19.2 二次根式的乘法与除法课时提优练习2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.2 二次根式的乘法与除法 第 1 课时 二次根式的乘法 基础提优题 1.计算: 的值为 ( ) A. B. C. D. 2. [2025 阜阳期中] 若 为连续整数),则 的值分别为 ( ) A. 3,4 B. 4,5 C. 5,6 D. 6,7 3. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 6 和 24，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 5 B. C. 6 D. 4. 已知整数 满足 ,且还满足等式 ,则符合条件的所有整数 的和是 ( ) A. 14 B. 9 C. 5 D. 3 5. 若一个无理数 与 的积是一个有理数，写出 的一个值是_____. 6. 已知 ,那么 用含有 的式子可以表示为_____. 7. 若 ，则 _____. 8. 计算: (1) 陕西 ； (2) ； (3) - ； (4) × . 综合应用题 9. [2025 驻马店期中] 如图, 一只电子蚂蚁在数轴上爬行,爬到表示 的点处,则该点可能是下列点中的 ( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 如图，将1， ， 三个数按图中方式排列，若规定 表示第 排第 列的数， 则(5，4)与(51，30)表示的两个数的积是( ) ... 第4列 第3列 第2列 第1列 A. B. C. D. 1 11. 庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之一. 如图是庐山云雾茶的一种包装铁盒，若其内部底面半径为 ，深 ，则其容积为_____ (结果保留根号和 ). 12. 已知 为正整数，若 是整数，则根据 可知 有最小值 . 设 为正整数,若 是大于 1 的整数，则 的最小值为_____. 13. 古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式:如果一个三角形的三边长分别是 ,记 ，那么三角形的面积为 . 如图，在 中， ， ， ,则 边上的高为_____. 14. 观察与思考: ① ; ② ; ③ . 式 ① 验证: 式 ② 验证: 式 ③ 验证: (1)猜想 _____; (2)试用含 (n为自然数，且 )的等式表示这一规律，并加以证明. 创新拓展题 15. [2025 成都期末] 阅读材料:我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念, 同学们可以发现以下结果: 当 时, 当 ,即 时, 的最小值为 2 . 请利用以上结果解决下面的问题: (1)当 时， 的最小值为_____；当 时， 的最大值为_____； (2)当 时，求 的最小值； (3)如图，已知四边形 的对角线 ， 交于点 ，若 的面积为 2， 的面积为 3， 求四边形 面积的最小值. 第 2 课时 二次根式的除法 基础提优题 1. 下列各式计算正确的是 ( ) A. B. C. D. 2. 若 成立，则 的值可以是( ) A. -2 B. 0 C. 2 D. 3 3. 如果 ,那么下面各式: . ; ② ; ③ ，其中正确的是 ( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 4. 已知不等式 ，则这个不等式的解集为_____. 5. 诺诺是一名热爱数学和拼图的中学生，他有一个可以变形的益智拼图玩具，这个玩具可以将一个矩形变形为一个与它面积相等的三角形, 已知矩形的长、宽分别为 ,三角形的面积等于矩形的面积,若该三角形的一条边长为 ,则这条边上的高为_____. 6. 计算: (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 7. 先将 化简， 然后自选一个合适的 值,代入化简后的式子求值. 综合应用题 8. 若 ,且 ,则 的值为 ( ) A. B. C. D. 9. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 10. 对于任意两个和为正数的实数 , ,定义运算※如下: ※ ,例如3※1= . 那么 _____. 将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等. 类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角 线方向上的实数相乘的结果都相等,则 的值为_____. 5、2 5 10 12. 小明同学每次回家进入电梯间时, 总能看见提示 “高空抛物害人害己”. 为进一步研究高空抛物的危害, 小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间 (单位: ) 和下落高度 (单位: ) 近似满足公式 (不考虑风速的影响, 2.236) (1)已知小明家住 21 层，每层的高度近似为 ， 假如从小明家地面坠落一个物品，求该物品落地的时间. (结果保留根号) (2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要 64 J 的动能，高空抛物动能 (单位:J) 物体质量(单位: ) 下落高度(单位: )， 某质量为 的玩具在高空被抛出后,最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人? 创新拓展题 13. 新考法 阅读类比法 阅读下面的材料，解答问题: 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式. 例如: 与 与 . 这样,化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了. 例如: (1)请你写出 的有理化因式:_____； (2)请仿照上面给出的方法化简 ( 且 (3)已知 ，求 的值. 第 3 课时 最简二次根式 基础提优题 1. 下列二次根式① ; ② ; ③ ；④ ； ⑤ 中，最简二次根式的个数有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 将 化为最简二次根式,其结果是 A. B. C. D. 3. 已知 ，若 是最简二次根式，请写出一个符合条件的正整数 n:_____. 4. 设长方形的面积为 ,相邻的两边长分别为 , 若 ,则 _____. 5. 计算: (1) ； (2) - ； (3) ; (4) . 综合应用题 6. 若 ，把 化成最简二次根式为( ) A. B. C. D. 7. 已知两个最简二次根式 与 的被开方数相同,则 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若 是正整数， 是最简二次根式，则，函最小值为_____. 9. 式的式子相乘，如果它们的积不含二次根式，那么我们就说这两个式子互为有理化因式. 例如: ,请完成下列问题: (1) 的有理化因式是_____； (2)化简: _____； (3)比较 和 的大小. 19.2 二次根式的乘法与除法 第1课时 二次根式的乘法 1. D 2. C . 3. C 设两个正方形的边长是 ,则 阴影部分的面积为 4. C . 整数 的值为 -1, 符合条件的所有整数 的和是 . 5. (答案不唯一) 6. , . 7. -8 . 8.【解】(1)原式 . (2)原式 . (3)原式 . (4)原式 . 9. A 10. A 由题意可得,每三个数一循环,分别为 1 , . 第 1 排有 1 个数,第 2 排有 2 个数,第 3 排有 3 个数,...,第 排有 个数,且每一排的数是从右往左排列的. 前 4 排共有 (个)数, 第 5 排第 4 列的数是第 (个)数. , 表示的数是 前 50 排共有 (个)数, 第 51 排第 30 列的数是第 (个)数. , 表示的数是 与 表示的两个数的积是 . 11. 12. 2 , 是大于 1 的整数, 为正整数, 的最小值为 2 . 13. 14.【解】( 1 ) (2) ( 为自然数，且 ). 证明: 15.【解】( 1 ) (2)当 时, 当 ,即 时, 的最小值是 . (3)设 的面积为 ， ， . 四边形 的面积为 , 当 ,即 时,四边形 面积的最小值为 . 第2课时 二次根式的除法 1. B 2. B 成立, 解得 的值可以是 0 . 3. B . 4. 5. 6.【解】(1)原式 . (2)原式 . (3)原式 . (4)原式 . 7.【解】原式 . 当 时,原式 . (所取 值不唯一) 8. D ,且 . 故选 D. 9. D 原式 . 10. 11. ,解得 ,解得 ,解得 ; ,解得 12.【解】(1) 由题意可知 . 该物品落地的时间约为 . (2)该玩具最低的下落高度 ， . 最少经过约 3.5776 s 落地就可能会伤害到楼下的行人. 13.【解】(1) (答案不唯一) (2)原式 . (3) ， . 第 3 课时 最简二次根式 1. A 最简二次根式的两个特点: (1) 被开方数不含分母; (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2. D 3.1(答案不唯一)4. 5.【解】(1)原式 . (2)原式 (3)原式 . (4)原式 . 6. D 7. D 8.3 是正整数, 是最简二次根式, 为 1 时, 为 2 时, ,均不是最简二次根式, 为 3 时, ,此时是最简二次根式, 的最小值为 3 . 9.【解】( 1 ) (答案不唯一)( 2 ) ( 3 ) , . . 学科网（北京）股份有限公司 $