19.3二次根式的加法与减法(第1课时)同步练习2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.3 二次根式的加法与减法（第1课时）解析 二次根式的加法与减法法则： 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并. 合并的方法与合并同类项相同，所以化简后被开方数相同，即能够合并的二次根式又称为同类二次根式. 一．选择题（共12小题） 1．下列根式中，可以与进行合并的是（　　） A． B． C． D． 【分析】只有同类二次根式才能合并，即被开方数相同或能化简为相同被开方数． 【解答】解：，， 可以与进行合并的是，选项D符合题意． 故选：D． 2．下列二次根式，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先将所有二次根式化为最简二次根式，再判断被开方数是否相同，被开方数相同的二次根式为同类二次根式，能合并，反之则不能． 【解答】解：， A、，其最简形式被开方数为3，与的被开方数相同，能合并，故此选项不符合题意； B、，其最简形式被开方数为2，与的被开方数不同，不能合并，故此选项符合题意； C、的被开方数为3，与的被开方数相同，能合并，故此选项不符合题意； D、，其最简形式被开方数为3，与的被开方数相同，能合并，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、2与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与不是同类二次根式，不符合题意； C、2，与是同类二次根式，符合题意； D、a，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 4．若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【分析】两个最简二次根式能合并的条件是被开方数相同，因此需使8﹣3k＝2，求解k的值． 【解答】解：由条件可知8﹣3k＝2， 解得k＝2， 故选：C． 5．若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．6 D．﹣2 【分析】先化简，再根据被开方数相同的两个最简二次根式是同类二次根式得到9﹣3m＝3，解方程即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知，， ∴9﹣3m＝3， ∴m＝2． 故选：A． 6．下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加减法则计算判断即可． 【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、与不能合并，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、3与不能合并，故此选项不符合题意； 故选：C． 7．计算，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的减法计算法则求解即可． 【解答】解：原式． 故选：C． 8．若，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．15 【分析】根据加数＝和﹣另一个加数，列出算式求出，从而求出x即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴x＝3， 故选：B． 9．有下列算式：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．②④ B．①③ C．③④ D．①④ 【分析】根据二次根式的运算法则进行判断即可． 【解答】解：不是同类项，①计算错误； ，②计算正确； ，③计算错误； ，④计算正确， 故选：A． 10．已知整数x、y满足，那么能满足条件的整数x的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先化简，再根据等式分析计算即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∴当y＝0时，x＝50， 当y＝2时，x＝18， 当y＝8时，x＝2， 综上，满足条件的整数x有3个． 故选：D． 二．填空题（共17小题） 11．若与最简二次根式是同类二次根式，则a＝　5　 ． 【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：由题意得：a+2＝7， 解得：a＝5， 故答案为：5． 12．若与最简二次根式可以合并，则a的值是　﹣3　 ． 【分析】先把化为最简二次根式，再根据与最简二次根式可以合并可知的被开方数与化为最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【解答】解：由条件可知a+5＝2， ∴a＝﹣3， 故答案为：﹣3． 13．已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则xy的值为　　 ． 【分析】根据同类二次根式的定义列出方程组，解方程组求出x、y，再根据负整数指数幂计算即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 则xy＝2﹣1， 故答案为：． 14．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若a是正整数，则a的最小值为　5　 ． 【分析】由，且与是同类二次根式，则分23﹣a＝2时，23﹣a＝8时，23﹣a＝18时，23﹣a＝32时，进行讨论，然后求出a的值并检验即可． 【解答】解：∵， 又∵二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴23﹣a＝2时，解得a＝21； 23﹣a＝8时，解得a＝15； 23﹣a＝18时，解得a＝5； 23﹣a＝32时，解得a＝﹣9（不合题意，舍去）； ∴符合条件的正整数a的值为5，15，21， ∴a的最小值为5， 故答案为：5． 15．与最简二次根式是同类二次根式，则mn的平方根为　±　 ． 【分析】将化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义求得m，n的值，再将其代入mn中计算后求得它的平方根即可． 【解答】解：3， ∵它与最简二次根式是同类二次根式， ∴m+1＝3，n﹣1＝2， 解得：m＝2，n＝3， 则mn＝6，其平方根为±， 故答案为：±． 16．计算：　　 ． 【分析】先简化为，然后进行二次根式的减法计算即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 17．计算：　　 ． 【分析】先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式＝2 ． 故答案为：． 18．化简：　1　 ． 【分析】利用绝对值和二次根式的知识化简即可． 【解答】解：原式2+31， 故答案为：1． 19．化简：　　 ． 【分析】根据二次根式﹣a2b≥0，解得a＜0，b≤0，然后化简即可． 【解答】解：根据题意﹣a2b≥0，，a≠0， ∴a2b＜0， ∵a2＞0， ∴b≤0， ∴a＜0， ∴． 故答案为：． 20．定义运算“*”的运算法则为a*b＝2，则18*32＝　　 ． 【分析】根据新定义运算，利用二次根式的加减运算求解即可． 【解答】解：由题意得，， 故答案为：． 21．若实数a，b满足a+b＝6，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则关于6的“如意数”的是　　 ． 【分析】直接根据“如意数”的概念进行求解即可． 【解答】解：由条件可知与是关于6的“如意数”． 故答案为：． 22．a，b均为正整数，且满足，则的值为　4或　 ． 【分析】根据，得到与是同类二次根式，结合a，b均为正整数，进行求解即可． 【解答】解：∵， ∴与是同类二次根式， ∵， ∴a＝3，b＝12或a＝12，b＝3， ∴或； 故答案为：4或． 三．解答题（共11小题） 23．已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围； （2）已知是最简二次根式，且与可以合并，求x的值． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得x+1＝10，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）由条件可知x+1≥0， 解得：x≥﹣1； （2）， ∵最简二次根式与可以合并， ∴x+1＝10， 解得：x＝9． 24．计算：（1）2． （2）． （3）． （4）4 （5）103x． （6）． 【分析】先化简再合并同类二次根式即可． 解：（1）原式＝（2） ＝2． 解：（2）原式＝332 ＝45． 解：（3）原式 ＝14． 解：（4）原式＝647 ＝62 ． 解：（5）原式 ． 解：（6） ＝2a2a2•3a ＝2aa3a ． 25．若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求a的平方根； （2）对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“※”如下：x※y，如：3※2，请求a※[a※（﹣2）]的值． 【分析】（1）根据最简二次根式和同类二次根式得出2a﹣2＝﹣a+16，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出6※（﹣2），再根据新运算求出6※的值即可． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴2a﹣2＝﹣a+16， ∴a＝6． （1）∵a＝6， ∴a的平方根是±； （2）∵a＝6， ∴a※（﹣2）＝6※（﹣2）， ∴a※[a※（﹣2）]＝6※ ． 26．小贤和小明同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上的数． （1）如图1，若小贤摸到如下两个小球，请计算出结果； （2）如图2，若小贤摸出全部的球，计算结果为x，小明说x的值能与合并．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【分析】（1）根据二次根式的性质化简后，再合并同类二次根式即可； （2）求出x的值，再将化简后，判断是否是同类二次根式即可． 【解答】解：（1）由题意得： 232； （2）小明的说法正确，理由：由题意得， x22， ∵4， ∴x的值与是同类二次根式，可以合并运算． 27．给出一个新的数学概念：若，则a与b是关于1的平衡数．例如：，则称5与﹣3是关于1的平衡数．请仔细阅读上述材料，并解答问题． （1）与　　 是关于1的平衡数； （2）若，试判断n2+n与n﹣2是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【分析】（1）设这个数为x，根据题意得，然后解方程即可； （2）由题意可得，从而求解． 【解答】解：（1）∵，则a与b是关于1的平衡数， ∴设这个数为x， ∴， 解得：． 故答案为：； （2）n2+n与n﹣2是关于1的平衡数； 理由如下： 由题意可得， ∴n2+n与n﹣2是关于1的平衡数．有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/7 12:48:12；用户：宋海侠；邮箱：13256308196 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3 二次根式的加法与减法（第1课时） 二次根式的加法与减法法则： 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并. 合并的方法与合并同类项相同，所以化简后被开方数相同，即能够合并的二次根式又称为同类二次根式. 一．选择题（共12小题） 1．下列根式中，可以与进行合并的是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次根式，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 5．若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．6 D．﹣2 6．下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．计算，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 8．若，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．15 9．有下列算式：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．②④ B．①③ C．③④ D．①④ 10．已知整数x、y满足，那么能满足条件的整数x的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共17小题） 11．若与最简二次根式是同类二次根式，则a＝　 　 ． 12．若与最简二次根式可以合并，则a的值是　 　 ． 13．已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则xy的值为　 　 ． 14．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若a是正整数，则a的最小值为　 　 ． 15．与最简二次根式是同类二次根式，则mn的平方根为　 　 ． 16．计算：　 　 ． 17．计算：　 　 ． 18．化简：　 　 ． 19．化简：　 　 ． 20．定义运算“*”的运算法则为a*b＝2，则18*32＝　 　 ． 21．若实数a，b满足a+b＝6，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则关于6的“如意数”的是　 　 ． 22．a，b均为正整数，且满足，则的值为　 　 ． 三．解答题（共11小题） 23．已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围； （2）已知是最简二次根式，且与可以合并，求x的值． 24．计算：（1）2． （2）． （3）． （4）4 （5）103x． （6）． 25．若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求a的平方根； （2）对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“※”如下：x※y，如：3※2，请求a※[a※（﹣2）]的值． 26．小贤和小明同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上的数． （1）如图1，若小贤摸到如下两个小球，请计算出结果； （2）如图2，若小贤摸出全部的球，计算结果为x，小明说x的值能与合并．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 27．给出一个新的数学概念：若，则a与b是关于1的平衡数．例如：，则称5与﹣3是关于1的平衡数．请仔细阅读上述材料，并解答问题． （1）与　 　 是关于1的平衡数； （2）若，试判断n2+n与n﹣2是否是关于1的平衡数，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $