精品解析：2026年山东省济南市钢城区初中学业水平考试 九年级数学模拟试题(一)

2026年钢城区初中学业水平考试 初四数学模拟试题（一） 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0.2626 D. 2. 中国历史文化悠久，瓷器文化是中国极具代表性的文化，如图是醴陵出产的釉下彩瓷杯子，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在3×3的正方形网格中，点，，，，均在各小正方形顶点处，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别与，交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，连接．若，，则是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：二次函数与轴有两个交点，将其位于轴下方的图象沿轴向上翻折，与原轴上方的图象合称为该函数的“型函数”．已知抛物线（为常数），记其对应的“型函数”为，有如下结论： ①当取任意实数值，的函数图象一定关于直线对称； ②当时，的函数图象与直线有个公共点； ③当时，的最小值为； ④若的函数图象与直线（为常数）有个公共点，则的取值范围是； ⑤当时，的值随的增大而减小． 则正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 因式分解：___________． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个． 13. 如图，两条平行线l1、l2分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C．如果∠1＝20°，那么∠2＝_____． 14. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人甲和乙从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设甲行走的时间为，甲和乙行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则甲给客人送餐需要_____s． 15. 如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 解不等式组，并写出它的整数解． 18. 如图，在菱形中，E、F是对角线上两点，，连接、．求证：． 19. 某学校开展综合实践活动，如图，，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到E点的距离为．楼房底层窗台P处至地面C处的高度为，在点P处观察点B的仰角为，底部C距F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． （1）求山坡的垂直高度； （2）求楼房的高度． （参考数据：，，，，结果精确到） 20. 如图，内接于，是的直径，点是上一点，交的延长线于点，点是上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，点是的中点，求的长． 21. “呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某学校九年级共1400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，根据数据绘制了如下的表格和统计图： 等级 视力（） 频数 百分比 A 4 B 12 C D E 10 合计 40 其中等级C，D的相关数据：4.6，5.0，4.5，4.9，4.5，4.9，5.0，4.8，4.6，4.9，4.5，4.5，5.0，5.0．根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）若将调查结果制作成扇形统计图，则等级D所对应的圆心角为______； （3）等级C中数据的众数是______，抽取的这40名同学视力的中位数是______； （4）若视力不低于4.8为“良好”，根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生视力为“良好”的有多少人？ 22. 济南市钢城区素有“中国蜜桃之乡”的美誉，蜜桃果肉饱满、口感香甜．某水果店购进一批数量相等的A、B两种蜜桃，其中购买A蜜桃用了480元，购买B蜜桃用了720元．已知每千克A蜜桃的进价比B蜜桃便宜4元． （1）求每千克A蜜桃、B蜜桃的进价各是多少元? （2）若该水果店再次购进A、B两种蜜桃共100千克，且总费用不超过1100元．A蜜桃每千克售价12元，B蜜桃每千克售价18元．请设计进货方案，使得售完后利润最大，并求出最大利润． 23. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，连接并延长交轴于点，点为轴上一点，且满足，请求出所有符合条件的点坐标． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点和点，直线与轴正半轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点在第四象限对称轴右侧抛物线上，点在坐标平面内，四边形是面积为3的平行四边形，求点的坐标； （3）如图2，抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与抛物线交于点，与轴交于点．若点为抛物线对称轴上一点，点为轴上任意一点，且，当点在线段（含端点）上运动时，求的取值范围． 25. 如图，四边形为矩形，，，分别为、边上的中点．以，为边构造矩形． （1）线段与的数量关系是_______，直线与直线的位置关系是_______． （2）将图1所在的矩形绕点顺时针旋转，连接，，直线、交于点．则（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． （3）将图1的矩形绕点旋转，连接，，直线、交于点．若，则在矩形旋转的过程中，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年钢城区初中学业水平考试 初四数学模拟试题（一） 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0.2626 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可. 【详解】解：，，0.2626，中，只有是无理数，其余均是有理数. 2. 中国历史文化悠久，瓷器文化是中国极具代表性的文化，如图是醴陵出产的釉下彩瓷杯子，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图知识点，解题的关键是理解主视图是从物体的正前方观察得到的视图． 从给定彩瓷杯子的正面观察，确定其形状对应的选项． 【详解】从杯子正面看，会看到梯形，选项D符合从正面看到的形状． 故选：D． 3. 科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握相关知识是解决问题的关键．科学记数法表示为形式，其中，n为整数． 【详解】解：． 故选：D． 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形； D、是中心对称图形，不是轴对称图形. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式性质与幂的运算的对应运算规则逐一判断选项即可. 【详解】解：∵， ∴A错误. ∵，，与不是同类项，不能合并， ∴B错误. ∵， ∴C正确. ∵， ∴D错误. 6. 若实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴， 故选项错误，选项正确． 7. 如图，在3×3的正方形网格中，点，，，，均在各小正方形顶点处，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，证明，根据勾股定理得，，根据，结合正切函数的性质，可以得到，证明，利用平行四边形的判定和性质，三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，根据题意，得， ， 都是锐角， ， 不平行， 故选项A不符合要求； ，， ， 故选项B不符合要求； 根据题意，得， 都是锐角，且， ， 故选项C不符合要求； 连接， 根据勾股定理，得，且是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 8. 盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，通过列举所有可能的抽取结果，再找出两人抽到卡片图案相同的结果，最后根据概率公式计算出相应概率． 【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为， 故选：D． 9. 如图，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别与，交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，连接．若，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质及三角形内角和得到，根据勾股定理得到，，根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：连接，由作图知，垂直平分， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10. 定义：二次函数与轴有两个交点，将其位于轴下方的图象沿轴向上翻折，与原轴上方的图象合称为该函数的“型函数”．已知抛物线（为常数），记其对应的“型函数”为，有如下结论： ①当取任意实数值，的函数图象一定关于直线对称； ②当时，的函数图象与直线有个公共点； ③当时，的最小值为； ④若的函数图象与直线（为常数）有个公共点，则的取值范围是； ⑤当时，的值随的增大而减小． 则正确结论的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据上下翻折不影响左右对称位置，判断出的函数图象与抛物线函数图象的对称轴为同一直线，即可判断结论①；当时，由交点问题转化为方程问题得，根据该方程解的个数可判断结论②；根据，的函数图象判断可知其最小值为，可判断结论③；根据函数图象的原顶点位置以及翻折后顶点位置，结合函数性质可判断结论④⑤． 【详解】解：的函数图象与抛物线函数图象的对称轴为同一直线， 由抛物线， 其对称轴为直线， 故的函数图象一定关于直线对称，结论①正确； 当时，抛物线表达式为， 的函数图象与直线的交点个数即为抛物型的图象与的交点个数， 故可得方程， 当时， 解得或； 当时， 解得或； 该方程有四个不相等的实数解， 即的函数图象与直线的交点个数为个，故结论②正确； 当时，， 当或时，最小，其最小值为，故结论③错误； 对于抛物线，其对称轴为直线， 当时，， 故顶点坐标为， 翻折后中间部分顶点为， 故可判断当时，的函数图象与直线（为常数）恰有个公共点， 当时，的函数图象与直线（为常数）有个公共点， 当时，的函数图象与直线（为常数）有个公共点， 当是，的函数图象与直线（为常数）也有个公共点，恰好位于轴上， 故或， 故结论④错误； ∵， 所以函数与轴的交点为，， 当时，函数值随的增大而增大， 经翻折后，该部分的函数值随的增大而减小， 即当时，的值随的增大而减小，故结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤，共个． 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，求出红球的个数，再计算出黄球的个数即可． 【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右， ∴摸出红球的概率为， ∴袋子中红球的个数为（个）， ∴ 袋子中黄球的个数为（个）， 故答案是：15． 13. 如图，两条平行线l1、l2分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C．如果∠1＝20°，那么∠2＝_____． 【答案】92° 【解析】 【分析】根据正五边形的内角和平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵正五边形ABCDE的一个内角是108°， ∴∠3＝108°﹣∠1＝108°﹣20°＝88°， ∵l1∥l2，∠3＝88°， ∴∠2＝180°﹣88°＝92°， 故答案为：92°． 【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和与平行线的性质，准确计算是解题的关键． 14. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人甲和乙从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设甲行走的时间为，甲和乙行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则甲给客人送餐需要_____s． 【答案】45 【解析】 【分析】先求出乙送餐所用时间，进而求出点的坐标，求出甲机器人的速度，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，乙机器人刚出发时的速度为， 则段乙机器人的速度为， ∴乙机器人送餐所用时间为， ∴点坐标为，即， ∴甲机器人的速度为， ∴甲给客人送餐需要． 15. 如图，四边形为矩形，已知，，E为上一点，，F为上动点，将矩形沿向下折叠，当点C恰好落在边上时，的长度为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】过点E作交于点G，先利用矩形的性质得出相关线段的长度，再由折叠的性质得到对应线段的长度，证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求得的长，从而得到的长，设，则，利用勾股定理列出方程求得a的值，从而得出最终结果． 【详解】解：如图，过点E作交于点G， 在矩形中，，，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，,，，， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， 在中，． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】分别计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值和化简二次根式，再将上述各项结果代入原式进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集为，整数解为 【解析】 【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可． 【详解】解： ， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为：， 所以不等式组的所有整数解为：． 18. 如图，在菱形中，E、F是对角线上两点，，连接、．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，利用菱形的性质可得出，，利用等式的性质得出，利用证明，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 某学校开展综合实践活动，如图，，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到E点的距离为．楼房底层窗台P处至地面C处的高度为，在点P处观察点B的仰角为，底部C距F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． （1）求山坡的垂直高度； （2）求楼房的高度． （参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】（1）山坡的垂直高度约为 （2）楼房的高度约为 【解析】 【分析】（1）直接解求出的长即可得到答案； （2）延长交直线于点Q，则，过点P作于点G，则四边形 和四边形都是矩形，由矩形的性质得到，解得到，则可得到，解求出的长，进而可求出的长． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∴山坡的垂直高度约为． 【小问2详解】 解：如图，延长交直线于点Q，则，过点P作于点G， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高度约为． 20. 如图，内接于，是的直径，点是上一点，交的延长线于点，点是上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，点是的中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，等边对等角，得到，，直角三角形的性质得到，进而得到，求出，即可得证； （2）证明，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴ ∴， 即 又∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 即的长是6． 21. “呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某学校九年级共1400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，根据数据绘制了如下的表格和统计图： 等级 视力（） 频数 百分比 A 4 B 12 C D E 10 合计 40 其中等级C，D的相关数据：4.6，5.0，4.5，4.9，4.5，4.9，5.0，4.8，4.6，4.9，4.5，4.5，5.0，5.0．根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）若将调查结果制作成扇形统计图，则等级D所对应的圆心角为______； （3）等级C中数据的众数是______，抽取的这40名同学视力的中位数是______； （4）若视力不低于4.8为“良好”，根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生视力为“良好”的有多少人？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）4.5，4.55 （4）630人 【解析】 【分析】（1）根据题意，确定C，D等级的人数，补全条形图即可； （2）用360度乘以D等级人数所占的比例； （3）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （4）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：C等级人数为6人，D等级人数为8人，补全条形图如图： 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：C等级中出现次数最多的数据为4.5，故众数为4.5； 将数据排序后，第20个数据和第21个数据分别为4.5和4.6， ∴中位数为； 【小问4详解】 解：（人） ∴估计该校九年级学生视力为“良好”的学生有630人． 22. 济南市钢城区素有“中国蜜桃之乡”的美誉，蜜桃果肉饱满、口感香甜．某水果店购进一批数量相等的A、B两种蜜桃，其中购买A蜜桃用了480元，购买B蜜桃用了720元．已知每千克A蜜桃的进价比B蜜桃便宜4元． （1）求每千克A蜜桃、B蜜桃的进价各是多少元? （2）若该水果店再次购进A、B两种蜜桃共100千克，且总费用不超过1100元．A蜜桃每千克售价12元，B蜜桃每千克售价18元．请设计进货方案，使得售完后利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）每千克A蜜桃8元，则每千克B蜜桃为12元 （2）再次购进A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后获最大利润550元 【解析】 【分析】（1）设每千克A蜜桃为x元，则每千克B蜜桃为元，根据购进两种蜜桃的数量相等，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进A蜜桃m千克，则购进B蜜桃千克，根据且总费用不超过1100元，列出不等式求出的取值范围，设总利润为w元，列出一次函数解析式，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每千克A蜜桃为x元，则每千克B蜜桃为元， 由题意得 解得 经检验是所列方程的根，且符合题意． ∴ 答：每千克A蜜桃8元，则每千克B蜜桃为12元． 【小问2详解】 解：设购进A蜜桃m千克，则购进B蜜桃千克， 由题意得， 解得． 设总利润为w元， 由题意得 ∵， ∴w随m增大而减小． ∴当时，，此时． ∴再次购进A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后获最大利润550元． 23. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图2，连接并延长交轴于点，点为轴上一点，且满足，请求出所有符合条件的点坐标． 【答案】（1） （2） （3）点G坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点，则，根据，列出方程进行求解即可； （3）先求出点坐标，分点G在x轴正半轴和点G在x轴负半轴上两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴； 将代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：设点，则， ∴，， ∵， ∴， ∴，（舍）， ∴． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 把，，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， ∴当时，解得， ∴； ①点G在x轴正半轴， ∵，， ∴， ∴． 设， 则 ∴，（舍） ∴． ②点在x轴负半轴， 此时，， ∴ 过点A作轴于点，则是中点， ∴； 综上所述，点G坐标为或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点和点，直线与轴正半轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点在第四象限对称轴右侧抛物线上，点在坐标平面内，四边形是面积为3的平行四边形，求点的坐标； （3）如图2，抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与抛物线交于点，与轴交于点．若点为抛物线对称轴上一点，点为轴上任意一点，且，当点在线段（含端点）上运动时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）连接，过点作轴交于点，根据四边形是平行四边形，且面积为，得出，进而待定系数法求得直线的解析式，得出点的坐标，设，则，得出的表达式，解方程，得出点的坐标，进而根据平行四边形的性质，求得点的坐标； （3）过点作于点，分别求得，，依题意，，设其中，根据已知得出，则得出，即，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得 解得 ∴． 【小问2详解】 连接，过点作轴交于点 四边形是平行四边形，且面积为 ∴ ∴． 设直线的解析式为 代入，，得 解得： ∴的解析式为： ∴． 设，则 ∴， ∴（舍）， ∴ ∵四边形是平行四边形， 又，， ∴即． 【小问3详解】 解：当时， ∴， ∵ ∴， 依题意，， 如图，过点作于点 设其中， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴当时，， 当时， ∴的取值范围是． 25. 如图，四边形为矩形，，，分别为、边上的中点．以，为边构造矩形． （1）线段与的数量关系是_______，直线与直线的位置关系是_______． （2）将图1所在的矩形绕点顺时针旋转，连接，，直线、交于点．则（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． （3）将图1的矩形绕点旋转，连接，，直线、交于点．若，则在矩形旋转的过程中，求的最小值． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据图1，结合线段中点的定义，直接进行作答即可； （2）证明，即可得出结论； （3）在中，，进而得到最小时，最小，根据，得到点E在以点C为圆心，4为半径的圆上，进而得到当与相切时，最大，最小，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，分别为、边上的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：成立， ∵E，F分别为边中点， ∴，， ∴ ∵矩形绕C顺时针旋转， ∴， ∴； ∴，， ∵四边形ABCD为矩形， ∴ 记与交点为O，在和中， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）， 在中，， ∴最小时，最小， 由题意，， ∴点E在以点C为圆心，4为半径的圆上． 如图，当与相切时，最大，最小， 即时，最小． 此时，点M与点G重合， ∵，， ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $