精品解析：甘肃省白银市靖远县第四中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期月考试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 一质点做直线运动，其运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系为，则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对求导，然后将代入导数式，可得该质点在时的瞬时速度. 详解】，所以当时，． 故选：D． 2. 设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线斜率为， 根据导数概念，， 又， 所以. 故选：C. 3. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出关于轴的对称点，点关于平面的对称点，再计算的值． 【详解】空间直角坐标系中，关于轴的对称点为， 点关于平面的对称点为点， 所以． 故选：B． 4. 如图，空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】根据题意， . 故选：A 5. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A. 当时，取得极小值 B. 在上是增函数 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 【答案】D 【解析】 【分析】由取极值的必要条件即可判断AC，由导函数符号和函数单调性的关系可判断BD. 【详解】对于A，，不满足取极值的必要条件，故A错误； 对于B，当时，，这表明在上单调递增，故B错误； 对于C，，不满足取极值的必要条件，故C错误； 对于D，当时，，当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数，故D正确. 故选：D. 6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点是曲线上任意一点, 所以当曲线在点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离的最小， 直线的斜率为1，由，解得或（舍）. 所以曲线与直线的切点为. 点到直线的距离最小值是.选C. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，可得对恒成立，可得对恒成立，求得的最大值即可. 【详解】由，可得， 因为函数在区间上单调递增， 所以对恒成立，即对恒成立， 即对恒成立， 令，则，因为，所以， 所以在上单调递减， 所以，所以， 所以实数k的取值范围是. 故选：D. 8. 已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 【详解】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题关键在于观察式子的共同特征，构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小，然后结合对数运算，利用作差法比较可得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的运算规则可得正确的选项. 【详解】对于A，；对于B，，故A错B对， 对于C，，故C对； 对于D，，故D对， 故选：BCD. 10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与AC所成角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，利用向量法求解判断；B选项，由判断；C选项，利用向量夹角公式判断；D选项，利用向量夹角公式判断. 【详解】因为以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是， 所以， ， 则，所以A正确； ，则， 故，所以B正确； 显然为等边三角形，则. 因为，且向量与的夹角是，所以与的夹角也是，所以C不正确； 因为， 所以 ， 所以，所以D不正确. 故选：AB 11. 定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由构造函数，判断的单调性，结合选项和函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】构造函数，则， 因为，所以，故是增函数. 由得，， 即，故A正确； 由得，， 即，故B正确； 由得，， 即，故C错误； 由得，， 即，即，故D正确. 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影的定义结合已知条件求解即可. 【详解】因为，向量为单位向量，， 所以向量在向量方向上投影为． 故答案为： 13. 函数在区间上不单调，实数的范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，判断单调性，从而求得函数的极大值点为，极小值点为，进而可得或，求解即可. 【详解】，，令，得. 当或时，；当时，. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点为，极小值点为. 由题意可得或，解得或. 所以实数的范围是. 故答案为：. 14. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】函数有两个零点等价于的图象有两个交点，对每段函数分别求导，求出函数的单调区间，再求出每一段上的最大值，进而画出函数的图象，即可求出m的取值范围. 【详解】当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象，如图所示： 函数有两个零点等价于的图象有两个交点，， 由图可知或. 所以m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，而且. （1）求； （2）若l是曲线的切线，且经过点，求l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由求，令可求； （2）设切点坐标，利用导数求出切线方程，代入点求出未知系数，可得切线方程. 【小问1详解】 ，则， 所以，得. 【小问2详解】 由(1)可得，， 设切点为，所以切线的斜率为，又因为， 所以直线l的方程为： 将代入上式并整理，可得，由此可解得或， 因此，切点为或，切线方程为或， 即l的方程为或. 16. 已知函数及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用求出a，b的值，再进行检验； （2）结合函数的单调性和极值情况，只需满足，解之即得. 【小问1详解】 由题意得， 由函数在及处取得极值，得 解得，此时，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为的极大值点和极小值点. 故. 【小问2详解】 由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值． 又有三个不同的实根，所以 解得，所以实数c的取值范围是． 17. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求解析式； （2）证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由条件结合导数的几何意义可得，，结合导数运算列方程可求，由此可得结论； （2）利用导数求函数的最小值，由此可证结论. 【小问1详解】 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，， 因为，所以， 所以，， 所以，解得． 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 令，可得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取最小值，最小值为， ∴． 18. 已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且 （1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）； （2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大. 【答案】（1） （2）80万件 【解析】 【分析】（1）根据售价和成本，分段求出函数式即可； （2）根据已求的利润表达式，结合导数和基本不等式的知识分段求最值并比较即可. 【小问1详解】 由题意得，总售价固定为， 当产量不足60万箱时，. 当产量不小于60万箱时，. 则 【小问2详解】 设， 当时，，令，得， 得在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，由基本不等式有 当且仅当，即时取等号； 又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元 19. 已知函数，其中． （1）讨论函数单调性； （2）已知，若对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导之后分和讨论得到单调性即可； （2）由条件得到时函数极小值，令极小值大于零，得到关于的不等式，再构造函数，求导分析单调性得到最值即可. 【小问1详解】 ， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可得时，当时，函数取得极小值，又，若对任意的恒成立，不符合题意， 所以当，，即， 即，即， 代入， 设，则， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期月考试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 一质点做直线运动，其运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系为，则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A. 当时，取得极小值 B. 在上是增函数 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（　　） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与AC所成角的余弦值为 11. 定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，向量单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为________． 13. 函数在区间上不单调，实数范围是____________. 14. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，而且. （1）求； （2）若l是曲线的切线，且经过点，求l的方程. 16. 已知函数及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 17. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求解析式； （2）证明：． 18. 已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且 （1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）； （2）将年产量定多少万件时，企业所获年利润最大. 19. 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，若对任意的恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $