的性质可得是等边三角形即可解答； （2）①先根据折叠的性质可得四边形是平行四边形，再证明可得，最后根据线段的和差及等量代换即可解答；②分点E在上和F在上两种情况，分别运用菱形的判定与性质、正方形的判定与性质以及正切的定义即可解答． 【小问1详解】 解：沿翻折得到， ． ，且与重合， ． 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形． ． 【小问2详解】 解：①，证明如下： 证明：沿直线翻折得到， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， ． ， ． ， ， ②如图：当点E在上时， 由题意可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵菱形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过F作交延长线于N，连接交于O，则， ∴， ∴， 又∵， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 如图：当F在上时，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图：作于N， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，即， ∴与O重合， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 综上，存在两种四边形面积是菱形面积的情形，此时的正切值为或1． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 【答案】（1）；（2）最大值为；最小值为－2；（3）①；②或时，与图象交点个数为1，时，与图象有2个交点． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解． （2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解． （3）①由求出取值范围， ②通过数形结合求解． 【详解】解：（1）将，点代入得： ， 解得， ∴． （2）∵， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线． ∴当时，取最小值为－2， ∵， ∴当时，取最大值． （3）①， 当时，，的长度随的增大而减小， 当时，，的长度随增大而增大， ∴满足题意， 解得． ②∵， ∴， 解得， 如图，当时，点在最低点，与图象有1交点， 增大过程中，，点与点在对称轴右侧，与图象只有1个交点， 直线关于抛物线对称轴直线对称后直线为， ∴时，与图象有2个交点， 当时，与图象有1个交点， 综上所述，或时，与图象交点个数为1，时，与图象有2个交点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解． 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