19.3 二次根式的加法与减法课时提优练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.3 二次根式的加法与减法 第 1 课时 二次根式的加减 基础提优题 1. [2025 绍兴期中] 二次根式: ; ④ 中，与 是可以合并的二次根式的是( ) A. ①和② B. ①和③ C. ②和④ D. ③和④ 2. 下列计算正确的是 ( ) A. B. C. D. 3. 已知二次根式 与 是可以合并的二次根式，则 的值可能是_____(只需写出一个). 4. 若 是有理数,且 , 则 _____， _____. 5. 二元一次方程组 的解是_____. 6. 母题教材 P14 练习 T2 计算: (1) ； (2) ； (3) . 7. 假期中，王强和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图(如图)，他们在 点登陆后先往东走 到 点，又往北走 ,遇到障碍后又往西走了 ,再折向北走了 ,往东一拐,再走 就找到了宝藏埋藏点 . 问:他们共走了多少千米? 综合应用题 8. [2025 邯郸模拟] 若 ,则表示实数 的点会落在如图所示的数轴的 ( ) A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 9. 如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为 ,宽为 的矩形,若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形, 则该圆的面积是 ( ) A. B. C. D. 10. 已知最简二次根式 与 可以合并，则 的值为_____. 11. 我们规定运算符号“ ”的意义是: 当 时, ; 当 时, ,其他运算符号的意义不变,计算: 小进准备完成题目“ 一 ”时，发现“ ”处的数印刷不清楚. (1)他把“■”处的数猜成 6，请你计算 - 的结果; (2)他妈妈说:“你猜错了，我看到该题的答案是 .” 通过计算说明原题中“■”处的数是多少. 13. 先阅读材料，再解答问题. 已知 都是有理数,且满足 - ,求 的值. 解: 由题意得 . 都是有理数, 也是有理数. 又 是无理数, . . 问题: 已知 都是有理数,且满足 ,求 的值. 创新拓展题 14. 新考法 数形结合法 如图，在数轴上有两个长方形 和 ，这两个长方形的宽都是 个单位长度，长方形 的长 是 个单位长度,长方形 的长 是 个单位长度,点 在数轴上表示的数是 ,且 两点之间的距离为 . (1)点 在数轴上表示的数是_____，点 在数轴上表示的数是_____； (2)若线段 的中点为 ，线段 上有一点 以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动， 以每秒 3 个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为 ，问当 为多少时,原点 恰为线段 的三等分点? 第 2 课时 二次根式的混合运算 基础提优题 1. 计算 的结果是 ( ) A. B. C. D. 2. 从“ +,一, ,÷”中选择一种运算符号,填入算式 “(√3+1)□”中的“□”内，使其运算结果为有理数, 则应选择的运算符号是 ( ) A. + B.- C. D. 3. 如图，数轴上表示的数可近似表示 的结果的是 ( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 4. 已知 ,则 与 的关系是( ) A. 互为相反数 B. 相等 C. 互为倒数 D. 互为负倒数 5. 计算: 6. 已知 ,则 化简的结果为_____. 7. 计算: (1) ； (2) ； 8. 先化简,再求值: ,其中 . 综合应用题 9. 若 ,则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 10. 设 ,则 之间的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 11. 已知 ,且 ,则正整数 的值为_____. 12. 数学课上,同学们对王老师写在黑板上的题很感兴趣，他们答案都不同，且众说纷纭. 题目如下: 化简: . ①小浩说:当 皆为正数时，化简结果为 ; ②小特说:当 皆为负数时, 化简结果为 ; ③小凌说:当 , 时,化简结果为 ; ④小斯 说: 当 时,化简结果为 以上同学的说法中正确的是_____. (填序号) 13. 已知 . (1) 求 的值； (2)若 为 的整数部分， 为 的小数部分，求 的值. 14. 如图，张大伯家有一块长方形空地 ，长方形空地的长 为 ， 宽 为 ，现要在空地中划出一块长方形地养鸡 (图中阴影部分)，其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为 ，宽为 . (1)长方形空地 的周长是多少？(结果化为最简二次根式) (2)若市场上某种蔬菜的价格为 8 元/kg，张大伯种植该种蔬菜,且每平方米可以产 的该种蔬菜. 如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完, 那么销售收入为多少元? 创新拓展题 15. [2025 北京海淀区期中] 小君想到了一种证明等式 成立的方法. 过程如下:设 ， ( ， )，则 ， 等号左边 ,等号右边 . . 等号右边 等号左边 等号右边. 等式 成立. (1)小艳利用同样的方法求出方程 的解. 她的想法是: 将一个无理方程转化为一个整式方程 (组), 再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解. 请你帮助小艳完成她的求解过程. 解: 设 , 则 _____， _____. 将原无理方程转化为用 表示的整式方程 (组), 并完成原无理方程的求解过程. (2)方程 的解为_____. 19.3 二次根式的加法与减法 第1课时 二次根式的加减 1. C 2. D 3.0 (答案不唯一) 4. 5. 6.【解】( 1 )原式 ( 2 )原式 . (3)原式 . 7.【解】 . 他们共走了 . 8. B ,即 2. 表示实数 的点会落在数轴的段②上，故选 B. 9. B 10. 2 由题意得 解得 11. 12.【解】(1)原式 (2)设原题中“■”处的数是 ， 则 , 即 . . . ,解得 . 原题中“ ”处的数是 . 13.【解】 , . 都是有理数, 也是有理数. 又 是无理数, ,解得 . 当 时, ; 当 时, . 综上, 的值是 8 或 0 . 14.【解】(1)13 ； (2)由题意知，线段 的中点为 ，则 表示的数为 ，线段 上有一点 ，且 ，则 表示的数为 . 以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动， 以每秒 3 个单位长度的速度向左运动， 经过 后， 点表示的数为 点表示的数为 , ① 当 时，则有 ， 解得 (经检验,不符合题意,舍去) 或 ; ② 当 时，则有 ， 解得 或 (经检验,不符合题意,舍去), 综上所述,当 或 时,原点 恰为线段 的三等分点. 第2课时 二次根式的混合运算 1. A 2. B 3. A 4. A 与 互为相反数. 5. 2) . 6. 由题意得 ,解得 , . . 7.【解】(1)原式 . (2)原式 . (3)原式 . 8.【解】原式 . 当 时,原式 9. B . 10. C . 故选 C. 11. 2 . 将 代入 ，得 1985，化简得 ， . 又 为正整数, 10,解得 . 12. ①③④ 当 皆为正数时,原式 ,故①正确. ②当 皆为负数时, 无意义,故②错误. ③当 时,原式 ,故③正确. 当 时,原式 ,故 ④ 正确. 综上，①③ ④正确. 13.【解】(1) , . . (2) 为 的整数部分， 为 的小数部分， ， . 14.【解】(1)长方形空地 的周长 (✓) (2)种植蔬菜部分的面积 (元). 因此，如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为 8160 元. 15.【解】(1) ； 易得 . . . 联立得 解得 . (2) . ,解得 . 经检验: 是原方程的解. 学科网（北京）股份有限公司 $