精品解析：甘肃白银市靖远县第四中学2025-2026学年高二下学期4月质量检测数学试题

2026年4月高二数学质量检测试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 3. 若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线平行，则l的方程为（ ） A. 4x－y－4＝0 B. x＋4y－5＝0 C. x－4y＋3＝0 D. 4x＋y＋4＝0 4. 已知函数，则的单调递增区间为（    ） A. B. C. D. 5. 设是函数的导函数，的图像如图所示，则的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. m>1 7. 已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中不正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 一定有两个极值点 D. 的单调递增区间是 11. 若函数在上单调递减，则实数a值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 13. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是__________．（填序号） ①是函数的极值点； ②是函数的最小值点； ③是函数的极小值点； ④在区间上单调递增； ⑤曲线在处的切线的斜率大于零． 14. 已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值． 16. 已知函数． （1）若函数的极大值点是，求的值； （2）若函数有一正一负两个极值点，求的取值范围． 17. （1）已知曲线在点处的切线方程为，求． （2）已知函数，过点作曲线的切线，求此切线的方程． 18. 若函数，当时，函数有极值． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的单调区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年4月高二数学质量检测试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 2. 若，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由求导得：， 则，解得，即， 所以. 故选：A 3. 若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线平行，则l的方程为（ ） A. 4x－y－4＝0 B. x＋4y－5＝0 C. x－4y＋3＝0 D. 4x＋y＋4＝0 【答案】D 【解析】 【分析】设切点为，则切线的斜率为，然后根据条件可得的值，然后可得答案. 【详解】设切点为，因为，所以切线的斜率为 因为曲线f (x)＝x2的一条切线l与直线平行，所以，即 所以l的方程为，即 故选：D 4. 已知函数，则的单调递增区间为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间． 【详解】由得：，即的定义域为； 因为， 所以当时，；当时，； 所以的单调递增区间为． 故选：A. 5. 设是函数的导函数，的图像如图所示，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案. 【详解】由函数的图像可知, 在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时, ;当x∈(0,2)时, . 因为可化为或，解得：0<x<2或x<0, 所以不等式的解集为. 故选:C 6. 若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. m>1 【答案】B 【解析】 【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可． 【分析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 故选：B. 7. 已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，利用导数有两个不等的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 因为函数存在三个单调区间，可得有两个不相等的实数根， 则满足，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：C. 8. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得出，可求得的值，可得出函数的解析式，并求得数列的通项公式，利用裂项相消法可求得的值. 【详解】，，由题意可知，得. ，， . 故选：C. 【点睛】本题考查裂项求和法，同时也考查了利用切线斜率求参数，考查计算能力，属于中等题. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中不正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可得结果. 【详解】，A错； ，B错； ，C对； ，D错； 故选：ABD 10. 已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 一定有两个极值点 D. 的单调递增区间是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据和可求得，代回解析式验证是否为极值点可知，满足题意，由此可得AB正误；根据极值点定义可知C正确；验证可知在不满足单调递增定义，知D错误. 【详解】，且在处取得极值， ，解得：或； 当，时，， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 是的极小值点，满足题意； 当，时，， 在上单调递增，不合题意； 综上所述：，； 对于AB，，A错误，B正确； 对于C，和分别为的极大值点和极小值点，C正确； 对于D，当，时，， ，， ，即不满足在单调递增， 的单调递增区间应为和，D错误. 故选：BC. 11. 若函数在上单调递减，则实数a值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】CD 【解析】 【分析】对函数求导并利用不等式恒成立以及对勾函数性质求得实数a的取值范围可得结论. 【详解】根据题意可得函数定义域为， 可得， 若函数在上单调递减，可得在上恒成立； 即在上恒成立，所以， 根据对勾函数性质可得 所以， 因此实数a值可能为，4. 故选：CD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先对曲线求导得到在处的切线斜率，再利用两直线垂直时斜率乘积为的关系求出参数的值. 【详解】，则曲线在处的切线的斜率， 由切线垂直得：，即． 故答案为： 13. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是__________．（填序号） ①是函数的极值点； ②是函数的最小值点； ③是函数的极小值点； ④在区间上单调递增； ⑤曲线在处的切线的斜率大于零． 【答案】①④⑤ 【解析】 【详解】对①④，根据导函数图象可知当时，； 当时，，当且仅当时，， 所以函数在上单调递减；在上单调递增，故①④正确； 对②，因为在上单调递增，故， 故不是函数的最小值点，故②错误； 对③，因为左右两侧导函数均大于，故不是极小值点，故③错误； 对⑤，由图可得，故在处切线的斜率大于零，故⑤正确． 综上①④⑤正确． 14. 已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，再利用导数求出最值，代入即可得解. 【详解】由题意，可得， 当时，， 由，可得，由，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以，解得.所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值． 【答案】（1）单调递增区间为和；单调递减区间为． （2）极大值9，极小值． 【解析】 【分析】（1）对函数求导求出导函数零点，即可得出其单调区间； （2）根据（1）中的结论以及函数极值的定义代入计算可得结果. 【小问1详解】 函数的定义域为． ． 令，得或． 列表分析符号： 区间 正 负 正 递增 递减 递增 因此，函数的单调递增区间为和；单调递减区间为． 【小问2详解】 由(1)可知, 在处，取得极大值，极大值． 在处，取得极小值，极小值． 16. 已知函数． （1）若函数的极大值点是，求的值； （2）若函数有一正一负两个极值点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用极值点与导函数零点的关系代入解方程可得，经检验符合题意； （2）根据两个极值点的符号关系，由韦达定理得出导函数的两根之积为负值可得结果. 【小问1详解】 易知，由题意得， 解得，故． 经验证可知，在处取得极大值，符合题意； 故． 【小问2详解】 由题意，方程有一正一负两个实数根， 设为，则． 故的取值范围是． 17. （1）已知曲线在点处的切线方程为，求． （2）已知函数，过点作曲线的切线，求此切线的方程． 【答案】（1）； （2）函数过点的切线方程为或. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点处的切线方程，由条件列等式可求； （2）设函数的过点的切线的切点为，结合导数几何意义列方程求切点坐标，由此可得结论. 【详解】（1）函数的导函数， 所以， 所以函数在点处的切线斜率为， 所以函数在点处的切线方程为， 由已知， 所以； （2）函数的过点的切线的切点为， 因为，所以， 所以， 所以函数过点的切线斜率为，因为切线过点， 所以，， 所以， 解得或， 当时，，， 此时切线方程为， 当时，，， 此时切线方程为， 所以函数过点的切线方程为或. 18. 若函数，当时，函数有极值． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对求导后，由已知列方程组，求出，再由导数的意义得到切线的斜率和点代入曲线方程，得到，最后由点斜式得到直线方程； （2）先求出的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 由题意得， 解得， 所以，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由（1）得， 令，解得或， 所以 0 0 递增 递减 递增 所以，当时，有极大值；当时，有极小值， 所以得图像大致如下： 若有3个不同的根，则直线与函数的图像有3个交点， 所以. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的单调区间． 【答案】（1） （2）若，单调递增区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为． 【解析】 【分析】（1）利用切点和导数几何意义得到切线斜率，再利用直线的点斜式方程得到切线方程； （2）分情况讨论导函数在定义域内不同区间的正负，进而确定函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，函数为，定义域为． 因为，所以切点为． 求导得， 在处，，即切线斜率为． 切线方程为． 【小问2详解】 当时，函数为，， ． 令可得或， 当时，恒成立（仅处为零），因此在上单调递增． 当时，时或；时． 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为． 当时，时，或；时，． 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为． 综上，当时， 若，单调递增区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $