精品解析：2025年山东省济南市钢城区九年级中考一模数学试题

2025度九年级学业水平模拟考试(一) 数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上：解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第I卷(选择题40分) 一、选择题(本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．共40分) 1. 5的相反数是( ) A. B. C. D. 2. 产自广西钦州的坭兴陶是中国四大名陶之一，以钦州两岸特有的陶土为原料，经独特工艺制作而成，具有“双料混炼、骨肉相融”的特点．右图是坭兴陶的茶杯，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 晶晶利用“国家中小学智慧教育平台”学习《项目学习2包装中的智慧》时，发现网页中显示“今天已有1650000人与你一起学习…”．请将数据1650000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “过新年，挂新灯，家家户户乐融融”，挂灯笼是我国各地新年的一个传统习俗．如图，欣欣从 三个灯笼中随机选择两个挂在门口，则选择和两个灯笼的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 函数与（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正五边形内接于 ，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，点为边 上一点(可与点重合)，已知， ，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交 ，于点；再以点为圆心，长为半径作弧，交 于点(点在点下方)：最后以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结并延长且交于点，以下4个结论：①；②；③的最大值为；④若为 中点，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段 向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为 秒， 的面积为 个平方单位，图2为 关于 的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 第Ⅱ卷(非选择题110分) 二、填空题(本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分) 11. 已知关于x的分式方程的解是 ，则k的值为________． 12. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是_________． 13. 两同心圆，小圆半径为2cm，大圆半径为4cm，则一只蚊子落在同心圆的黑色区域内的概率为 _______． 14. 如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机，如图2，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1，y2( )与飞行时间x()的函数关系，其中，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25，则在第______秒时1号和2号无人机飞行高度差为20米． 15. 如图，在矩形中，，点在边 上，，在矩形内找一点，使得 ，则线段的最小值为______． 三、解答题(本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 计算： 17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E， 于点F．求证：． 19. 某校学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点与点的高度差”，因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图2所示的测绘图纸，在点，处分别竖直安置经纬仪和 ，且米，用无人机辅助测得PG与水平线的夹角与水平线的夹角，无人机距离水平地面的高度米，无人机距离经纬仪顶端Q的距离米．请你根据以上数据求： （1）无人机距离经纬仪顶端P的距离； （2）点与点的高度差．(参考数据：) 20. 如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE． （1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径． 21. 2024年4月24日“中国航天日”的主题是“极目楚天，共襄星汉”，这是自2016年以来的第九个“中国航天日”．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B． ；C．；D．；E．．下面给出部分信息： 组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79． 绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是 ； （4）随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是 分； （5）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为 ，请估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数． 22. 火龙果是一种花青素、维生素E含量较为丰富的水果，有延缓衰老、调节免疫的作用．现有“白心火龙果”和“红心火龙果”两个品种，某水果店试销这两种火龙果，已知每箱的售价“红心火龙果”比“白心火龙果”贵10元，销售6箱“白心火龙果”的总价比销售5箱“红心火龙果”的总价多30元． （1）问“白心火龙果”与“红心火龙果”每箱的售价各是多少元？ （2）若“白心火龙果”每箱的进价为65元，“红心火龙果”每箱的进价为70元．现水果店购进两种火龙果共38箱，计划所花资金不高于2600元，设购进“白心火龙果”箱，销售这两种火龙果的利润为元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润最大，最大利润是多少？ 23. 已知一次函数（）和反比例函数的图象如图所示． （1）一次函数必定经过点 ________．（写点的坐标） （2）当 时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接 并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及的面积． （3）直线绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围． 24. 如图所示，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴交于，两点，与 轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）． （1）求该抛物线的解析式及，两点的坐标； （2）如图2，将位于直线 上方的抛物线沿着直线 翻折，点是 上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交 于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，请求出线段的最大值． 25. 在等腰直角 中，，D为直线上任意一点，连接 ．将线段 绕点D按顺时针方向旋转 得线段，过点E作于点F，连接 ． （1）尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与 的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与 的数量关系，由直观先猜想 ，要进一步证明 ，可尝试证明，由已知 ，得 ，于是可得：（ ① ），所以可得 （ ② ），因此猜想 成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______． （2）类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时， ①再探究线段与 的数量关系并证明； ②若，求线段 的长； （3）拓展应用：如图3，若 ，请直接写出线段 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025度九年级学业水平模拟考试(一) 数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上：解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第I卷(选择题40分) 一、选择题(本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．共40分) 1. 5的相反数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答． 【详解】解：只有符号不同的两个数称为互为相反数， 则5的相反数为-5， 故选D. 【点睛】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 2. 产自广西钦州的坭兴陶是中国四大名陶之一，以钦州两岸特有的陶土为原料，经独特工艺制作而成，具有“双料混炼、骨肉相融”的特点．右图是坭兴陶的茶杯，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图．找到从几何体的上面看所得到图形即可． 【详解】解：从上面看得到图形为： 故选：C． 3. 晶晶利用“国家中小学智慧教育平台”学习《项目学习2包装中的智慧》时，发现网页中显示“今天已有1650000人与你一起学习…”．请将数据1650000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式与单项式的除法，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选A． 【点睛】本题考查了单项式与单项式的除法，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握公式和运算法则是解答本题的关键． 5. “过新年，挂新灯，家家户户乐融融”，挂灯笼是我国各地新年的一个传统习俗．如图，欣欣从 三个灯笼中随机选择两个挂在门口，则选择 和 两个灯笼的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．画树状图，共有6种等可能的结果，其中选择 和 两个灯笼的结果有两种，再利用概率公式即可得出答案．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中选择 和 两个灯笼的结果有两种， 选择 和 两个灯笼的概率为， 故选：B． 6. 函数与（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、三、四象限，故选项C不符合题意，选项D符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意， 故选：D． 7. 如图，正五边形内接于 ，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接 、，先求出，再由圆周角定理可求出的度数． 【详解】解：连接 、，如图， ∵正五边形， ∴， ∴． 8. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式 ．一元二次方程有两个不相等的实数根；一元二次方程有两个相等的实数根；一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程有两个不相等的实数根，求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵m为整数， ∴m的最大值为3． 故答选：B． 9. 如图，点 为边 上一点(可与点 重合)，已知， ，以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 ，于点；再以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 (点 在点 下方)：最后以点 为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结并延长且交于点 ，以下4个结论：①；②；③ 的最大值为；④若 为 中点，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，由作图可判定①；进而可得，再根据相似三角形的性质可判定②③④，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解析：①由尺规作图可得，，故①正确； ② ，， ， ∴， 故②错误； ③ 当 与 重合时， 最大，此时， 由，得， 解得，故③不正确； ④ 当 为 中点时，，由尺规作图可得， 由 ，可得， ∴，故④正确； 综上所述，①④正确， 故选：B． 10. 如图1，四边形 为菱形，动点 ，同时从 点出发，点 以每秒1个单位长度沿线段 向终点 运动；点沿线段向终点 运动，当点 运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为 秒， 的面积为 个平方单位，图2为 关于 的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形 的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据当点 运动至终点时，另一点也恰好到达终点可知点Q的速度是点P速度的3倍，进而可判断②正确；由图象可知，2秒后点Q到达点B，进而求出菱形的边长，可判断①正确；当点Q到达点C时，的面积最大，求出此时的面积可判断③正确；当点Q运动到 的中点时，作交 的延长线于E，此时， ，．证明，求出，的面积为，设曲线段的函数解析式为，把代入求出函数解析式可判断④正确． 【详解】解：∵动点 ，同时从 点出发，同时到达点D， ∴点Q的速度是点P速度的3倍， ∵点 以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点的运动速度为每秒3个单位长度，故②正确； 由图象可知，2秒后点Q到达点B， ∴，即菱形 的边长为6，故①正确； 作 于点H，由图象可知，点Q到达点B时，即 时，的面积为5，此时， ∴， ∴， ∴， 当点Q到达点C时，的面积最大，此时， ，的面积为，即当时，，故③正确； 当点Q运动到点D时，， 当点Q运动到 的中点时，作交 的延长线于E，此时， ，． ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 设曲线段的函数解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴，故④正确． 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，从函数图象获取信息，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． 第Ⅱ卷(非选择题110分) 二、填空题(本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分) 11. 已知关于x的分式方程的解是 ，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程求解，解决本题的灌浆是将x的值代入方程，列出关于k的方程． 根据题意，将 代入分式方程，关于k的方程，求出 即可. 【详解】解：将 代入分式方程可得： ， ∴， 解得 故答案为：2 12. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的度数，再由平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴． 13. 两同心圆，小圆半径为2cm，大圆半径为4cm，则一只蚊子落在同心圆的黑色区域内的概率为 _______． 【答案】． 【解析】 【分析】根据概率公式，圆的面积公式进行计算即可. 【详解】∵大圆的面积为：42π＝16π，小圆的面积为22π＝4π， ∴蚊子落在同心圆的黑色区域内的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率的计算方法. 14. 如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机，如图2，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1，y2( )与飞行时间x()的函数关系，其中，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25，则在第______秒时1号和2号无人机飞行高度差为20米． 【答案】13或17 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．当时，，求出点 的坐标，进而求出的解析式，由题意得，解之即可得到答案． 【详解】解：，当时，， ∴点 的坐标为， 由题意知点 的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 由题意得， 整理得， 解得：或， ∴在第13秒或17秒时，1号和2号无人机飞行高度差为20米， 故答案为：13或17． 15. 如图，在矩形 中，，点 在边 上，，在矩形内找一点 ，使得 ，则线段的最小值为______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】点P在所对圆周角的圆O上运动，当的延长线过圆心O时， 有最小值，连接 ， ，过O作于H，过O作于M，求出，，由等腰三角形的性质推出，，由圆周角定理得到，由，求出 ，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：点P在所对圆周角 的圆O上运动， 当的延长线过圆心O时， 有最小值，连接 ， ，过O作于H，过O作于M， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是判定点P在所对圆周角的圆O上运动． 三、解答题(本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的意义，特殊角的三角函数值化简，再算加减． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示如图： 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，首先分别计算出两个不等式的解集，然后再根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集．最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得：；解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为：． 18. 如图，在矩形 中，对角线相交于点O，于点E， 于点F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形 是矩形，对角线相交于点O， ∴． ∵， ， ∴． 在 和中，， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，再根据， 得出，从而证明出即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质，关键是找到全等三角形． 19. 某校学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点与点的高度差”，因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图2所示的测绘图纸，在点，处分别竖直安置经纬仪和 ，且米，用无人机辅助测得PG与水平线的夹角与水平线的夹角，无人机距离水平地面的高度米，无人机距离经纬仪顶端Q的距离米．请你根据以上数据求： （1）无人机距离经纬仪顶端P的距离； （2）点与点的高度差．(参考数据：) 【答案】（1）70米 （2）点与点的高度差为11米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角，矩形的判定与性质，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）过点 作于点 ，求出米，然后根据即可求解； （2）过点作于点 ，根据求出的长，然后用即可求出高度差． 【小问1详解】 解：如图，过点 作于点 ，则四边形是矩形， ∴， ∴米 在中，， 米 【小问2详解】 解：过点作于点 ， 在中，， （米）， （米）． 答：点与点的高度差为11米． 20. 如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE． （1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径． 【答案】（1） CD是⊙O的切线． 理由：连接OC． ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵BC平分∠ABD， ∴∠OBC＝∠CBE， ∴∠OCB＝∠CBE， ∴OC//BD， ∵CD⊥BD， ∴CD⊥OC， ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）⊙O的半径为 【解析】 【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可； （2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J． ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∵OC⊥DC，CD⊥DB， ∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°， ∴四边形CDEJ是矩形， ∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE， ∴OC⊥AE， ∴AJ＝EJ， ∵sin∠ECD＝＝，CE＝5， ∴DE＝3，CD＝4， ∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3， 在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42， ∴r＝， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 2024年4月24日“中国航天日”的主题是“极目楚天，共襄星汉”，这是自2016年以来的第九个“中国航天日”．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B． ；C．；D．；E．．下面给出部分信息： 组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79． 绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是 ； （4）随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是 分； （5）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为 ，请估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数． 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如下； （3） （4） （5）人 【解析】 【分析】（1）由频数分布直方图可知， 组人数为人，由扇形统计图可知， 组人数占比为 ，由此即可求出本次调查随机抽取的学生总人数； （2）由（1）得，本次调查随机抽取的学生总人数为 人，由扇形统计图可知， 组人数占比为 ，由此即可求出 组人数，进而可补全条形统计图； （3）用 乘以 组人数占比即可； （4）根据中位数的定义求解即可； （5）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图可知： 组人数为人， 由扇形统计图可知： 组人数占比为 ， 本次调查随机抽取的学生总人数为： （人）， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：由（1）得：本次调查随机抽取的学生总人数为 人， 由扇形统计图可知： 组人数占比为 ， 组人数为： （人）； 【小问3详解】 解：在扇形统计图中， 组所在扇形的圆心角为： ， 故答案为： ； 【小问4详解】 解： 随机抽取了 人， 中位数是第名学生和第名学生成绩的平均值， 根据题意，第名学生和第名学生的成绩分别为： ， ， 中位数 ， 故答案为： ； 【小问5详解】 解： （人）， 估计该校名学生中获得一等奖的学生人数约为人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，频数分布直方图，由扇形统计图求总量，求扇形统计图的圆心角，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，求中位数，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数的概念及频数分布直方图和扇形统计图是解题的关键． 22. 火龙果是一种花青素、维生素E含量较为丰富的水果，有延缓衰老、调节免疫的作用．现有“白心火龙果”和“红心火龙果”两个品种，某水果店试销这两种火龙果，已知每箱的售价“红心火龙果”比“白心火龙果”贵10元，销售6箱“白心火龙果”的总价比销售5箱“红心火龙果”的总价多30元． （1）问“白心火龙果”与“红心火龙果”每箱的售价各是多少元？ （2）若“白心火龙果”每箱的进价为65元，“红心火龙果”每箱的进价为70元．现水果店购进两种火龙果共38箱，计划所花资金不高于2600元，设购进“白心火龙果”箱，销售这两种火龙果的利润为元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元 （2）购进“白心火龙果”12箱，购进“红心火龙果”26箱时，利润最大，最大利润是700元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式解应用题，读懂题意，得到相应方程组、函数及不等式是解决问题的关键． （1）设“白心火龙果”每箱的售价为 元，“红心火龙果”每箱的售价为 元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）根据（1）中求得的结论，由题意得到销售这两种火龙果的利润表达式，由一次函数性质及一元一次不等式解集即可得到答案 【小问1详解】 解：设“白心火龙果”每箱的售价为 元，“红心火龙果”每箱的售价为 元， 由题意可得，解得， 答：“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 随的增大而减小， 要求所花资金不高于2600元， ，解得， 当时，取得最大值，此时，， 答：购进“白心火龙果”12箱，购进“红心火龙果”26箱时，利润最大．最大利润是700元． 23. 已知一次函数（）和反比例函数的图象如图所示． （1）一次函数必定经过点 ________．（写点的坐标） （2）当 时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接 并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及的面积． （3）直线绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围． 【答案】（1） （2）A，B两点的坐标分别为，，的面积为6 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，令，求 ， 的值，进而可得结果； （2）由 ，可得 ，联立，求解可得，，由题意知，如图，过 作轴，过 作于 ，过 作于 ，则，，，，，根据，计算求解即可； （3）由题意知，，令，整理得，令，求解即可得 的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意知， 令，即 ，则 ， ∴一次函数必定经过点， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵ ，则 ， 联立，解得，， ∴，， ∴， 如图，过 作轴，过 作于 ，过 作于 ， 则，，，，， ∴ ∴A，B两点的坐标分别为，，的面积为6． 【小问3详解】 解：由题意知，， 令，整理得， 令， 解得， ∴直线与反比例图象无交点时m的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 24. 如图所示，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点，直线与该抛物线交于 ， 两点（点 在点 的左侧）． （1）求该抛物线的解析式及 ， 两点的坐标； （2）如图2，将位于直线 上方的抛物线沿着直线 翻折，点 是 上方的抛物线上的一动点，点 的对应点为点，连接交 于点 ． ①当四边形是菱形时，请直接写出点 的坐标； ②在点 的运动过程中，请求出线段的最大值． 【答案】（1），， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得 ，再将点代入二次函数的解析式可得 ，由此可得二次函数的解析式；然后与直线联立求解可得点的坐标； （2）①设直线 分别交 轴， 轴于点， ，交 轴于点 ，过点 作轴于点，先得出，再根据菱形的性质可得，，从而可得点 的坐标，然后证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得点 的坐标，利用待定系数法可得直线 的解析式，最后与抛物线的解析式联立求解即可得； ②设直线 交 轴于点 ，过点 作轴，交 于点，设点 的坐标为，则点的坐标为，，再证出是等腰直角三角形，且，然后根据轴对称的性质可得，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵抛物线 的对称轴为直线 ， ∴， 解得 ， 将点代入抛物线 得： ， ∴该抛物线的解析式． 联立，解得或， ∵抛物线 与直线交于 ， 两点（点 在点 的左侧）， ∴，． 【小问2详解】 解：①如图，设直线 分别交 轴， 轴于点， ，交 轴于点 ，过点 作轴于点， 对于直线， 当时，，即， 当 时，，解得 ，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵四边形是菱形， ∴，， 由（1）已得：，， ∴，即， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 设直线 的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线 的解析式为， 联立，解得或， ∵点 是 上方的抛物线上的一动点，且，， ∴点 的横坐标大于，且小于4， ∴点 的坐标为． ②如图，设直线 交 轴于点 ，过点 作轴，交 于点， 设点 的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（1）可知，， ∵轴， ∴， ，关于直线 对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 25. 在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接 ．将线段 绕点D按顺时针方向旋转 得线段，过点E作 于点F，连接 ． （1）尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与 的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与 的数量关系，由直观先猜想 ，要进一步证明 ，可尝试证明，由已知 ，得 ，于是可得：（ ① ），所以可得 （ ② ），因此猜想 成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______． （2）类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时， ①再探究线段与 的数量关系并证明； ②若，求线段 的长； （3）拓展应用：如图3，若 ，请直接写出线段 的长． 【答案】（1）①等式性质1，② （2）① ， 证明：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵ ， , ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据 ，得，理由是等式性质1，可得 ； （2）①根据， ，，得，得，可得 ，即得 ；②由，得； （3）由 ，当点D在 右侧时，得 ，即得，当点D在 左侧时，得，即得． 【小问1详解】 解：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴（ 等式性质1 ）， ∴ （ ）， 故答案为：等式性质1， ； 【小问2详解】 解：①略 ②当时， ， ∴； 【小问3详解】 解：当 时， 由（1）（2）知， ， 当点D在 右侧时，， ∴； 当点D在 左侧时，， ∴． 故线段 的长为或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形与旋转．熟练掌握等腰直角三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $